顯式模擬類(lèi)橡膠材料應(yīng)力軟化引起的不可恢復(fù)變形及其各向異性特征1)

王曉明吳榮興 蔣 義 肖 衡

* (寧波職業(yè)技術(shù)學(xué)院應(yīng)用力學(xué)研究所,浙江寧波 315000)

? (寧波建工工程集團(tuán)有限公司,浙江寧波 315000)

** (暨南大學(xué)力學(xué)和建筑工程學(xué)院重大工程災(zāi)害與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣州 510632)

引言

經(jīng)過(guò)初始加載?卸載后的類(lèi)橡膠材料再一次加載后,初始卸載應(yīng)力以下部分會(huì)將發(fā)生顯著的應(yīng)力軟化現(xiàn)象,該現(xiàn)象也被稱(chēng)為Mullins 效應(yīng).隨著加載?卸載循環(huán)的進(jìn)行,應(yīng)力軟化現(xiàn)象逐漸變得顯著,并趨于一個(gè)穩(wěn)定的狀態(tài),而應(yīng)力?應(yīng)變曲線也逐漸變化并發(fā)展到一個(gè)穩(wěn)定的狀態(tài)[1-3].天然橡膠和填充橡膠都有可能發(fā)生Mullins 效應(yīng),而填充物的種類(lèi)和比重則會(huì)影響應(yīng)力軟化的程度.

過(guò)去幾十年來(lái),為了從微觀尺度解釋Mullins 效應(yīng),研究人員們進(jìn)行了大量的理論研究.Bueche[4-5]認(rèn)為當(dāng)材料發(fā)生變形后,填充顆粒之間附著的部分橡膠鏈發(fā)生了斷裂和松弛,使得填充顆粒間的距離發(fā)生仿射變形,從宏觀上表現(xiàn)為應(yīng)力軟化現(xiàn)象;Lee和Williams[6]通過(guò)結(jié)構(gòu)重組以及化學(xué)鍵永久性斷裂來(lái)說(shuō)明Mullins 效應(yīng)的產(chǎn)生原因;Mullins[3]列舉了兩種情況.對(duì)于天然橡膠,橡膠長(zhǎng)鏈分子之間在剪切過(guò)程中的解鏈和定向?qū)е铝藨?yīng)力軟化.對(duì)于填充橡膠,應(yīng)力軟化的發(fā)生則是因?yàn)樘畛漕w粒之間以及填充顆粒和橡膠分子之間的相互作用被斷開(kāi)而導(dǎo)致.填充顆粒的存在使得應(yīng)力軟化效應(yīng)被進(jìn)一步增強(qiáng);以上觀點(diǎn)基本都認(rèn)為應(yīng)力軟化是因?yàn)橄鹉z分子和填充顆粒之間的相互作用而產(chǎn)生,而Harwood 等[7]提出了不同的見(jiàn)解,他們認(rèn)為橡膠微結(jié)構(gòu)中的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)位移導(dǎo)致了分子網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)的重組,從而產(chǎn)生了應(yīng)力軟化效應(yīng).除此之外,還有其他的微結(jié)構(gòu)理論[8-10]對(duì)Mullins 效應(yīng)的產(chǎn)生做了理論解釋.

在前面微結(jié)構(gòu)理論的基礎(chǔ)上,科研工作者們先構(gòu)造微觀尺度下的本構(gòu)關(guān)系,再通過(guò)一系列平均方法,建立宏觀尺度下的本構(gòu)模型.Blanchard 和Parkinson[11]提出了一個(gè)半經(jīng)驗(yàn)公式去描述填充硫化橡膠初始加載后的“應(yīng)力?伸長(zhǎng)比”關(guān)系,其中引入了二個(gè)微結(jié)構(gòu)相關(guān)的參數(shù),分別表示網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)數(shù)量和分子鏈?zhǔn)芟扪由炻?通過(guò)分析應(yīng)力軟化的特征,他們給出了網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)數(shù)量變化的公式,并最終得到匹配實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的“應(yīng)力?應(yīng)變”結(jié)果;Govindjee 和Simo[8]在Bueche[4-5]理論研究的基礎(chǔ)上進(jìn)一步發(fā)展,通過(guò)對(duì)統(tǒng)計(jì)代表樣本體積(SRSV)進(jìn)行宏觀平均,最終得到一個(gè)三維的本構(gòu)模型;Marckmann 等[9]發(fā)展了Arruda和Boyce[12]的八鏈理論,將該模型中的兩個(gè)參數(shù)進(jìn)行改進(jìn),使他們依賴(lài)于分子鏈伸長(zhǎng)比的極限值,得到了能模擬應(yīng)力軟化效應(yīng)的新模型.

