內(nèi)S形柔性梁多環(huán)諧振陀螺熱彈性阻尼分析

馮 軍， 張衛(wèi)平， 劉朝陽(yáng)， 谷留濤

(1.微米／納米加工技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200240；2.上海交通大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)院微納電子學(xué)系，上海200240)

0 引言

隨著微機(jī)電系統(tǒng)(Micro Electro Mechanical System，MEMS)技術(shù)的發(fā)展，MEMS陀螺以其體積小、功耗低、適合批量生產(chǎn)等優(yōu)勢(shì)受到廣泛關(guān)注。波音公司提出的多環(huán)諧振陀螺由于其結(jié)構(gòu)對(duì)稱好、響應(yīng)靈敏度高、抗沖擊能力強(qiáng)等優(yōu)勢(shì)，成為了目前MEMS陀螺領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)[1-3]。在傳統(tǒng)多環(huán)諧振陀螺的基礎(chǔ)上，內(nèi)S形柔性梁多環(huán)諧振陀螺將最內(nèi)層的直線形支撐梁改為S形支撐梁，可降低諧振頻率從而提高響應(yīng)靈敏度。針對(duì)內(nèi)S形柔性梁多環(huán)諧振陀螺的工作原理和加工工藝已經(jīng)做了相關(guān)研究[4]，但尚未有該陀螺性能方面的報(bào)道。對(duì)于MEMS諧振陀螺而言，品質(zhì)因數(shù)是一個(gè)關(guān)鍵的技術(shù)指標(biāo)，對(duì)于陀螺的性能至關(guān)重要[5]。品質(zhì)因數(shù)的大小由陀螺中的能量耗散決定，其能量耗散的主要形式有空氣阻尼、錨點(diǎn)阻尼、熱彈性阻尼等[6-7]。由于內(nèi)S形柔性梁多環(huán)諧振陀螺采用真空封裝，氣體壓強(qiáng)的影響可以忽略不計(jì)，因而空氣阻尼不是主要的能量耗散形式。此外，內(nèi)S形柔性梁多環(huán)諧振陀螺具有良好的對(duì)稱結(jié)構(gòu)，其錨點(diǎn)附近的振動(dòng)十分微弱，錨點(diǎn)阻尼的影響也可以忽略。綜上，熱彈性阻尼是內(nèi)S形柔性梁多環(huán)諧振陀螺中主要的能量耗散機(jī)制。

為提高內(nèi)S形柔性梁多環(huán)諧振陀螺的性能，首先需要分析該陀螺中熱彈性阻尼的機(jī)理。此外，由于熱彈性阻尼與陀螺結(jié)構(gòu)有著密切關(guān)聯(lián)，找出各結(jié)構(gòu)參數(shù)與熱彈性阻尼的關(guān)系對(duì)于設(shè)計(jì)高性能的陀螺結(jié)構(gòu)十分重要。因此，本文主要針對(duì)以上兩點(diǎn)對(duì)熱彈性阻尼進(jìn)行分析，并提供內(nèi)S形柔性梁多環(huán)諧振陀螺結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的合理建議。

1 結(jié)構(gòu)與工作原理

內(nèi)S形柔性梁多環(huán)諧振陀螺由諧振器和外圍電極構(gòu)成，其結(jié)構(gòu)示意圖如圖1(a)所示。中央圓盤通過(guò)錨點(diǎn)與基底固定，多個(gè)同心圓環(huán)之間通過(guò)輪輻狀支撐梁相連接。其中，連接最內(nèi)層圓環(huán)與中央圓盤之間的支撐梁為S形結(jié)構(gòu)，其余支撐梁為直線結(jié)構(gòu)。諧振器的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)標(biāo)注如圖1(b)所示。其中，S形支撐梁由兩段相同的圓弧組成，每段圓弧的圓心角均為α；諧振器的最外層環(huán)半徑為R1，最內(nèi)層環(huán)半徑為R2，中央圓盤的半徑為r，同心圓環(huán)的寬度為W1，直線形和S形支撐梁寬度均為W2。另將諧振器厚度記為H，同心圓環(huán)的個(gè)數(shù)記為N。

圖1 陀螺結(jié)構(gòu)及主要結(jié)構(gòu)參數(shù)示意圖Fig.1 Schematic diagram of gyroscope structure and its main structure parameters

