分數布朗運動下具有機制轉換的歐式期權定價

李雨珊,薛 紅

(西安工程大學 理學院,陜西 西安 710048)

0 引 言

1 金融市場數學模型

1.1 標的資產價格模型

假設標的資產價格{S(t),t≥0}滿足隨機微分方程

(1)

μt=<μ,Xt>,μ:=(μ1,μ2,…,μN)∈RN

σt=<σ,Xt>,σ:=(σ1,σ2,…,σN)∈RN

其中<·,·>表示向量的內積,{Xt,t≥0}為連續(xù)時間Markov鏈,表示不同市場經濟狀態(tài)之間的轉換。{Xt,t≥0}的取值空間為{e1,e2,…，eN},其中ei=(0,…,1,0,…,0)∈RN;(μi,σi)為第i個狀態(tài)時的標的資產期望收益率和波動率。Markov鏈的一步轉移概率矩陣為

(2)

式中：pij(t)=P{σ(s+t)=σj|σ(s)=σi}。

根據Wick積分[20]，求得隨機微分方程(1)的解為

(3)

當{Xt,t≥0}為單狀態(tài)Markov鏈時,即退化為文獻[9]中分數Black-Scholes定價模型,此時標的資產價格滿足

(4)

式(4)的解為

(5)

式(4)、(5)中標的資產期望收益率μ、波動率σ均為常數。

1.2 參數估計

(6)

極差為

(7)

Hurst建立如下關系:

(R/S)n=KnH

(8)

式中：K為常數；H為Hurst指數。對式(8)兩端取對數，并進行最小二乘回歸分析，即可求出H的估計值。

1.2.2 期望收益率與波動率 依據標的資產價格的歷史數據,采用移動平均模型估計日波動率，即用過去M天的收益率動態(tài)地估計下一天的波動率σd，

(9)

式中：

(10)

(11)

將σd、μd轉化為年波動率。假設每年交易天數為252 d,故

(12)

μy=252μd

(13)

2 歐式期權定價

2.1 歐式期權保險精算價格

設C(K,T,Xt),P(K,T,Xt)分別為到期日為T,執(zhí)行價格為K的歐式看漲和看跌期權的保險精算價格,由文獻[21]知：

C(K,T,Xt)=E[(exp(-μt(Xt)T)S(T)-

exp(-rt(Xt)T)K)+]

(14)

P(K,T,Xt)=E[(exp(-rt(Xt)T)K-

exp(-μt(Xt)T)S(T))+]

(15)

其中風險資產S(T)的貼現(xiàn)值為

exp(-μt(Xt)T)S(T)

執(zhí)行價格K的貼現(xiàn)值為

exp(-rt(Xt)T)K

特別地,在分數階Black-Scholes模型中,到期日為T、執(zhí)行價格為K的歐式看漲和看跌期權的保險精算價格[22]為

C(K,T)=S(0)N(d1)-

exp(-rT)KN(d2)

(16)

P(K,T)=exp(-rT)KN(-d2)-

S(0)N(-d1)

(17)

式中：

2.2 蒙特卡洛模擬法

一般情形下,式(16)、(17)無法得到具體計算表達式,因此選擇蒙特卡洛模擬法對期權價格進行數值模擬計算。具體模擬計算步驟如下:

1) 將距到期日時間[0,T]劃分成n個小區(qū)間[ti,ti+1],i=0,1,…,n-1；

2) 確定分數布朗運動的有限維分布

其中Cn=(σij)n×n,

|ti-tj|2H),i,j=1,2,…n

3) 對Cn進行Cholesky分解[23],分解因子矩陣為

4) 生成一組服從標準正態(tài)分布的隨機數列向量G，G=(G1,G2,…Gn)T～N(0,In×n)。

6) 由式(3)知標的資產價格過程的離散形式為

S(ti)=S0exp(μti(Xti)ti-

(18)

其中S(ti)表示ti時刻標的資產的價格；

7) 根據式(14)、式(15)計算該條路徑下期權零時刻價格；

8) 重復步驟2)到步驟7),通過模擬m條樣本軌道,計算零時刻看漲期權及看跌期權價格的平均值Cmc、Pmc：

(19)