另一部分學(xué)者不考慮橡膠分子的內(nèi)部微觀結(jié)構(gòu),從宏觀現(xiàn)象出發(fā)構(gòu)建唯象的本構(gòu)模型.Mullins和Tobin[13]將橡膠內(nèi)部區(qū)域分為兩大類(lèi),分別是“硬區(qū)”和“軟區(qū)”,材料的變形主要是在“軟區(qū)”產(chǎn)生,而“硬區(qū)”對(duì)變形幾乎沒(méi)有貢獻(xiàn).加載過(guò)程中“硬區(qū)”部分逐漸轉(zhuǎn)為“軟區(qū)”,卸載后重新加載,當(dāng)加載應(yīng)力達(dá)到初始卸載應(yīng)力以后,“轉(zhuǎn)化”過(guò)程才會(huì)繼續(xù).此外,為了模擬填充橡膠的應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系,Mullins 和Tobin[14]又引入了應(yīng)變放大因子;文獻(xiàn)[15-17]在前面研究的基礎(chǔ)上進(jìn)一步優(yōu)化和完善;Simo[18]另辟蹊徑,在基于變形梯度的彈性勢(shì)中加入了一個(gè)表征損傷的量,用來(lái)解釋類(lèi)橡膠材料應(yīng)力軟化過(guò)程中出現(xiàn)的分子鏈破壞,微結(jié)構(gòu)損傷.在此基礎(chǔ)上,根據(jù)引入量演化方程的不同,提出了各種不同的結(jié)果[19-22];Ogden 和Roxburgh[23]在偽彈性模型的基礎(chǔ)上只引入了一個(gè)變量去表示理想化的應(yīng)力軟化效應(yīng).

Mullins 效應(yīng)通常伴隨著不可恢復(fù)變形的產(chǎn)生[3](隨著時(shí)間的流逝會(huì)慢慢變小,在退火后靜置足夠長(zhǎng)時(shí)間基本消失),其大小和橡膠中的填充物含量百分比以及加載應(yīng)力大小均有關(guān)系[24-25].通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)證明,應(yīng)力軟化會(huì)使得材料性質(zhì)變成各向異性,先前伸長(zhǎng)過(guò)的方向上應(yīng)力軟化會(huì)更加明顯[1-3,26].各向異性特征也會(huì)直接導(dǎo)致材料發(fā)生不可恢復(fù)變形.為了模擬Mullins 效應(yīng)產(chǎn)生的不可恢復(fù)變形和各向異性特征,Dorfmann 和Ogden[27]在偽彈性理論[23]的基礎(chǔ)上額外引入了一個(gè)表征殘余應(yīng)變的量,可以模擬單軸拉伸?壓縮循環(huán)加載下產(chǎn)生的應(yīng)力軟化和不可恢復(fù)變形.他們的模型可以證明材料循環(huán)加載下發(fā)生了各向異性,但是無(wú)法通過(guò)模型進(jìn)行量化模擬;G?ktepe 和Miehe[10]將分子內(nèi)部網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分解成CC (crosslink-to-crosslink)結(jié)構(gòu)和PP (particle-toparticle)結(jié)構(gòu).Mullins 效應(yīng)引起的結(jié)構(gòu)損傷和各向異性主要發(fā)生在PP 結(jié)構(gòu)中,且會(huì)自然而然地使得模型產(chǎn)生不可恢復(fù)變形;Diani 等[26]根據(jù)Marckmann 等[9]的方法,定義了不同方向上的耗散,然后將其引入到Pawelski[28]的本構(gòu)法則中,構(gòu)建了新的本構(gòu)模型.他們的方法可以預(yù)測(cè)應(yīng)力軟化、殘余變形以及各向異性特征;談炳東等[29-30]根據(jù)纖維增強(qiáng)復(fù)合材料連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論,提出了各向異性超彈性本構(gòu)模型,并能很好地預(yù)測(cè)0°～ 45°各向異性力學(xué)性能.

