利用匹配法構(gòu)造一類燃燒問(wèn)題的角層近似解

黃 飛，劉樹(shù)德

(1.安徽信息工程學(xué)院 通識(shí)教育與外國(guó)語(yǔ)學(xué)院，安徽 蕪湖 241000；2.安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

1 引言

考慮燃料與氧化劑沒(méi)有預(yù)先混合的燃燒問(wèn)題。假設(shè)燃燒的擴(kuò)散效應(yīng)與反應(yīng)速度之比ε很小，燃料與氧化劑相遇并反映時(shí)火焰的位置為x=0，火焰在x處的厚度為y，則可歸結(jié)為如下形式的奇攝動(dòng)邊值問(wèn)題[1]：

文獻(xiàn)[1]利用微分不等式理論研究問(wèn)題(1)，(2)，得到解的如下估計(jì)：

其中y=|x|是退化解，c>0 是某個(gè)正常數(shù)。在燃燒理論中，退化解作為Burke-Schumann 近似，未能揭示火焰在x=0處的厚度及相關(guān)性質(zhì)。

本文考慮利用匹配漸近展開(kāi)法[2-8]處理奇攝動(dòng)問(wèn)題，該方法需要涉及內(nèi)展開(kāi)式與外展開(kāi)式之間的匹配，是一項(xiàng)復(fù)雜的技術(shù)性的工作。

2 主要結(jié)果

為了構(gòu)造出在x=0 處具有內(nèi)層性質(zhì)的校正項(xiàng)，分以下4步進(jìn)行。

2.1 構(gòu)造外展開(kāi)式的第一項(xiàng)

設(shè)問(wèn)題(1)，(2)的外展開(kāi)式具有形式

將(4)代入(1)，比較方程兩邊ε的零次冪系數(shù)得到：

方程(5)滿足邊界條件

y(‐1)=1和y(1)=1的解分別為

因此可取

作為外部解的零次近似。由于y0(x)在x=0處連續(xù)但不可微，故在x=0 處出現(xiàn)了角層現(xiàn)象，如圖1所示。

圖1

2.2 構(gòu)造內(nèi)展開(kāi)式的第一項(xiàng)

引入伸展變換ξ=(λ>0)來(lái)放大角層，尋求在x=0 附近的內(nèi)展開(kāi)式，并用yi表示相應(yīng)的內(nèi)部解，代入(1)，就有

式中C為積分常數(shù)，解出Y0即得內(nèi)展開(kāi)式的第一項(xiàng)。

2.3 內(nèi)、外展開(kāi)式的匹配

由(6)式可知，在x=0處

應(yīng)用Prandtl匹配原則[7]，分別有

在(9)式兩邊令ξ→∞可得C=0。

進(jìn)一步由(6)式及內(nèi)角層的性質(zhì)推知，當(dāng)ξ<0時(shí)，Y0>0，′>0；當(dāng)ξ>0 時(shí)，Y0>0，<0。于是

若給定初值Y0(0)=a(a>0)，則在(‐∞,0]和[0,+∞)上分別解相應(yīng)的初值問(wèn)題，就有

2.4 形成復(fù)合展開(kāi)式

將外展式與內(nèi)展開(kāi)式相加并減去其公共部分(公共部分為零)，得到

復(fù)合展開(kāi)式(10)在整個(gè)區(qū)間[‐1,1]上一致有效。問(wèn)題(1)，(2)的解可用復(fù)合展開(kāi)式的零次近似表示為:

當(dāng)取0

3 結(jié)束語(yǔ)

在沒(méi)有預(yù)先混合的燃燒理論中，一個(gè)典范問(wèn)題歸結(jié)為奇攝動(dòng)邊值問(wèn)題(1)，(2)。當(dāng)反應(yīng)速度無(wú)限大時(shí)ε=0，得到退化解(6)，使得在x=0 處出現(xiàn)角層現(xiàn)象。

本文利用匹配漸近展開(kāi)法，先把問(wèn)題(1)，(2)的近似解給成以外變量x和內(nèi)變量ξ表示的兩個(gè)獨(dú)立的展開(kāi)式，這兩個(gè)展開(kāi)式的有效區(qū)域重疊，由此可以進(jìn)行匹配，形成在整個(gè)區(qū)間上一致有效的復(fù)合展開(kāi)式，從而構(gòu)造出在x=0處具有角層性質(zhì)的校正項(xiàng)，得到簡(jiǎn)單而比較理想的近似解。

通過(guò)對(duì)邊界層或內(nèi)層的構(gòu)造，容易看出實(shí)際問(wèn)題中出現(xiàn)的參數(shù)對(duì)解的影響，且可用來(lái)對(duì)所考慮的問(wèn)題作定性的和近似定量的討論。因此匹配漸近展開(kāi)法已成為處理非線性奇攝動(dòng)問(wèn)題的一種重要手段，在工程技術(shù)和科學(xué)領(lǐng)域中展示出極其廣闊的應(yīng)用前景。

應(yīng)用匹配漸近展開(kāi)法可根據(jù)問(wèn)題的需要使用不同的匹配原則，包括Prandtl 匹配原則、Van Dyke匹配原則及中間變量匹配原則，從而能有效地處理一些更復(fù)雜的匹配問(wèn)題。