(20)

圖 1 標的資產價格樣本軌道Fig.1 Sample tracks of underlying asset price

例2歐式看漲期權價格模擬計算:采用例1標的資產數據,考慮一個3個月后到期的歐式看漲期權,執(zhí)行價格K=2.6。利用蒙特卡洛模擬方法計算該期權價格，結果見表1。

表 1 不同模擬次數下歐式看漲期權的模擬價格Tab.1 European call option price under different simulation times

由表1可知,當模擬次數達到1 600次以上時,期權模擬價格趨于穩(wěn)定。

3 實證分析

3.1 數據選取

選取上證50ETF期權交易數據作為樣本進行實證分析,數據來源于Wind,中國債券信息網。

1) 選取標的資產50ETF樣本數據,區(qū)間為2015年2月11日—2020年11月13日(1 401個交易日),獲取每日收盤價進行統(tǒng)計分析,確定波動率等參數。

2) 選取2018年3月12日上市的不同到期日、不同執(zhí)行價格的上證50ETF看漲期權合約樣本數據進行隱含波動率分析。

3) 選取2020年10月9日上市,到期日分別為2020年11月25日、2020年12月23日及2021年3月24日的上證50ETF期權合約(看漲期權合約39份，看跌期權合約39份)進行期權數值模擬分析。

3.2 數據檢驗

運用Matlab軟件,分析上證50ETF價格的自相關系數及看漲期權隱含波動率,結果如圖2、3所示。

圖 2 上證50ETF價格自相關系數Fig.2 Autocorrelation of SH50ETF

圖 3 看漲期權隱含波動率曲面圖Fig.3 Implied volatility surface of call options

從圖2可看出，自相關系數衰減的速度很慢,且沒有落入2倍標準差范圍內,因此上證50ETF價格序列具有長記憶性。利用1)中的上證50ETF樣本數據,采用1.2.1中R/S估計法，得到Hurst指數估計值為0.618 6,進一步說明了上證50ETF的收益率序列具有長相依性。

從圖3可看出,標的資產價格波動率并不是常數,而是呈現(xiàn)出明顯的“波動率微笑”現(xiàn)象。

分別用分數布朗運動環(huán)境下具有機制轉換的期權定價模型(F-RM模型)、幾何布朗運動環(huán)境下具有機制轉換的期權定價模型(B-RM模型)、分數Black-Scholes期權定價模型(F-BS模型)對3)中選擇的期權樣本數據進行實證分析。

3.3 參數確定

選取2019年1月2日到2019年12月31日的上證50ETF價格,利用Matlab軟件,模擬標的資產價格收益率序列概率密度曲線,如圖4所示。圖4(a)、(b)、(c)依次為幾何布朗運動環(huán)境下具有機制轉換的資產價格收益率概率密度曲線、分數布朗運動環(huán)境下資產價格收益率概率密度曲線、分數布朗運動環(huán)境下具有機制轉換的資產價格收益率概率密度曲線。

(a)幾何布朗運動+機制轉換 (b)分數布朗運動 (c)分數布朗運動+機制轉換圖 4 不同環(huán)境下模擬標的資產價格收益率序列概率密度Fig.4 Probability density of underlying asset price return rate in different environments

由圖4可以看出,分數布朗運動環(huán)境下具有機制轉換的數學模型較好地擬合了真實標的資產價格收益率概率密度曲線。

3.4 上證50ETF期權價格數值模擬

利用2.2蒙特卡洛模擬方法,模擬計算3.1中樣本數據3),分別得到分數布朗運動環(huán)境下具有機制轉換的期權定價模型(F-RM模型)、幾何布朗運動環(huán)境下具有機制轉換的期權定價模型(B-RM模型)和分數Black-Scholes期權定價模型(F-BS模型)的數值模擬結果,如表2所示。

表 2 不同模型下上證50ETF期權的模擬價格Tab.2 SH50ETF option simulation prices in different models