關(guān)于Mullins 效應(yīng)產(chǎn)生不可恢復(fù)變形和各向異性特征的最新研究成果主要是在經(jīng)典的模型上進(jìn)行改進(jìn)[31-34].以上提到的模型盡管可以模擬Mullins 效應(yīng)引起的不可恢復(fù)變形和各向異性特征,但是都存在著不足.微結(jié)構(gòu)模型的參數(shù)往往需要迭代求解,計(jì)算量大;唯象模型則需要引入沒(méi)有物理意義的隱式參數(shù).近幾年來(lái),Xiao 等[35-36]和Wang 等[37]用顯式的方法提出了類(lèi)橡膠材料的多軸彈性勢(shì),可以精確匹配4 個(gè)基準(zhǔn)實(shí)驗(yàn),同時(shí)預(yù)測(cè)非等雙軸拉伸的變形趨勢(shì).王曉明等[38]在此基礎(chǔ)上引入了耗散量,并通過(guò)分析應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系,給出耗散表達(dá),最終使得模型可以模擬理想的Mullins 效應(yīng)滯回圈.通過(guò)進(jìn)一步改造形函數(shù)的表達(dá),該方法還能模擬類(lèi)橡膠材料過(guò)載破壞的情況[39].在彈性勢(shì)中加入溫度的項(xiàng),可以模擬形狀記憶聚合物的熱力學(xué)行為[40].

本文以前面的研究為基礎(chǔ),在形函數(shù)中新引入表征不可恢復(fù)變形大小和各向異性特征的兩個(gè)變量,以上兩個(gè)量均依賴(lài)于依賴(lài)耗散大小.其中,不可恢復(fù)變形量隨著耗散的增大而增大,直到趨于穩(wěn)定;各向異性特征量在應(yīng)力軟化之前不起任何作用(材料各向同性),一旦在某一方向發(fā)生Mullins 效應(yīng),其值將發(fā)生變化,在任意其他方向加載?卸載后的應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系將和初始加載方向上的應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系發(fā)生明顯的偏離(引入各向異性),在達(dá)到相同的變形情況下,應(yīng)力值小于初始方向的應(yīng)力值.當(dāng)加載方向和初始加載方向呈90°時(shí),這樣的差異最為明顯.

1 考慮耗散的多軸可壓縮彈性勢(shì)

類(lèi)橡膠材料本構(gòu)模型的建立,通常需要提出合適的彈性勢(shì).本章通過(guò)以下4 個(gè)步驟構(gòu)造彈性勢(shì):首先,通過(guò)對(duì)數(shù)應(yīng)變張量和耗散標(biāo)量構(gòu)造彈性勢(shì);其次,通過(guò)對(duì)數(shù)應(yīng)變偏量構(gòu)造3 個(gè)不變量,并將它們引入彈性勢(shì),使其多軸可壓縮且能匹配多個(gè)變形模式;再次,將3 種變形模式下考慮耗散的單軸形函數(shù)積分得到各自的單軸彈性勢(shì);最后,通過(guò)Hermite 插值方法,利用3 個(gè)不變量和單軸彈性勢(shì),構(gòu)造考慮耗散的多軸可壓縮彈性勢(shì).

1.1 基于對(duì)數(shù)應(yīng)變的耗散彈性勢(shì)

理想的超彈性模型沒(méi)有能量的耗散,而Mullins效應(yīng)的存在表明材料在加載?卸載過(guò)程中出現(xiàn)了能量的損耗.為了使模型具備模擬應(yīng)力軟化的功能,需要引入一個(gè)標(biāo)量 κ 來(lái)表示耗散.此外,相比于其他模式的應(yīng)變張量,基于對(duì)數(shù)應(yīng)變h的彈性勢(shì)W推導(dǎo)得到應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系的過(guò)程更加簡(jiǎn)單和直接[41]

式中,W,J,τ,σ 分別表示彈性勢(shì)、體積比、基爾霍夫應(yīng)力以及柯西應(yīng)力.

對(duì)數(shù)應(yīng)變與變形梯度的關(guān)系為

其中B=F·FT,也稱(chēng)為左柯西?格林張量.方程(2)中,λi,ni,i=1,2,3,是材料伸長(zhǎng)比(特征值)和特征向量.方程(1)中的彈性勢(shì)W是對(duì)數(shù)應(yīng)變張量和耗散標(biāo)量的函數(shù)

1.2 基于對(duì)數(shù)應(yīng)變偏量的不變量

基于對(duì)數(shù)應(yīng)變張量的3 個(gè)基本不變量表達(dá)為

其中s=1,2,3.對(duì)數(shù)應(yīng)變偏量的表達(dá)為

根據(jù)方程(5),當(dāng)trh=0 時(shí),i1=0,表示變形前后體積變化忽略不計(jì)(材料不可壓縮),使得h=h?.本文考慮可壓縮情況,所以對(duì)數(shù)應(yīng)變偏量和對(duì)數(shù)應(yīng)變可以不相等.