內(nèi)S形柔性梁多環(huán)諧振陀螺基于科氏效應(yīng)工作，通過(guò)在外圍電極上施加驅(qū)動(dòng)電壓產(chǎn)生驅(qū)動(dòng)力，從而使得陀螺在驅(qū)動(dòng)軸方向產(chǎn)生振動(dòng)。當(dāng)存在垂直于面外方向的角速度輸入時(shí)，由于科氏力的作用，陀螺會(huì)產(chǎn)生檢測(cè)軸方向的振動(dòng)，由于諧振子與外圍電極形成平行板電容器，兩極板的距離隨振動(dòng)發(fā)生變化，通過(guò)檢測(cè)電容的變化就能測(cè)量出輸入的角速度大小。為了便于陀螺的信號(hào)檢測(cè)和控制，通常采用面內(nèi)振動(dòng)的四波腹模態(tài)作為驅(qū)動(dòng)和檢測(cè)的工作模態(tài)，如圖2所示。

圖2 陀螺的工作模態(tài)Fig.2 Diagram of gyroscope working modal

2 熱彈性阻尼的計(jì)算

MEMS諧振陀螺的能量耗散大小可以用品質(zhì)因數(shù)Q來(lái)表示[8]

式(1)中，W0為振動(dòng)中存儲(chǔ)的總能量，ΔW為每個(gè)振動(dòng)周期所耗散的能量。由式(1)可知，能量耗散越小，則品質(zhì)因數(shù)越大。熱彈性阻尼是由于振動(dòng)導(dǎo)致器件彎曲變形而產(chǎn)生的，受拉伸的部分溫度下降，受壓縮的部分溫度升高，從而在器件中產(chǎn)生不可逆的熱流，導(dǎo)致振動(dòng)能量的耗散。熱彈性阻尼造成的能量耗散可以用熱彈性阻尼的品質(zhì)因數(shù)QTED來(lái)表示。

熱彈性阻尼的大小可以通過(guò)下面的耦合熱彈性方程來(lái)求解[9]

式(2)、式(3)中，E為彈性模量，ν為泊松比，αT為熱膨脹系數(shù)，ρ為密度，κ為導(dǎo)熱系數(shù)，Cp為恒壓熱容，F(xiàn)為單位體積力，u為位移矢量，T為溫度。本文研究的內(nèi)S形柔性梁多環(huán)諧振陀螺的材料為各向同性單晶硅，其材料參數(shù)如表1所示。

表1 各向同性單晶硅的材料參數(shù)Table 1 Material parameters of isotropic single crystal silicon

對(duì)于內(nèi)S形柔性梁多環(huán)諧振陀螺，由于其結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，采用解析方法計(jì)算上述耦合熱彈性方程十分困難，可借助有限元軟件COMSOL Multiphysics對(duì)上述耦合熱彈性方程進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。COMSOL Multiphysics中的熱彈性力學(xué)將應(yīng)力場(chǎng)和溫度場(chǎng)進(jìn)行了耦合，可用于耦合熱彈性問(wèn)題的分析。

通過(guò)有限元仿真分析，可以得出如圖3所示的四波腹模態(tài)的溫度分布圖，并可求出熱彈性阻尼的品質(zhì)因數(shù)QTED。

圖3 四波腹模態(tài)中的溫度分布Fig.3 Diagram of temperature distribution in four-antinode modal

由圖3可知，由于陀螺的彎曲變形，諧振器各處溫度不同，從而形成從高溫區(qū)域到低溫區(qū)域的不可逆熱流。這些熱流的形成受陀螺結(jié)構(gòu)的影響很大，研究結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)熱彈性阻尼的影響是十分必要的。

由圖2和圖3可知，由于中央圓盤與基底固定，中央圓盤處沒(méi)有振動(dòng)位移和溫度梯度，故有限元模型中可以將中央圓盤去除，同時(shí)在S形支撐梁與中央圓盤連接處的8個(gè)截面添加固定約束，以等效于中央圓盤與基底固定。等效后的有限元模型如圖4所示。在該有限元模型中，采用三角形網(wǎng)格和掃掠網(wǎng)格相結(jié)合的網(wǎng)格劃分方法，既滿足了網(wǎng)格劃分的靈活性要求，又能提高計(jì)算的精度和速度。在實(shí)際計(jì)算過(guò)程中，需要進(jìn)一步細(xì)化網(wǎng)格，以追求更加精確的計(jì)算結(jié)果，并同時(shí)兼顧計(jì)算速度。

3 熱彈性阻尼與結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系

為研究?jī)?nèi)S形柔性梁多環(huán)諧振陀螺結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)熱彈性阻尼的影響，需要找出熱彈性阻尼隨各結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化關(guān)系。解決這一問(wèn)題的方法是：改變陀螺有限元模型中各個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)的大小，并進(jìn)行熱彈性阻尼的仿真分析，從而計(jì)算出QTED隨各結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化曲線。Zener理論表明：對(duì)于諧振梁而言，由于彎曲變形產(chǎn)生的熱彈性阻尼大小與諧振頻率f0密切相關(guān)[10]。從圖3可以看出，內(nèi)S形柔性梁多環(huán)諧振陀螺的四波腹面內(nèi)振動(dòng)模態(tài)會(huì)導(dǎo)致同心圓環(huán)與支撐梁的彎曲變形，從而導(dǎo)致圓環(huán)和支撐梁中各區(qū)域溫度不均勻，這與諧振梁的熱彈性阻尼機(jī)理類似。因此，內(nèi)S形柔性梁多環(huán)諧振陀螺的熱彈性阻尼也可能與f0有著密切聯(lián)系，本文在計(jì)算QTED的同時(shí)也計(jì)算了f0。

