時(shí)滯影響的兩輪自平衡小車(chē)的PID控制研究

南京林業(yè)大學(xué) 張子璇 解文周 臺(tái)永鵬

兩輪自平衡小車(chē)本質(zhì)是一種倒立擺，其控制原理為關(guān)鍵技術(shù)?？紤]控制器、傳感器、驅(qū)動(dòng)電機(jī)在平衡控制中的延遲現(xiàn)象，建立了兩輪自平衡小車(chē)的動(dòng)力學(xué)模型，采取PID控制算法和Smith預(yù)估校正模塊的平衡策略，通過(guò)Simulink進(jìn)行仿真研究。討論了階躍與正弦信號(hào)下時(shí)滯對(duì)小車(chē)的影響以及PID的控制效果。發(fā)現(xiàn)在控制環(huán)節(jié)中加入Smith預(yù)估校正模塊，能有效減小時(shí)滯的影響，得到更好的控制效果。

兩輪自平衡小車(chē)是一個(gè)典型的靜態(tài)不穩(wěn)定系統(tǒng)，具有控制靈活、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的特點(diǎn)。其本質(zhì)是一種倒立擺，在控制領(lǐng)域常常作為典型的控制系統(tǒng)來(lái)研究。

目前兩輪自平衡小車(chē)的平衡控制，常用方法有模糊控制、遺傳算法控制以及PID控制技術(shù)等。模糊控制在參數(shù)整定上較困難而遺傳算法的計(jì)算量較大，在實(shí)時(shí)控制以及時(shí)滯的應(yīng)用很難實(shí)現(xiàn)，通常用于離線狀態(tài)的參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)。時(shí)滯是指信號(hào)傳輸過(guò)程中的延遲，是廣泛存在于自然界中的一種物理現(xiàn)象。文中考慮了控制器、傳感器、驅(qū)動(dòng)電機(jī)在平衡控制中的延遲現(xiàn)象，主要研究階躍信號(hào)與正弦信號(hào)輸入對(duì)自平衡小車(chē)平衡控制的影響，并根據(jù)系統(tǒng)的魯棒性和響應(yīng)性調(diào)節(jié)PID控制器的參數(shù)，加入Smith預(yù)估校正模塊以期獲得良好的控制效果。

1 兩輪自平衡車(chē)動(dòng)力學(xué)模型

自平衡小車(chē)的平衡控制主要是針對(duì)前進(jìn)時(shí)的前后傾倒。在實(shí)際過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)十分復(fù)雜所以我們需要提出合理的假設(shè)：（1）不考慮零部件之間的摩擦力和內(nèi)部能量損耗。（2）不考慮直流電動(dòng)機(jī)空載阻轉(zhuǎn)矩，電動(dòng)機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩直接為電磁轉(zhuǎn)矩。（3）小車(chē)的車(chē)輪和車(chē)體均為剛體。如圖1示以兩輪軸線方向?yàn)閥軸，車(chē)體前進(jìn)方向?yàn)閤軸，過(guò)車(chē)輪軸中點(diǎn)豎直向上為z軸，建立坐標(biāo)系。圖中M為車(chē)輪質(zhì)量，m為車(chē)體質(zhì)量，L為質(zhì)心到車(chē)輪軸線的距離，r為車(chē)輪半徑，Tc為外界給車(chē)體的轉(zhuǎn)矩，θ為車(chē)體轉(zhuǎn)過(guò)的角度，Mω為電機(jī)給車(chē)輪的轉(zhuǎn)矩，Mb為電機(jī)給車(chē)體的轉(zhuǎn)矩，φ為車(chē)輪轉(zhuǎn)過(guò)的角度，F(xiàn)f為地面給車(chē)輪的摩擦力。Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z分別為車(chē)輪組件在x，y，z軸方向上給車(chē)體的力。對(duì)車(chē)輪和車(chē)體進(jìn)行受力分析，電動(dòng)機(jī)對(duì)小車(chē)車(chē)輪的扭矩與電動(dòng)機(jī)對(duì)小車(chē)車(chē)體的扭矩大小相等，方向相反，即Mω=Mb=u。根據(jù)牛頓第二定律，得到動(dòng)力學(xué)方程：

圖1 受力示意圖

其中A=Iω/r+mr+Mr，B=rmL，C=mL，D=Ib+mL2，E=mgL，Iω為車(chē)輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Ib為車(chē)體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