類(lèi)似于方程(4)的表達(dá),基于對(duì)數(shù)應(yīng)變偏量的3 個(gè)基本不變量為

其中s=1,2,3.新的3 個(gè)基本不變量和初始的3 個(gè)基本不變量之間存在著以下關(guān)系

從以上3 個(gè)基本不變量出發(fā)構(gòu)造3 個(gè)新的不變量.第1 個(gè)不變量稱(chēng)為壓縮不變量,用 γ1表示,能控制材料是否可壓縮的條件.當(dāng)材料不可壓縮,其值為0,當(dāng)材料可壓縮,其值不為0;第2 個(gè)稱(chēng)為橋聯(lián)不變量,用 γ2表示,能實(shí)現(xiàn)模型的多軸擴(kuò)展.在單軸情況下會(huì)自動(dòng)退化到相應(yīng)的對(duì)數(shù)應(yīng)變;第3 個(gè)不變量稱(chēng)為匹配不變量,用 γ3表示,能將3 種不同變形模式(單軸拉伸和壓縮、等雙軸拉伸和壓縮、以及平面應(yīng)變)整合到一個(gè)統(tǒng)一的模型當(dāng)中.通過(guò)分析我們可以得到滿足條件的3 個(gè)不變量表達(dá)為

1.3 帶有耗散的單軸彈性勢(shì)

理想情況下加載?卸載循環(huán)作用下的應(yīng)力?應(yīng)變曲線都是重合的,引入了耗散也就意味著每一次循環(huán)都會(huì)發(fā)生能量損耗,應(yīng)力?應(yīng)變曲線隨著循環(huán)的進(jìn)行而逐漸變化,因此其形函數(shù)的給定必須考慮耗散.

單軸拉伸壓縮變形模式下,假設(shè)受力方向應(yīng)力為 τu,對(duì)數(shù)應(yīng)變?yōu)閔,耗散用 κ 表示,則應(yīng)力?應(yīng)變形函數(shù)可以表示為

對(duì)方程(9)積分,就可以得到單軸拉伸情況下的彈性勢(shì)

等雙軸拉伸的應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系可以通過(guò)單軸實(shí)驗(yàn)的關(guān)系推導(dǎo)出來(lái)(參考文獻(xiàn)[35]中的Theorem A),再通過(guò)積分可以得到其彈性勢(shì).

平面應(yīng)變是對(duì)一個(gè)長(zhǎng)條形橡膠塊(z方向比x和y方向尺寸大很多),在z方向進(jìn)行固定,x方向和y方向,一端拉伸,另一端自由.假設(shè)加載方向應(yīng)力為 τP,對(duì)數(shù)應(yīng)變?yōu)閔,固定方向應(yīng)力為 τpf,我們給定其兩個(gè)方向的應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系為

在該變形模式下,只有在載荷方向做功,因此我們得到應(yīng)變能彈性勢(shì)為

1.4 統(tǒng)一彈性勢(shì)

方程(3)給定的彈性勢(shì)依賴(lài)于對(duì)數(shù)應(yīng)變張量和耗散,其中前者可以通過(guò)1.2 節(jié)中給定的3 個(gè)不變量來(lái)替換,即

將方程(13)代入到方程(1),得到

式中是對(duì)數(shù)應(yīng)變偏量,I是單位二階張量.張量I,,之間相互正交

可以作為對(duì)數(shù)應(yīng)變張量的3 個(gè)基.

接下來(lái)利用Hermite 插值方法,我們可以得到多軸可壓縮彈性勢(shì)為

其中Z+和Z?表達(dá)為

Y+,Y?分別等于,形式為

式中 υ 表示泊松比,等于側(cè)向應(yīng)變hl比上受力方向應(yīng)變h的相反數(shù)

當(dāng)材料變形前后體積不變,hl=?0.5h,從式(20)可以得到泊松比 υ=0.5.

從式(17)出發(fā),可以得到單軸實(shí)驗(yàn)下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為方程(9),平面應(yīng)變下的應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系為方程(11),而等雙軸下的應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系[38]為

2 新的形函數(shù)

本節(jié)首先通過(guò)應(yīng)變?應(yīng)力圖中面積所代表的能量關(guān)系推導(dǎo)出耗散 κ 的顯式表達(dá);其次,隨著耗散的增加,分析不可恢復(fù)變形大小的演變規(guī)律以及各向異性引入對(duì)應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系的影響,分別通過(guò)hP(κ)和 φ(κ) 來(lái)表示不可恢復(fù)變形大小以及各向異性對(duì)應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系的影響程度;最后,利用耗散 κ,不可恢復(fù)變形大小hP(κ),以及各向異性影響項(xiàng) φ(κ),結(jié)合球坐標(biāo),構(gòu)造新的形函數(shù)表達(dá)形式.