到期日看漲期權實際價格F-RMF-BSBS-RM看跌期權實際價格F-RMF-BSBS-RM2020-12-230.263 6 0.276 6 0.297 1 0.297 7 0.058 8 0.031 1 0.021 0 0.024 92020-12-230.198 4 0.201 5 0.234 1 0.231 2 0.092 7 0.074 4 0.048 1 0.052 9 2020-12-230.142 2 0.140 8 0.155 9 0.151 8 0.137 0 0.094 3 0.078 0 0.085 6 2020-12-230.101 3 0.089 9 0.123 0 0.135 9 0.193 6 0.145 6 0.130 2 0.141 2 2020-12-230.070 6 0.059 0 0.049 1 0.057 5 0.264 9 0.213 1 0.190 1 0.203 6 2020-12-230.048 8 0.040 7 0.028 9 0.030 5 0.346 0 0.268 4 0.233 7 0.282 6 2020-12-230.035 7 0.026 3 0.012 7 0.019 5 0.431 9 0.379 8 0.364 5 0.371 2 2020-12-230.026 4 0.015 4 0.006 1 0.008 3 0.514 4 0.476 1 0.448 0 0.456 6 2020-12-230.020 0 0.009 3 0.005 4 0.006 7 0.609 3 0.584 2 0.570 4 0.557 1 2021-03-240.418 1 0.437 8 0.455 8 0.441 6 0.060 4 0.036 8 0.021 2 0.036 2 2021-03-240.371 3 0.390 2 0.422 8 0.430 5 0.071 8 0.043 0 0.033 4 0.039 5 2021-03-240.308 7 0.327 2 0.349 6 0.351 4 0.086 0 0.059 6 0.041 1 0.051 5 2021-03-240.253 8 0.263 1 0.284 6 0.281 3 0.119 1 0.072 6 0.055 9 0.065 4 2021-03-240.208 0 0.209 7 0.224 4 0.233 1 0.160 5 0.112 7 0.106 0 0.117 9 2021-03-240.162 4 0.153 4 0.146 9 0.186 2 0.211 2 0.162 7 0.148 7 0.154 4 2021-03-240.128 9 0.136 2 0.103 1 0.162 8 0.268 4 0.214 5 0.189 8 0.196 5 2021-03-240.101 3 0.110 0 0.081 2 0.115 3 0.334 0 0.313 8 0.283 1 0.273 8 2021-03-240.080 0 0.071 9 0.063 2 0.068 7 0.408 7 0.353 8 0.322 0 0.335 2 2021-03-240.448 0 0.462 6 0.490 5 0.486 9 0.477 3 0.396 5 0.376 2 0.407 7 2021-03-240.065 1 0.059 5 0.032 9 0.072 1 0.563 1 0.495 2 0.465 7 0.477 1

3.5 誤差分析

平均相對誤差(EMAPE)為

均方誤差(EMAE)為

EMAE注重測量模型定價偏離實際價格的方向及幅度,EMAPE注重測量定價誤差的相對幅度,EMSE注重測量定價誤差的絕對幅度。由表2可計算出不同期權定價模型的平均絕對誤差、平均相對誤差及均方誤差,結果如表3所示。對于上證50ETF期權而言,分數布朗運動環(huán)境下具有機制轉換的期權定價模型各種誤差均較小,優(yōu)于其他模型,因此能更好的適用于實際金融市場。

4 結 語

本文考慮標的資產價格的長程相依性及“波動率微笑”現(xiàn)象,建立了分數布朗運動環(huán)境下具有機制轉換的期權定價模型,利用保險精算方法和蒙特卡洛模擬對歐式期權價格進行數值模擬分析,并選取上證50ETF樣本數據進行統(tǒng)計分析和實證模擬計算。研究結果表明:分數布朗運動環(huán)境下具有機制轉換的期權定價模型優(yōu)于其他傳統(tǒng)的期權定價模型,其數值模擬價格與真實市場價格偏差較小。因此，該模型更適用于實際金融市場,為投資者提供決策依據。