求函數(shù)值域的常用方法

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求函數(shù)值域的常用方法

姚源信

(廣西凌云縣中學(xué)，533000)

函數(shù)的值域是函數(shù)構(gòu)成的三大要素之一,它可以由定義域和對應(yīng)法則來確定．函數(shù)的值域,既能從全局上反映函數(shù)的性質(zhì),又能從局部上體現(xiàn)函數(shù)值的變化規(guī)律,是函數(shù)定義中重要的必不可少的組成部分．

求函數(shù)的值域是常考題型.在許多問題,特別是實際問題(應(yīng)用題)中,經(jīng)常遇到求某個量取值范圍或最大值、最小值的問題,實際上都是求函數(shù)的值域．因此,我們有必要專門探討求函數(shù)的值域的方法,將之分門別類,應(yīng)用于教學(xué)實踐,提高學(xué)生對這一問題的認(rèn)識和解決值域問題的能力．以下是本人結(jié)合多年的教學(xué)實踐,總結(jié)的一些關(guān)于求函數(shù)值域的方法,僅供大家參考．

一、單調(diào)性法

求函數(shù)值域可以利用單調(diào)性的定義、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則和導(dǎo)數(shù)等相關(guān)知識確定函數(shù)在某個區(qū)間(該區(qū)間為定義域的子集)的單調(diào)性,再用單調(diào)性求出函數(shù)在該區(qū)間上的值域．

故所求函數(shù)的值域為[2,+∞).

二、配方法

配方法主要用于求二次函數(shù)的值域問題.配方的方法是:先考慮二次項的系數(shù)，將二次項系數(shù)變?yōu)?,再取一次項系數(shù)的一半進(jìn)行配方,注意取適當(dāng)?shù)某?shù)項以便保證整個過程是恒等變形．

例2求函數(shù)y=2x2-4x+3(x∈R)的值域．

解y=2x2-4x+3

=2(x2-2x)+3

=2(x-1)2+1，

易知y≥1．

故所求函數(shù)的值域為[1,+∞)．

三、換元法

若一個函數(shù)通過換元的方法可以化簡成常見的初等函數(shù),則可以用初等函數(shù)的性質(zhì)來求函數(shù)的值域．換元的方法主要有代數(shù)換元法和三角換元法,換元時要注意所換元的范圍．

例3求函數(shù)y=4x-6×2x+1,x∈(2,3)的值域．

解令t=2x,則4x=t2,且x∈(2,3)時,t∈(4,9)，所以

y=t2-6t+1=(t-3)2-8.

易知，當(dāng)t∈(4,9)時,

ymax=(9-3)2-8=28,

ymin=(4-3)2-8=-7.

所以所求值域為[-7,28]．

四、判別式法

五、反函數(shù)法

在反函數(shù)的定義中,指出反函數(shù)的定義域與原函數(shù)的值域相同,反函數(shù)的值域與原函數(shù)的定義域相同．因此,求一個函數(shù)的值域可以通過去求反函數(shù)的定義域來實現(xiàn),這也是一個求值域的重要的方法．

解先求該函數(shù)的反函數(shù),過程如下:

xy-y=2x+3,

互換x,y得反函數(shù)為

從而可知,反函數(shù)的定義域為

(-∞,2)∪(2,+∞).

故原函數(shù)的值域為

(-∞,2)∪(2,+∞)．

六、分離常數(shù)法

七、不等式法

解分子分母同除以x,得

因為x>0,所以

綜上所述,所求函數(shù)的值域為

除了上面所列舉到的七種常見的求函數(shù)值域的方法以外,常用的求函數(shù)值域的方法還有數(shù)形結(jié)合法和函數(shù)有界性法等等,這些方面與上面所列舉的方法有異曲同工之妙,在此就不一一列舉了．總之,熟練掌握求函數(shù)值域的方法是考試大綱的明確要求,也是高考?？嫉念}型．廣大師生應(yīng)該引起足夠的重視,認(rèn)真開展教學(xué)研究,以達(dá)到考試大綱的要求,取得優(yōu)異的成績．