2.1 耗散表達(dá)

如圖1 所示,橡膠材料在初始加載下,應(yīng)力?應(yīng)變沿著(a)前進(jìn),在達(dá)到P1點(diǎn)后開(kāi)始卸載,卸載路徑沿著(b)運(yùn)行,最后產(chǎn)生不可恢復(fù)變形hP1,完成一個(gè)循環(huán),產(chǎn)生的能量耗散可以用圖1 中(1)的面積來(lái)表示;再次加載后,初始卸載應(yīng)力點(diǎn)以下的部分發(fā)生明顯的應(yīng)力軟化,而之后這樣的軟化就不是很明顯[1-3].因此,第2 次加載路徑應(yīng)該是從(b)變成(c),到達(dá)P2點(diǎn)后再次卸載,卸載路徑沿著(d)走(此時(shí)軟化現(xiàn)象更加嚴(yán)重,卸載曲線和初始加載曲線之間的偏離更加嚴(yán)重),最后產(chǎn)生不可恢復(fù)變形hP2,產(chǎn)生的能量耗散可以用圖中(2)的面積來(lái)表示;第3 次循環(huán)的路徑可以通過(guò)類(lèi)似的規(guī)律推導(dǎo).

圖1 Mullins 效應(yīng)產(chǎn)生不可恢復(fù)變形示意圖Fig.1 Schematic of Mullins effects with permanent set

通過(guò)大量應(yīng)力軟化的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析,循環(huán)加載?卸載作用下能量耗散的變化規(guī)律有以下3 點(diǎn):(1)隨著循環(huán)加載?卸載的進(jìn)行,能量耗散逐漸累積;(2)從單個(gè)加載?卸載循環(huán)來(lái)看,能量耗散最小的情況是加載和卸載路徑重合(不產(chǎn)生應(yīng)力軟化),κ=0;(3)從單個(gè)加載?卸載循環(huán)來(lái)看,能量損耗最大的情況是卸載曲線極度彎曲(應(yīng)力軟化最大化),κ=κm.其中

滯回圈面積大小無(wú)法超過(guò) κm,因此

耗散隨著卸載應(yīng)力 τm的變化規(guī)律可以通過(guò)雙曲正切函數(shù)得到

式中,τr和 α1是可調(diào)參數(shù).當(dāng) τm=τr時(shí),;參數(shù)α表示 κ隨著 τm變化的速度.

2.2 不可恢復(fù)變形和各向異性

耗散的引入會(huì)產(chǎn)生不可恢復(fù)變形以及各向異性特征.本節(jié)討論不可恢復(fù)變形以及各向異性特征隨著耗散累積的變化規(guī)律,分別通過(guò)hP(κ) 和 φ(κ) 來(lái)表征不可恢復(fù)變形大小和各向異性對(duì)應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系的影響程度.

2.2.1 不可恢復(fù)變形

在保持最大應(yīng)變的情況下,不可恢復(fù)變形的變化規(guī)律如下[27]:(1)不可恢復(fù)變形量隨著循環(huán)的進(jìn)行會(huì)逐漸變大;(2)第一個(gè)循環(huán)前后產(chǎn)生的變形最大,后面依次減少;(3)在循環(huán)次數(shù)足夠多的情況下,不可恢復(fù)變形不再變化,達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定值.假設(shè)有n次循環(huán),hPi表示每一次產(chǎn)生的不可恢復(fù)變形,i=1,2,···,n.則有

耗散的引入導(dǎo)致了不可恢復(fù)變形的產(chǎn)生.因此,假設(shè)

hP隨著耗散的增大而增大,直到趨于一個(gè)穩(wěn)定的數(shù)值.p1和p2是可調(diào)參數(shù).

2.2.2 各向異性

如圖2 所示,假設(shè)六面體橡膠塊初始情況下為各向同性.從任意方向加載,其性質(zhì)都是一樣的.一旦在某一方向(比如x軸方向)加載然后卸載,Mullins 效應(yīng)的產(chǎn)生將導(dǎo)致材料引入了各向異性特征,此時(shí),再沿著初始方向(x軸方向)加載?卸載的應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系將和沿著其他方向(比如y軸或者z軸)的發(fā)生明顯的差異.

