用MATLAB程序?qū)崿F(xiàn)牛頓環(huán)的動(dòng)畫演示*

周群益

(廣州理工學(xué)院通識(shí)教育學(xué)院 廣東 廣州 510540)

莫云飛

(長(zhǎng)沙學(xué)院電子信息與電氣工程學(xué)院 湖南 長(zhǎng)沙 410022)

周麗麗

(贛南醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院 江西 贛州 341000)

侯兆陽

(長(zhǎng)安大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用物理系 陜西 西安 710064)

1 引言

文獻(xiàn)[1]在大學(xué)物理的“課程思政”與仿真實(shí)驗(yàn)中做了有益的探索，以牛頓環(huán)實(shí)驗(yàn)為例，通過MATLAB的用戶交互系統(tǒng)(GUI)提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性．不過，文獻(xiàn)[1]中并沒有說明牛頓環(huán)的數(shù)學(xué)模型，且文中的模擬結(jié)果也出現(xiàn)明顯差錯(cuò)，所謂光強(qiáng)分布曲線應(yīng)該是光波振幅的分布曲線；當(dāng)中心光強(qiáng)為零時(shí)，干涉條紋中心應(yīng)該是暗斑而不是亮斑．我們多年前就出版了MATLAB與大學(xué)物理相結(jié)合的教材，執(zhí)行程序顯示牛頓環(huán)變化的規(guī)律[2]．本文重新建立了牛頓環(huán)的數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用MATLAB特有的指令，用動(dòng)畫演示牛頓環(huán)的變化過程，以便讀者掌握牛頓環(huán)動(dòng)畫的設(shè)計(jì)方法，解決更多的光學(xué)問題.

2 牛頓環(huán)的數(shù)學(xué)模型

如圖1所示，半徑很大且為R的平凸透鏡與平板玻璃的距離為d，空氣間隙厚度為e，e?R，d?R．當(dāng)波長(zhǎng)為λ的單色光a垂直入射時(shí)，在凸透鏡下表面與空氣的交界面同時(shí)發(fā)生反射和透射，反射光為b，透射光a′在平板玻璃的上表面再發(fā)生反射，反射光為b′．b和b′是同一束光a的兩部分，因而是相干光，相遇時(shí)就發(fā)生干涉.

圖1 牛頓環(huán)的光路圖

由于玻璃的折射率大于空氣的折射率，所以b光反射時(shí)沒有半波損失，因而不會(huì)產(chǎn)生附加光程差；b′光反射時(shí)有半波損失，因而會(huì)產(chǎn)生附加光程差．空氣的折射率n=1，兩列光的光程差為

(1)

(2)

暗環(huán)形成的條件為

(3)

(4)

可知，相鄰明環(huán)或暗環(huán)的厚度差相同.

設(shè)光環(huán)的半徑為r，可得方程

r2=R2-(R-e)2

由于R?e，所以

r2≈2Re

(5)

第k級(jí)明環(huán)的半徑為

(6)

第K級(jí)暗環(huán)的半徑為

(7)

當(dāng)d= 0時(shí)，平凸透鏡接觸平板玻璃，可得

(8)

(9)

其中K=0時(shí)的暗環(huán)半徑為零，表示反射光的中央是暗斑(對(duì)應(yīng)的透射光是明斑)．干涉級(jí)次k或K越大，對(duì)應(yīng)的厚度e也越大，明環(huán)和暗環(huán)距離中心越遠(yuǎn)．當(dāng)平凸透鏡向上移動(dòng)時(shí)，d將增加，由于同一級(jí)干涉條紋對(duì)應(yīng)同一厚度，所以條紋向中心移動(dòng)，k和K較小級(jí)次條紋將逐漸消失.

