具有時(shí)滯和Smith增長的反應(yīng)擴(kuò)散捕食—食餌系統(tǒng)的Hopf分支

蔣和平，方輝平，丁文國

（黃山學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 黃山 245041）

關(guān)鍵字：時(shí)滯；Smith增長；捕食-食餌系統(tǒng)；Hopf分支

1 引言

May[1]研究了帶Holling 型功能反應(yīng)函數(shù)的捕食-食餌系統(tǒng)[2]，為了更好地描述物種間的生態(tài)交互作用，Tanner[3]和Wollkind et.al.[4]給出了一些更合適的捕食-食餌系統(tǒng)去描述生態(tài)問題。

時(shí)滯普遍在自然界中存在，比如,工程技術(shù)中的時(shí)滯反饋、生物系統(tǒng)中的成熟期和哺乳期等。時(shí)滯會導(dǎo)致系統(tǒng)的動力學(xué)行為更加復(fù)雜[5]。于是很多學(xué)者對時(shí)滯微分系統(tǒng)進(jìn)行了詳細(xì)地研究。反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)會出現(xiàn)豐富的斑圖動力學(xué)行為，近些年有很多文獻(xiàn)研究了相關(guān)理論問題，獲得了很多很好的結(jié)果[6]。時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的動力學(xué)問題也有很多學(xué)者進(jìn)行研究[7-9]。

陳等人[3]研究了具有時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散Leslie-Gower捕食-食餌系統(tǒng)的Hopf分支問題

這里u(x,t),v(x,t)分別表示t時(shí)刻的食餌和捕食的種群密度，d1,d2分別表u,v的擴(kuò)散系數(shù)，c,β,δ,η分別表示種群的規(guī)模、捕獲率、捕食者的增長率、獵物轉(zhuǎn)化為捕食者的生物量，τ1,τ2表示時(shí)滯量。

在文獻(xiàn)[3,10,11]的基礎(chǔ)上,繼續(xù)研究具有時(shí)滯和Smith 增長的反應(yīng)擴(kuò)散捕食-食餌系統(tǒng)的Hopf 分支問題。

下面，主要從以下幾部分研究：首先，考慮系統(tǒng)（1）的正平衡點(diǎn)和Hopf 分支存在性，然后利用中心流形與規(guī)范性理論研究Hopf 分支的分支方向和穩(wěn)定性，最后，通過數(shù)學(xué)軟件MATLAB進(jìn)行數(shù)值模擬，論證和豐富系統(tǒng)（1）的動力學(xué)行為。

2 穩(wěn)定性分析

關(guān)于時(shí)滯引起系統(tǒng)（1）在正平衡點(diǎn)E*(u*,v*)附近的動力學(xué)行為，這里

根據(jù)上述引理和偏泛函微分方程理論，可以得到如下結(jié)果。

定理1：ωk定義在式子（7）和（8）中，有

（1）當(dāng)τ∈(0,τ*) 時(shí)，系統(tǒng)（1）在平衡點(diǎn)E*(u*,v*)處漸近穩(wěn)定，當(dāng)τ∈(τ*,+∞)時(shí)，系統(tǒng)（1）在平衡點(diǎn)E*(u*,v*)處不穩(wěn)定；

（2）當(dāng)τ=τ*時(shí)，系統(tǒng)（1）在平衡點(diǎn)E*(u*,v*)處發(fā)生Hopf分支。

3 數(shù)值模擬

在本節(jié)中，利用MATLAB 軟件，得到數(shù)值模擬的結(jié)果來支持理論分析結(jié)果。

對于系統(tǒng)（1），取d1=0.01,d2=1,c=0.1,β=0.8,δ=1,η=0.5,和初值(u(x,0),v(x,0))=( 0.65+0.05cosx,0.8+0.05cosx)。通過一系列簡單計(jì)算，得到(u*,v*)=( 0.3759,0.7518)和τ*=2.4074。并通過計(jì)算規(guī)范型得=0.0636ερ-0.9954ρ3

這里ε為分支參數(shù)。因此，系統(tǒng)（1）在τ*處發(fā)生穩(wěn)定的Hopf 分支，在平橫點(diǎn)(u*,v*)=( 0.3759,0.7518)處分支出穩(wěn)定的空間齊次周期解。

圖1 當(dāng)τ=2.25< τ*時(shí)，系統(tǒng)（1）在正平橫點(diǎn)( u*,v*)=( 0.3759,0.7518)處漸近穩(wěn)定

圖2 當(dāng)τ=2.5> τ*時(shí)，系統(tǒng)（1）在正平橫點(diǎn)( u*,v*)=(0.3759,0.7518)處分支處穩(wěn)定空間其次周期解

利用數(shù)值模擬研究系統(tǒng)（1）的局部系統(tǒng)

取c=0.1,β=0.8,δ=1,η=0.5,和初值(u(0),v(0))=( 0.65,0.8)，模擬結(jié)果如下：

圖3 當(dāng)τ=2.25< τ*時(shí)，系統(tǒng)（9）在正平橫點(diǎn)( u*,v*)=( 0.3759,0.7518)處漸近穩(wěn)定

圖4 當(dāng)τ=2.5> τ*時(shí)，系統(tǒng)（9）在正平橫點(diǎn)( u*,v*)=( 0.3759,0.7518)處分支處穩(wěn)定的周期解

4 小 結(jié)

以時(shí)滯量τ為分支參數(shù)，來研究具有時(shí)滯和Smith 增長的反應(yīng)擴(kuò)散捕食-食餌系統(tǒng)的Hopf 分支問題。首先，關(guān)于系統(tǒng)在正平衡點(diǎn)處穩(wěn)定性進(jìn)行分析，接著，計(jì)算時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散捕食-食餌系統(tǒng)的Hopf分支的規(guī)范型，最后，通過取d1=0.01,d2=1,c=0.1,β=0.8,δ=1,η=0.5，并通過簡單的計(jì)算，得到了分支的臨界值為τ*=2.4074。當(dāng)τ=2.5>τ*時(shí)，系統(tǒng)(1)在平衡點(diǎn)( 0.3759,0.7518)分支處了穩(wěn)定的空間其次周期解。系統(tǒng)（1）的局部系統(tǒng)（9）分支出穩(wěn)定的周期解。當(dāng)τ=2.25<τ*時(shí)，系統(tǒng)（1）及其局部系統(tǒng)（9）在平衡點(diǎn)( 0.3759,0.7518)處漸近穩(wěn)定。