圖2 六面體橡膠塊三維受力示意圖Fig.2 Schematic of hexahedral rubber block with three-dimensional force

為了證明并量化Mullins 效應(yīng)引入的各向異性性質(zhì).Diani 等[26]做了相關(guān)實(shí)驗(yàn).首先,將A 和B 兩塊相同的橡膠六面體同時(shí)在x軸方向進(jìn)行同樣的拉伸加載,然后卸載.此時(shí)兩塊試樣均發(fā)生了Mullins 效應(yīng)且都產(chǎn)生了相同的不可恢復(fù)變形.接下來(lái),對(duì)A 進(jìn)行x軸方向的拉伸加載和卸載,對(duì)B 進(jìn)行y軸方向(垂直于初始方向)的拉伸加載和卸載.將兩塊試樣的第2 個(gè)循環(huán)的應(yīng)力?應(yīng)變曲線(Mullins 效應(yīng)已經(jīng)飽和)進(jìn)行比較,結(jié)果如圖3 所示,其中,應(yīng)變類(lèi)型采用對(duì)數(shù)應(yīng)變.從圖3 可以得到二個(gè)結(jié)論:(1) A 和B兩塊試樣的應(yīng)力?應(yīng)變曲線不重合且有明顯的差異,說(shuō)明Mullins 效應(yīng)確實(shí)引入了各向異性特征;(2) A的曲線明顯高于B 曲線(同樣應(yīng)變情況下,A 的應(yīng)力更大),說(shuō)明B 的應(yīng)力軟化更加嚴(yán)重.假設(shè)在x軸上的應(yīng)力?應(yīng)變形函數(shù)為f(h,κ),那么與其垂直方向加載?卸載的形函數(shù)為(h,κ)=φ(κ)f(h,κ),其中 φ(κ) 表征了各向異性程度,其滿足以下條件

圖3 Diani 等[26]證明引入各向異性的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Fig.3 An experimental evidence of induced anisotropy by Diani et al.[26]

式(29)表示如果沒(méi)有發(fā)生耗散(κ=0),那么垂直方向的應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系和初始方向一致,材料沒(méi)有發(fā)生各向異性特征;如果耗散很大,那么材料發(fā)生極度的各向異性,垂直方向幾乎沒(méi)有抵抗變形的能力.基于以上條件,可以假設(shè) φ(κ) 的形式為

式中,α2和 κr是可調(diào)參數(shù).在初始方向和垂直方向中間的形函數(shù),其各向異性特征項(xiàng)的值理論上介于0～1 之間.

2.3 統(tǒng)一形函數(shù)構(gòu)造

首先給出各向同性的形函數(shù)形式;然后利用球坐標(biāo)轉(zhuǎn)換和2.2.2 節(jié)中給定的各向異性項(xiàng) φ(κ) 進(jìn)行擴(kuò)展,得到能模擬各向異性特征的形函數(shù);最后,在單軸情況下,利用有理插值的方法給定帶有不可恢復(fù)變形hP(κ) 的形函數(shù)表達(dá).將結(jié)果代入到前面的各向異性形函數(shù),從而構(gòu)造統(tǒng)一的形函數(shù)形式.

2.3.1 各向同性的形函數(shù)

形函數(shù)分為加載曲線和卸載曲線,如圖1 所示.初始加載曲線沿著路徑(a)前進(jìn),P1點(diǎn)卸載以后發(fā)生應(yīng)力軟化(耗散的產(chǎn)生).重新加載直到上一次卸載應(yīng)力之前的部分將沿著上一次卸載曲線路徑(b)行走.一旦應(yīng)力超過(guò)P1點(diǎn)應(yīng)力,應(yīng)力軟化降低,應(yīng)力?應(yīng)變曲線沿著(c)前進(jìn).再次在P2點(diǎn)卸載后重新加載,將沿著從(d)到(e)的方向前進(jìn);卸載曲線的變化和耗散緊密相關(guān),耗散越大,軟化越嚴(yán)重,和同一滯回圈內(nèi)的加載曲線偏離就越大.滿足以上條件的形函數(shù)構(gòu)造形式如下

式中 τm表示上一次卸載應(yīng)力,α3是可調(diào)參數(shù),表示應(yīng)變率.參數(shù) χ和 π 具有如下性質(zhì)

下面分析加載曲線和卸載曲線.初次加載時(shí),將κ=0,χ=1,π=1 代入到方程(31),得到加載曲線方程為

有了加載歷史以后,χ=1不變,κ>0,加載曲線方程變?yōu)?/p>

然后分析卸載曲線,此時(shí) χ=?1,κ>0,得到曲線方程為

2.3.2 各向異性的形函數(shù)

方程(31)得到的各向同性形函數(shù)還需要進(jìn)一步改進(jìn),使其能夠產(chǎn)生各向異性性質(zhì).改進(jìn)形式為

如圖4 所示,r表示受力方向,φ 表示受力方向在x軸和y軸組成的平面投影和x軸的夾角,θ 表示受力方向和z軸的夾角.假設(shè)初始受力方向?yàn)閤軸,φ(κ)表示與其垂直的y軸方向各向異性程度,而φ′(κ)表示與其垂直的z軸方向各向異性程度,他們均可用方程(30)的形式給出.