當(dāng)平行光垂直照射時(shí)，設(shè)入射光和反射光的振幅都為A0(A0代表光波中電場(chǎng)能量和磁場(chǎng)能量之和的振幅)，當(dāng)兩束光相干疊加時(shí)，合振幅為

將式(1)代入上式得

將式(5)代入上式得

(10)

光強(qiáng)與光波振幅的平方成正比I=kA2，其中k是比例系數(shù)．因此光強(qiáng)為

(11)

(12)

光強(qiáng)分布規(guī)律為

(13)

3 可視化

(14)

(15)

當(dāng)d= 0時(shí)，相對(duì)振幅為

(16)

相對(duì)光強(qiáng)為

(17)

利用MATLAB的繪圖指令plot可以畫出光波和光強(qiáng)曲線，利用圖像指令image可畫出干涉圖樣，利用色圖指令colormap可設(shè)定干涉條紋的顏色．結(jié)合MATLAB的程序設(shè)計(jì)方法和輔助指令，可以演示牛頓環(huán)的動(dòng)畫(見附錄).

圖2 牛頓環(huán)在初始時(shí)的光波振幅和光強(qiáng)(d=0)

如圖3所示，當(dāng)d=0時(shí)，牛頓環(huán)中央是暗斑，隨著半徑的增加，條紋間距越來越小，分布越來越密．這是因?yàn)橄噜徝鳝h(huán)或暗環(huán)的厚度差相同，從里到外空氣厚度逐漸增加的緣故．注意：圖3顯示反射光的牛頓環(huán)，對(duì)于透射光，牛頓環(huán)的明暗分布的規(guī)律正好相反.

圖4 平凸鏡上移時(shí)的牛頓環(huán)

4 結(jié)束語

我們認(rèn)為，傳統(tǒng)學(xué)科都要與現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)結(jié)合起來，光學(xué)與MATLAB結(jié)合，能夠幫助學(xué)生更好地理解光學(xué)知識(shí)．我們10年前就花費(fèi)了多年時(shí)間，撰寫了MATLAB與大學(xué)物理學(xué)相結(jié)合的教材，共有300多個(gè)各類程序，其中有10多個(gè)光學(xué)程序，相信對(duì)于讀者具有重要的參考價(jià)值.

附 錄

NewtonRing.m

%反射光的牛頓環(huán)的動(dòng)畫

clear,rm=4;r=-rm:0.005:rm;%清除變量,最大半徑(相對(duì)坐標(biāo)),坐標(biāo)向量

A=2*cos(pi*(r.^2+1/2));%反射光的相對(duì)振幅

figure,subplot(2,1,1),plot(r,A,'LineWidth',2);%建立圖形窗口,選子圖,畫曲線

grid on,fs=16;%加網(wǎng)格,字體大小

xlabel('itr/r m_0','FontSize',fs)%加橫標(biāo)簽

ylabel('itA/A m_0','FontSize',fs)%加縱標(biāo)簽

title('反射光的牛頓環(huán)的初始光波振幅','FontSize',fs)%加標(biāo)題

subplot(2,1,2),plot(r,A.^2/4,'LineWidth',2),grid on%選子圖,畫曲線,加網(wǎng)格

xlabel('itr/r m_0','FontSize',fs)%加橫標(biāo)簽

ylabel('itl/I m_0','FontSize',fs)%加縱標(biāo)簽

title('反射光的牛頓環(huán)的初始光強(qiáng)','FontSize',fs)%加標(biāo)題

[X,Y]=meshgrid(r);R=sqrt(X.^2+Y.^2);%坐標(biāo)矩陣,各點(diǎn)到圓心的相對(duì)距離

I=cos(pi*(R.^2+1/2)).^2;c=linspace(0,1,64)';%反射光的相對(duì)光強(qiáng),顏色范圍

figure,h=image(I*64);colormap([c,c*0,c*0])%建立圖形窗口,畫圖像,形成紅色色圖

title('反射光的初始牛頓環(huán)','FontSize',16),axis off equal,pause%標(biāo)題,隱軸,暫停

title('平凸鏡上移時(shí)反射光的牛頓環(huán)','FontSize',16),d=0;%修改標(biāo)題,初始距離

while 1%無限循環(huán)

d=d+0.02;I=cos(pi*(R.^2+2*d+1/2)).^2;%增加距離,反射光的相對(duì)光強(qiáng)

set(h,'CData',64*I),drawnow%設(shè)置光強(qiáng),更新屏幕

if get(gcf,'CurrentCharacter')==char(27),break,end%按ESC鍵退出

end%結(jié)束循環(huán)