一種非分段閾值函數(shù)的小波去噪算法

梁 偉，陸安江，鄒 倩

（貴州大學大數(shù)據(jù)與信息工程學院，貴陽550025）

1 引言

信號在采集和傳輸過程中受到采集儀器和傳輸環(huán)境的影響，不可避免會加入一些噪聲信號，對目標信號識別和檢測的性能造成影響。在信號的分析過程中，首先要濾除目標信號的噪聲。信號經(jīng)傳統(tǒng)的傅里葉變換后，有用信號和噪聲的頻譜在頻域中重疊在一起，小波去噪克服了此種不足，使其在信號分析、圖像處理和信號去噪等方面得到了廣泛的應(yīng)用。近年來，由于以往的硬閾值函數(shù)在閾值處的不連續(xù)性及軟閾值函數(shù)中信號的原始小波系數(shù)與估計的小波系數(shù)之間存在恒定偏差，影響了去噪效果[1]。為達到更好的去噪效果，目前對于閾值函數(shù)的研究也越來越多。然而，在目前的閾值函數(shù)的改進方法中，大多文獻都是基于參考硬軟閾值函數(shù)的分段函數(shù)進行修改。這些改進的閾值分段函數(shù)在一定程度上可以改善去噪效果，但對于原始小波的系數(shù)小于閾值系數(shù)的舍去和大于閾值系數(shù)的保留，沒有一定的延緩，如果當閾值選擇不好時，可能直接將有用信號濾掉或?qū)⒃肼曅盘柋Ａ粝聛怼?/p>

針對此類問題，提出一種基于反正切函數(shù)的非分段閾值函數(shù)，該函數(shù)在閾值處具有連續(xù)性和以硬閾值函數(shù)為漸近線，克服了硬軟閾值函數(shù)的不足，同時具有簡化的結(jié)構(gòu)和參數(shù)可調(diào)節(jié)功能。

2 小波閾值去噪原理

一個含噪聲信號的數(shù)學表示為：

式中，s(t)為目標信號；x(t)為凈信號；σε(t)為純噪聲；σ為噪聲的強度。

對目標信號s(t)的去噪處理，即是抑制對應(yīng)的純噪聲信號σε(t)，從而得到凈信號x(t)。在信號濾波過程中，在頻域?qū)π盘栠M行濾波時，根據(jù)凈信號與純噪聲信號在頻域中所處的頻譜分布的位置不同進行分離，從而對噪聲進行抑制或濾除[2-3]。然而，當信號頻譜和噪聲頻譜在頻域重疊時，在頻域中將不能把凈信號和純噪聲信號分開，在此種情況下，基于頻域的濾波是無效的[4]。而對有用信號進行小波變換后的系數(shù)，和對噪聲信號進行小波變換后的系數(shù)，是根據(jù)它們在小波變換域中的幅值來區(qū)分的。在通常情況下，經(jīng)過小波變換處理后，凈信號比純噪聲信號的系數(shù)幅值小[5]。

經(jīng)典的閾值處理函數(shù)有硬閾值分段函數(shù)和軟閾值分段函數(shù)兩種，定義如下：

硬閾值分段函數(shù)：

軟閾值分段函數(shù)：

式中，wwjj,k,k為在小波域中的原始小波系數(shù)為在小波域中經(jīng)過處理后的估計小波系數(shù)；sgn為符號函數(shù)；λ為閾值。硬閾值分段函數(shù)和軟閾值分段函數(shù)的函數(shù)圖像[6]如圖1所示，此處取閾值λ=2。

圖1 硬閾值及軟閾值函數(shù)圖像

由圖中可見，硬閾值分段函數(shù)由于在λ處不連續(xù)，使重構(gòu)后的信號存在偽吉布斯效應(yīng)及振鈴現(xiàn)象；軟閾值分段函數(shù)盡管在λ處是連續(xù)的，但是在系數(shù)大于閾值絕對值的地方，原始小波系數(shù)和估計小波系數(shù)存在恒定偏差，對濾波效果存在影響[7]。

3 非分段閾值函數(shù)設(shè)計

針對硬、軟閾值函數(shù)的不足，目前，大多數(shù)文獻都是參考硬、軟閾值函數(shù)的分段函數(shù)形式進行設(shè)計，直接將估計小波系數(shù)中小于原始值的系數(shù)舍去，這對閾值選取的精度提出了要求[8-9]。而此處提出的非分段函數(shù)在閾值處是將系數(shù)進行縮小一半處理，在閾值左右的系數(shù)進行一個逐漸縮放系數(shù)的方法進行過渡，從而對閾值選取的精度要求降低了；另外，本非分段函數(shù)引入?yún)?shù)，可以通過調(diào)節(jié)參數(shù)來實現(xiàn)在硬、軟閾值函數(shù)之間的切換，以及調(diào)整在閾值附近的系數(shù)的縮放程度，并改進硬閾值函數(shù)在閾值處的不連續(xù)性和軟閾值函數(shù)的恒定偏差等問題。

反正切函數(shù)的數(shù)學表達式為：

在數(shù)學上，此函數(shù)關(guān)于原點對稱，且具有兩條漸近線。在此引入?yún)?shù)m，使函數(shù)表達式變?yōu)椋?/p>

其中m可以影響曲線的彎曲程度，m值越大，曲線越彎曲。在此，利用反正切函數(shù)圖像的特點，結(jié)合函數(shù)的平移和伸縮變換設(shè)計如下非分段閾值函數(shù)：