圖4 任意方向受力的球坐標(biāo)示意圖Fig.4 Schematic of loading in arbitrary direction by Spherical coordinate system

在初始x軸方向加載?卸載的基礎(chǔ)上,如果繼續(xù)在同樣的方向進(jìn)行加載,那么r方向和x軸重合,此時(shí) φ=0°,θ=90°,得到

如果再次加載方向?yàn)閥軸,則 φ=90°,θ=90°,得到

如果再次加載方向?yàn)閦 軸,則 φ=90°,θ=0°,得到

2.3.3 兩個(gè)基準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)下的單軸形函數(shù)

本節(jié)需要給出方程(31)中函數(shù)fˉ(κ) 和f?(h,κ) 具體形式,然后代入到方程(38),得到統(tǒng)一的形函數(shù)表達(dá).(κ) 和(h,κ) 表示的是單軸情況下基準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)形函數(shù),可以通過(guò)有理插值的方法給出.對(duì)于單軸拉伸?壓縮變形模式下的形函數(shù)給定為

關(guān)于以上兩個(gè)函數(shù)具備的性質(zhì)在前面的研究工作[38]中已經(jīng)闡明.其中方程(43) 中的E(κ),h1(κ),h2(κ)和 α(κ) 是依賴(lài)耗散的函數(shù),當(dāng)耗散 κ=0,他們的初始值即為方程(42)中的E0,h10,h20和 α0.和前面研究不一樣的地方在于本文的方程中加入了依賴(lài)耗散的不可恢復(fù)變形hP(κ);等雙軸實(shí)驗(yàn)的形函數(shù)結(jié)合方程(21)和(38)得到平面應(yīng)變情況下的形函數(shù)形式,其加載方向?yàn)?/p>

固定方向?yàn)?/p>

式中hq(κ),αq(κ) 和 αqf(κ) 是依賴(lài)耗散 κ 的函數(shù),他們的初始值分別為hq0,αq0和 αqf0.

3 數(shù)值模擬

第2 節(jié)構(gòu)造的形函數(shù)代入到第1 節(jié)的本構(gòu)方程中,能夠自動(dòng)得到對(duì)應(yīng)變形模式的應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系.3 個(gè)基準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)和Mullins 效應(yīng)產(chǎn)生的理想滯回圈數(shù)據(jù)都能精確匹配[38].本文重新優(yōu)化了形函數(shù),加入了考慮不可恢復(fù)變形和各向異性的項(xiàng),本章給出模型結(jié)果和經(jīng)典實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比.

3.1 不可恢復(fù)變形實(shí)驗(yàn)?zāi)M

單軸情況下對(duì)數(shù)應(yīng)變h=lnλ,代入到方程(42)和(43),再結(jié)合方程(31)和(38),即可得到單軸拉伸?壓縮情況下的應(yīng)力?應(yīng)變形函數(shù).

Diani 等[26]做了單軸拉伸加載?卸載循環(huán)實(shí)驗(yàn).分別保持伸長(zhǎng)比 λ 為1.5,2,2.5 和3 不變,進(jìn)行10 次加載?卸載,產(chǎn)生了相應(yīng)的4 個(gè)穩(wěn)定的不可恢復(fù)變形.

為了得到模型結(jié)果,給出方程(43) 中的E(κ)(MPa),h1(κ),h2(κ) 和 α(κ) 的具體表達(dá)為

通過(guò)方程(46)～ 式(49)得到,當(dāng) κ=0 時(shí)初始值(方程(42)中的參數(shù))分別為E0=10 MPa,h10=1.4,h20=10和 α0=0.16.

方程(28)中,取p1=0.25,p2=0.27.方程(24)中控制耗散變化規(guī)律的兩個(gè)參數(shù) τr和α1分別給定為10.15 MPa 和0.056.實(shí)驗(yàn)中的4 次卸載應(yīng)力分別為4.49 MPa,7.68 MPa,11.23 MPa 和15.98 MPa.再根據(jù)方程(42)確定 κm的大小分別為1.01,2.51,4.68和7.05,由此可以確定耗散功大小.將耗散代入到方程(46)～ 式(49)確定每一次循環(huán)參數(shù)值,方程(32)中的 α3=100.最后根據(jù)方程(31)計(jì)算每一次循環(huán)的加載曲線和卸載曲線.與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比如圖5所示.