陀螺的初始結(jié)構(gòu)參數(shù)取值如表2所示。當(dāng)研究某一個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)熱彈性阻尼的影響時(shí)，保持其余結(jié)構(gòu)參數(shù)不變。

表2 陀螺的初始結(jié)構(gòu)參數(shù)取值Table 2 Initial structure parameter value of gyroscope

嵌套同心圓環(huán)作為諧振陀螺的主要組成部分之一，其數(shù)目會(huì)影響熱彈性阻尼，影響結(jié)果如圖5所示。由圖5可知，當(dāng)N＝3時(shí)，QTED最小：當(dāng)N＞3時(shí)，隨著N的增加，QTED也隨之增加。同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，f0的變化趨勢(shì)和QTED的變化趨勢(shì)相反。為減小熱彈性阻尼，應(yīng)將環(huán)數(shù)設(shè)計(jì)為N＞3，且環(huán)數(shù)越多越好。然而需要注意的是，在其他結(jié)構(gòu)參數(shù)不變的情況下，環(huán)數(shù)越多則同心環(huán)之間的間隙越小，當(dāng)間隙過(guò)小時(shí)，將受到刻蝕工藝的深寬比限制。因此，在刻蝕深寬比可以達(dá)到要求的情況下，N越大越有利于QTED的提升。

圖5 同心環(huán)數(shù)目對(duì)熱彈性阻尼的影響Fig.5 Influence of concentric ring number on thermoelastic damping

S梁的彎曲程度、中央圓盤尺寸和諧振器尺寸也是陀螺的重要結(jié)構(gòu)參數(shù)，這些結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化同樣會(huì)影響熱彈性阻尼的大小，影響結(jié)果如圖6所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，受這些結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響，f0的變化趨勢(shì)均與QTED的變化趨勢(shì)相反。計(jì)算結(jié)果表明，S梁的圓心角α越大，則f0越小，如圖6(a)所示。需要注意的是，S梁的應(yīng)力主要集中在彎曲部分，圓心角α越大，則該部分應(yīng)力越集中，這將影響陀螺的抗沖擊能力。因此，在設(shè)計(jì)陀螺結(jié)構(gòu)時(shí)還需要考慮其抗沖擊能力，在保證抗沖擊能力達(dá)到要求的前提下，α設(shè)計(jì)得越大越有利于陀螺性能的提升。圖6(b)表明，中央圓盤半徑r越大，則f0越大，同時(shí)QTED越小。這是因?yàn)橹醒雸A盤固定在基底上，r越大意味著諧振器被固定的部分更多，從而諧振頻率會(huì)變大，進(jìn)一步降低了QTED。 這說(shuō)明中央圓盤越小越有利于熱彈性阻尼的減小，但是設(shè)計(jì)過(guò)小的中央圓盤對(duì)于實(shí)際工作中的陀螺是不可行的，這是因?yàn)楫?dāng)諧振器被固定的部分過(guò)小時(shí)，諧振狀態(tài)的可靠性會(huì)隨之下降。最外層環(huán)半徑R1對(duì)熱彈性阻尼的影響如圖6(c)所示，R1越大，則f0越小，同時(shí)QTED越大。R1直接決定了陀螺的整體大小，由于MEMS器件尺寸的限制，陀螺的尺寸不能過(guò)大，這需要在性能和尺寸之間進(jìn)行權(quán)衡。圖6(d)為最內(nèi)層環(huán)半徑R2對(duì)熱彈性阻尼的影響，R2越大，則f0越小，同時(shí)QTED越大。需要注意的是，在其他參數(shù)不變的前提下，最內(nèi)層環(huán)半徑越大，同心環(huán)之間的間隙越小，這也會(huì)受到刻蝕深寬比的限制。

圖6 幾種結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)熱彈性阻尼的影響Fig.6 Influence of several structure parameters on thermoelastic damping