從式(6)中可以分析得到該非分段閾值函數(shù)具有的三個特性：

①該閾值函數(shù)在定義域是連續(xù)的，即函數(shù)在閾值處是連續(xù)的;

③該函數(shù)曲線的彎曲程度受引入?yún)?shù)m影響，m越大，曲線的彎曲程度越大，且該閾值函數(shù)圖像越來越靠近硬閾值函數(shù)圖像，當m向0.2由大到小靠近時，該閾值函數(shù)圖像越來越靠近軟閾值函數(shù)圖像，即該函數(shù)可以在很大程度上兼顧硬、軟閾值函數(shù)的優(yōu)點，并且可以在它們之間進行調(diào)節(jié)。

不同參數(shù)m下的不同非分段閾值函數(shù)圖像如圖2所示。

圖2 不同m下的分段閾值函數(shù)曲線

4 非分段函數(shù)的閾值設(shè)計

在小波閾值去噪算法中，閾值的選取十分重要，將直接影響信號的去噪質(zhì)量，實際的閾值應(yīng)該是恰好大于噪聲信號的幅值小波系數(shù)時，濾波效果才最好。此處所設(shè)計的非分段函數(shù)對閾值精準度要求并不那么嚴格，因其在閾值附近對小波系數(shù)處理的方式不同，采取系數(shù)壓縮的方式進行逐漸過渡，從而可以壓縮保留閾值附近的有用信號的小波系數(shù)和削減閾值附近的噪聲信號的小波系數(shù)，達到更好的去噪效果[10-11]。

小波去噪算法的閾值選取方法有很多種，例如無偏估計、啟發(fā)式閾值、固定式閾值、極大極小閾值、全局閾值等，其中最為經(jīng)典的是全局閾值，其表達式為：

式中，σ為估計的噪聲標準方差；Median(|wj,k|)為第一次小波變換后高頻系數(shù)絕對值的中值；0.6745為噪聲標準方差的調(diào)整系數(shù)；N為信號長度[12]。

5 MATLAB去噪仿真

為驗證該非分段閾值函數(shù)的有效性，利用MATLAB進行去噪仿真實驗。仿真使用的目標信號為blocks高斯白噪聲信號和bumps高斯白噪聲信號。濾波效果評價指標為性噪比（SNR）和均方根誤差（RMSE），SNR越高、RMSE越小，則表明濾波效果越好[13-14]。

分別用硬、軟閾值函數(shù)、文獻[4]、文獻[5]和非分段閾值函數(shù)進行去噪仿真。仿真使用式(7)中的閾值λ。在文獻[4]中的閾值函數(shù)為分段函數(shù)且對于系數(shù)小于閾值的絕對值的函數(shù)沒有進行壓縮，直接讓其為零；在文獻[5]中的閾值函數(shù)為分段函數(shù)在閾值附近的系數(shù)進行了一定程度的壓縮，但是壓縮幅度沒有式(6)中的閾值函數(shù)的壓縮度大；文獻[4]和文獻[5]的閾值函數(shù)對閾值處的系數(shù)進行完全的保留和完全的壓縮處理。仿真測試中的小波基函數(shù)均為db8且分層數(shù)均為5層。仿真效果如圖3和圖4所示，詳細數(shù)據(jù)結(jié)果由表1給出。

圖3 blocks信號去噪效果仿真結(jié)果

圖4 bumps信號去噪效果仿真結(jié)果

表1 不同閾值函數(shù)下的SNR與RMSE

從上述仿真結(jié)果可知：

對于兩種不同的含噪信號，新函數(shù)去噪效果都比傳統(tǒng)的硬、軟閾值函數(shù)的要好，信噪比分別提高了18.57%和8.38%；均方誤差分別降低了34.82%和19.13%。

相比文獻[4]中的閾值函數(shù)，對于不同含噪信號，信噪比分別提高了1.33%和1.63%，均方誤差分別降低了3.62%和4.39%。

相比文獻[5]中的閾值函數(shù)，對于不同含噪信號，信噪比分別提高了16.87%和1.57%，均方誤差分別降低了48.45%和4.13%。

相比文獻[4]中不同類型的閾值函數(shù)，去噪效果相差不是很大，但對于文獻[5]中有相同趨勢的閾值函數(shù)在對blocks含噪信號上有很大的提升。

6 結(jié)束語

通過全面分析傳統(tǒng)小波去噪的硬、軟閾值函數(shù)及現(xiàn)有改進的閾值函數(shù)的特征及其優(yōu)缺點，結(jié)合反正切函數(shù)圖像的特點，提出了一種區(qū)別于其它閾值函數(shù)的非分段閾值函數(shù)，并且在非分段閾值函數(shù)中引入了參數(shù)，以便調(diào)節(jié)參數(shù)大小來達到最好的去噪效果。通過對兩種含噪信號使用不同的閾值函數(shù)進行去噪，對比仿真數(shù)據(jù)，所提出的非分段閾值函數(shù)的有效性及特有的優(yōu)點得到了驗證。