2 兩輪自平衡小車(chē)的控制模塊的建立

文中兩輪自平衡小車(chē)被控對(duì)象為車(chē)身傾角，根據(jù)傾角傳感器檢測(cè)到的傾角，通過(guò)PID控制器來(lái)調(diào)節(jié)電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)轉(zhuǎn)子盤(pán)旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)子盤(pán)對(duì)車(chē)身的反作用力矩使車(chē)身平衡。我們考慮時(shí)滯的影響建立PID控制仿真模塊并對(duì)其進(jìn)行分析?？梢愿鶕?jù)系統(tǒng)的響應(yīng)性和魯棒性調(diào)節(jié)PID控制器的參數(shù)。調(diào)節(jié)參數(shù)Kp=-275，Ki=0，Kd=-18時(shí)，系統(tǒng)的控制效果較好。當(dāng)時(shí)滯較大時(shí)僅僅利用PID不能得到很好的控制效果，可以加入Smith預(yù)估控制模塊以期得到更好的控制。圖2所示為Smith預(yù)估控制模塊。

3 仿真分析

3.1 階躍信號(hào)下不同延遲時(shí)間的仿真分析

圖3(a)所示為作用1s的階躍信號(hào)得到不同延遲時(shí)間的角度變化曲線。圖中無(wú)延遲時(shí)最大的傾斜角度約為0.235rad，5.8s后逐漸平衡；延遲時(shí)間為0.006s時(shí)的最大傾斜角度為0.239rad，平衡時(shí)間為6s；延遲時(shí)間為0.02s時(shí)的最大傾斜角度為0.25rad，小車(chē)在8s后平衡。隨著延遲時(shí)間的增加，小車(chē)的最大傾斜角度增加，平衡所需要的時(shí)間也增大。圖3(b)所示為在上述階躍信號(hào)下加入預(yù)估控制模塊，延遲時(shí)間為0.02s時(shí)不同提前預(yù)估時(shí)間的角度變化曲線圖。圖中無(wú)預(yù)估控制時(shí)傾斜角度為0.25rad；預(yù)估時(shí)間為0.02s時(shí)最大傾斜角度為0.232rad，平衡時(shí)間約為6s；提前預(yù)估0.04s時(shí)傾斜角度為0.225rad，平衡時(shí)間約為5s。

圖3 角度變化曲線圖

3.2 正弦信號(hào)下不同延遲時(shí)間的仿真分析

圖4(a)為1s的正弦信號(hào)得到不同延遲時(shí)間的角度變化曲線。圖中沒(méi)有延遲時(shí)最大傾斜角度為0.047rad，5.8s后回平衡狀態(tài)；延遲時(shí)間為0.006s時(shí)最大傾斜角度為0.048rad，5.9s后回到平衡狀態(tài)；延遲時(shí)間為0.02s的最大傾斜角度為0.052rad，8s后回到平衡狀態(tài)。圖4(b)為在上述正弦信號(hào)下加入預(yù)估控制模塊，延遲時(shí)間為0.02s時(shí)不同提前預(yù)估時(shí)間的角度變化曲線圖。提前預(yù)估0.02s和0.04s的最大傾斜角度分別為0.048rad和0.044rad，平衡時(shí)間約為6s。與無(wú)預(yù)估控制時(shí)相比較傾斜角度和平衡時(shí)間都減小，得到了很好的控制效果。

圖4 角度變化曲線

二輪自平衡小車(chē)是靜態(tài)不穩(wěn)定、動(dòng)態(tài)穩(wěn)定的系統(tǒng)，具有非線性、多變量等特點(diǎn)。本文采取PID控制的平衡策略，對(duì)時(shí)滯影響的兩輪自平衡小車(chē)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)建模并利用了PID控制，同時(shí)加入了Smith 預(yù)估校正模塊對(duì)其仿真分析。在階躍信號(hào)下，延遲時(shí)間為0.02s的最大傾斜度為0.25rad，平衡時(shí)間為8s。在正弦信號(hào)下，延遲0.02s時(shí)最大傾斜角度為0.052rad以及平衡時(shí)間為8s。由此知在該P(yáng)ID控制器的控制下小車(chē)受突然的外力，傾斜角度較小同時(shí)能在較短的時(shí)間內(nèi)回到平衡狀態(tài)。此PID控制器的控制效果很好。加入了Smith預(yù)估控制模塊對(duì)時(shí)滯影響進(jìn)行提前預(yù)估。隨著預(yù)估時(shí)間的相應(yīng)增加小車(chē)的傾斜角度減小，回到平衡狀態(tài)的時(shí)間也縮短。Smith預(yù)估控制模塊使得小車(chē)的自平衡控制得到了很好的改善。