同心環(huán)寬度W1和支撐梁寬度W2也將對(duì)陀螺性能產(chǎn)生影響，影響結(jié)果如圖7所示。從圖7可以看出，W1和W2對(duì)f0和QTED的影響類似，越小的寬度可以得到越小的f0和越大的QTED。因此從理論上而言，為獲得高QTED的陀螺，應(yīng)該盡可能減小寬度W1和W2。但是受到微機(jī)械制造工藝的限制，過(guò)小的W1和W2是不容易實(shí)現(xiàn)的，因此在設(shè)計(jì)同心環(huán)寬度和支撐梁寬度時(shí)，需要同時(shí)考慮制造工藝條件與性能兩方面因素。

圖7 同心環(huán)寬度和支撐梁寬度對(duì)熱彈性阻尼的影響Fig.7 Influence of concentric ring width and support beam width on thermoelastic damping

根據(jù)上述結(jié)果可知：內(nèi)S形柔性梁多環(huán)諧振陀螺的熱彈性阻尼與f0有著密切聯(lián)系，這與Zener理論很相似。Zener理論表明，對(duì)于諧振梁而言，其熱彈性阻尼可以由以下公式求出[10]

式(4)、式(5)中，τth為熱弛豫時(shí)間常數(shù)，d為諧振梁彎曲方向的寬度，T0為諧振器工作的初始溫度。由式(4)可知，QTED為關(guān)于2πf0τth的函數(shù)，其函數(shù)圖形稱為 Zener曲線，如圖 8所示。當(dāng)2πf0τth＝1時(shí)，QTED取得最小值：當(dāng) 2πf0τth? 1時(shí)，諧振器工作在等溫狀態(tài)；當(dāng)2πf0τth?1時(shí)，諧振器工作在絕熱狀態(tài)。

對(duì)于內(nèi)S形柔性梁多環(huán)諧振陀螺而言，其四波腹模態(tài)為面內(nèi)振動(dòng)，諧振器彎曲方向的寬度d即為同心環(huán)和支撐梁的寬度。如圖8所示，將不同結(jié)構(gòu)參數(shù)下的QTED仿真結(jié)果與Zener曲線進(jìn)行對(duì)比。其中，同心環(huán)和支撐梁的寬度始終保持相等，以方便確定Zener理論中d的值。對(duì)比結(jié)果表明，QTED仿真值與Zener曲線的理論值高度吻合，這說(shuō)明內(nèi)S形柔性梁多環(huán)諧振陀螺的熱彈性阻尼可以用Zener理論近似求解。此外，在各個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)變化的情況下，內(nèi)S形柔性梁多環(huán)諧振陀螺始終工作于等溫狀態(tài)，這是因?yàn)閱尉Ч杈哂懈叩膶?dǎo)熱系數(shù)，從而熱弛豫時(shí)間常數(shù)較小，同時(shí)其諧振頻率較低，因此滿足2πf0τth?1的條件。根據(jù)Zener理論可知，當(dāng)陀螺工作于等溫狀態(tài)時(shí)，要提高QTED應(yīng)該降低諧振頻率或減小熱弛豫時(shí)間常數(shù)(即減小同心環(huán)和支撐梁的寬度)，這與圖5～圖7的仿真結(jié)果是一致的。

圖8 QTED仿真值與Zener理論的對(duì)比Fig.8 Comparison of QTEDsimulation values with Zener's theory

4 結(jié)論

本文使用有限元方法分析了內(nèi)S形柔性梁多環(huán)諧振陀螺各個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)熱彈性阻尼的影響，對(duì)于設(shè)計(jì)高品質(zhì)因數(shù)的陀螺具有重要指導(dǎo)作用。結(jié)果表明，四波腹模態(tài)下內(nèi)S形柔性梁多環(huán)諧振陀螺的熱彈性阻尼與諧振頻率有著密切聯(lián)系，為了實(shí)現(xiàn)低熱彈性阻尼和高品質(zhì)因數(shù)，應(yīng)該設(shè)計(jì)低諧振頻率的陀螺。同時(shí)，設(shè)計(jì)高品質(zhì)因數(shù)的陀螺結(jié)構(gòu)還需要綜合考慮微機(jī)械制造工藝的條件、陀螺封裝尺寸、陀螺穩(wěn)定性、抗沖擊能力等因素。在這些條件都滿足要求的情況下，應(yīng)該增加同心環(huán)數(shù)目(N＞3)、增大S形支撐梁的圓心角、增大最內(nèi)層環(huán)和最外層環(huán)的半徑、減小中央圓盤的尺寸、減小支撐梁和同心環(huán)的寬度。此外，不同結(jié)構(gòu)參數(shù)下QTED仿真值與Zener理論的對(duì)比結(jié)果表明，內(nèi)S形柔性梁多環(huán)諧振陀螺的熱彈性阻尼也可以用Zener理論來(lái)描述，這對(duì)于研究?jī)?nèi)S形柔性梁多環(huán)諧振陀螺的熱彈性阻尼機(jī)制有著重要意義。