圖5 模型結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果[26]對(duì)比圖.橫坐標(biāo)表示對(duì)數(shù)應(yīng)變,縱坐標(biāo)表示基爾霍夫應(yīng)力Fig.5 Comparison between model result and the experimental data[26].“x”axis represents the Hencky strain,and“y”axis represents the Kirchhoff stress

實(shí)線表示模型模擬的結(jié)果,其中黑線表示第1 次加載路徑,紅色表示第1 次卸載然后再次加載的路徑,藍(lán)色表示第2 次卸載然后再次加載的路徑,洋紅色表示第3 次卸載然后再次加載的路徑,褐色表示第4 次卸載然后再次加載的路徑,紫色表示第5 次卸載然后再次加載的路徑.空心圓點(diǎn)表示實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).從圖中可以看出模型可以精確模擬和匹配前四次加載?卸載的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),而對(duì)于第5 次卸載(假設(shè)卸載應(yīng)力為21.08 MPa,塑性功為9.17)的曲線,能夠進(jìn)行合理的預(yù)測(cè).

3.2 引入各向異性實(shí)驗(yàn)?zāi)M

為了證明Mullins 效應(yīng)會(huì)引入各向異性特征,Diani 等[26]做了相關(guān)實(shí)驗(yàn),結(jié)果如圖3 所示.假設(shè)方程(38)中的 φ(κ) 和φ′(κ) 的形式一致,都通過(guò)方程(30)來(lái)確定,其中參數(shù) α2=0.52,κr=3.11.初次加載到λ=2,對(duì)數(shù)應(yīng)變?yōu)閘 nλ=0.6931,通過(guò)前面的方法可得耗散為2.51.代入到方程(30) 得到 φ(κ)=0.65,φ′(κ)=0.65.假設(shè)初始加載方向?yàn)閤軸,后面再次加載分別在x軸和y軸,通過(guò)方程(38)可以得到模型結(jié)果,和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比如圖6 所示.

圖6 Diani 等[26]的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和模型結(jié)果對(duì)比Fig.6 Comparison between experimental data of Diani et al.[26] and model result

黑色圓點(diǎn)和空心圓點(diǎn)分別表示x方向和y方向的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),黑色實(shí)線和紅色實(shí)線分別表示x方向和y方向的模型結(jié)果.從圖6 可以看出,模型結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以精確匹配.

除了匹配實(shí)驗(yàn)結(jié)果,模型還能預(yù)測(cè)其他方向受力的應(yīng)力?應(yīng)變滯回圈關(guān)系.在 φ(κ) 和 φ′(κ) 形式一致的前提下,方程(38)轉(zhuǎn)化為

在 φ=0°,30°,60°和90°的情況下,結(jié)果對(duì)比如圖7所示.其中 φ=0°和90°分別表示x方向和y方向,圖6結(jié)果證明這兩個(gè)方向受力得到的模型結(jié)果和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以精確匹配.而 φ=30°和 60°方向上的應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系可以通過(guò)模型進(jìn)行合理的預(yù)測(cè).

圖7 不同方向上模型結(jié)果對(duì)比Fig.7 Comparison of model results in different directions

4 結(jié)論

本文在前面研究[38]的基礎(chǔ)上,改進(jìn)了形函數(shù)的構(gòu)造形式,其中加入了依賴(lài)耗散的不可恢復(fù)變形項(xiàng)和控制各向異性的項(xiàng).通過(guò)圖5～ 圖7 的結(jié)果,模型結(jié)果不僅可以精確匹配實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),同時(shí)可以對(duì)結(jié)果做合理的預(yù)測(cè).從而證明新的模型可以模擬Mullins效應(yīng)產(chǎn)生的不可恢復(fù)變形以及由此引入各向異性特征.

本文創(chuàng)新點(diǎn)在于以下3 點(diǎn):(1) 改進(jìn)了加載?卸載形函數(shù)的統(tǒng)一模式(方程(31)),引入了新的量 π,實(shí)現(xiàn)了加載曲線從應(yīng)力顯著軟化(τ<τm)到不顯著軟化(τ>τm)的平滑過(guò)度;(2)形函數(shù)中引入了不可恢復(fù)變形部分hP,并給出其具體形式,且符合2.2 節(jié)給出的3 個(gè)條件,最后能精確匹配和預(yù)測(cè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果(圖5);(3)通過(guò)球坐標(biāo)構(gòu)建了任意方向受力的形函數(shù)改進(jìn)形式(方程(38)),并在其中加入了控制各向異性的項(xiàng) φ(κ) 和 φ′(κ) 及其具體表達(dá)(方程(30)).引入的各向異性滿足2.2.2 節(jié)中提出的條件且能精確匹配和預(yù)測(cè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果(圖6).