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    利用匹配法構(gòu)造一類(lèi)燃燒問(wèn)題的角層近似解

    2021-11-06 02:10:34劉樹(shù)德
    黃山學(xué)院學(xué)報(bào) 2021年5期
    關(guān)鍵詞:性質(zhì)

    黃 飛,劉樹(shù)德

    (1.安徽信息工程學(xué)院 通識(shí)教育與外國(guó)語(yǔ)學(xué)院,安徽 蕪湖 241000;2.安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,安徽 蕪湖 241000)

    1 引言

    考慮燃料與氧化劑沒(méi)有預(yù)先混合的燃燒問(wèn)題。假設(shè)燃燒的擴(kuò)散效應(yīng)與反應(yīng)速度之比ε很小,燃料與氧化劑相遇并反映時(shí)火焰的位置為x=0,火焰在x處的厚度為y,則可歸結(jié)為如下形式的奇攝動(dòng)邊值問(wèn)題[1]:

    文獻(xiàn)[1]利用微分不等式理論研究問(wèn)題(1),(2),得到解的如下估計(jì):

    其中y=|x|是退化解,c>0 是某個(gè)正常數(shù)。在燃燒理論中,退化解作為Burke-Schumann 近似,未能揭示火焰在x=0處的厚度及相關(guān)性質(zhì)。

    本文考慮利用匹配漸近展開(kāi)法[2-8]處理奇攝動(dòng)問(wèn)題,該方法需要涉及內(nèi)展開(kāi)式與外展開(kāi)式之間的匹配,是一項(xiàng)復(fù)雜的技術(shù)性的工作。

    2 主要結(jié)果

    為了構(gòu)造出在x=0 處具有內(nèi)層性質(zhì)的校正項(xiàng),分以下4步進(jìn)行。

    2.1 構(gòu)造外展開(kāi)式的第一項(xiàng)

    設(shè)問(wèn)題(1),(2)的外展開(kāi)式具有形式

    將(4)代入(1),比較方程兩邊ε的零次冪系數(shù)得到:

    方程(5)滿(mǎn)足邊界條件

    y(‐1)=1和y(1)=1的解分別為

    因此可取

    作為外部解的零次近似。由于y0(x)在x=0處連續(xù)但不可微,故在x=0 處出現(xiàn)了角層現(xiàn)象,如圖1所示。

    圖1

    2.2 構(gòu)造內(nèi)展開(kāi)式的第一項(xiàng)

    引入伸展變換ξ=(λ>0)來(lái)放大角層,尋求在x=0 附近的內(nèi)展開(kāi)式,并用yi表示相應(yīng)的內(nèi)部解,代入(1),就有

    式中C為積分常數(shù),解出Y0即得內(nèi)展開(kāi)式的第一項(xiàng)。

    2.3 內(nèi)、外展開(kāi)式的匹配

    由(6)式可知,在x=0處

    應(yīng)用Prandtl匹配原則[7],分別有

    在(9)式兩邊令ξ→∞可得C=0。

    進(jìn)一步由(6)式及內(nèi)角層的性質(zhì)推知,當(dāng)ξ<0時(shí),Y0>0,′>0;當(dāng)ξ>0 時(shí),Y0>0,<0。于是

    若給定初值Y0(0)=a(a>0),則在(‐∞,0]和[0,+∞)上分別解相應(yīng)的初值問(wèn)題,就有

    2.4 形成復(fù)合展開(kāi)式

    將外展式與內(nèi)展開(kāi)式相加并減去其公共部分(公共部分為零),得到

    復(fù)合展開(kāi)式(10)在整個(gè)區(qū)間[‐1,1]上一致有效。問(wèn)題(1),(2)的解可用復(fù)合展開(kāi)式的零次近似表示為:

    當(dāng)取0

    3 結(jié)束語(yǔ)

    在沒(méi)有預(yù)先混合的燃燒理論中,一個(gè)典范問(wèn)題歸結(jié)為奇攝動(dòng)邊值問(wèn)題(1),(2)。當(dāng)反應(yīng)速度無(wú)限大時(shí)ε=0,得到退化解(6),使得在x=0 處出現(xiàn)角層現(xiàn)象。

    本文利用匹配漸近展開(kāi)法,先把問(wèn)題(1),(2)的近似解給成以外變量x和內(nèi)變量ξ表示的兩個(gè)獨(dú)立的展開(kāi)式,這兩個(gè)展開(kāi)式的有效區(qū)域重疊,由此可以進(jìn)行匹配,形成在整個(gè)區(qū)間上一致有效的復(fù)合展開(kāi)式,從而構(gòu)造出在x=0處具有角層性質(zhì)的校正項(xiàng),得到簡(jiǎn)單而比較理想的近似解。

    通過(guò)對(duì)邊界層或內(nèi)層的構(gòu)造,容易看出實(shí)際問(wèn)題中出現(xiàn)的參數(shù)對(duì)解的影響,且可用來(lái)對(duì)所考慮的問(wèn)題作定性的和近似定量的討論。因此匹配漸近展開(kāi)法已成為處理非線性奇攝動(dòng)問(wèn)題的一種重要手段,在工程技術(shù)和科學(xué)領(lǐng)域中展示出極其廣闊的應(yīng)用前景。

    應(yīng)用匹配漸近展開(kāi)法可根據(jù)問(wèn)題的需要使用不同的匹配原則,包括Prandtl 匹配原則、Van Dyke匹配原則及中間變量匹配原則,從而能有效地處理一些更復(fù)雜的匹配問(wèn)題。

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