基于相空間重構(gòu)的浮標搜潛信號盲源分離算法研究*

劉賢忠，鄭曉慶, 吳明輝,2, 李大衛(wèi)

(1. 海軍航空大學(xué) 航空作戰(zhàn)勤務(wù)學(xué)院，山東 煙臺 264001；2. 中國船舶集團公司第七一五研究所，浙江 杭州 310000)

0 引 言

盲源分離(Blind Source Separation，BSS)是指信源、信道均未知且無法進行直接觀測時，只利用觀測信號從混合信號中分離源信號的過程. “雞尾酒會效應(yīng)”是最初的BSS模型，即在一個環(huán)境嘈雜的雞尾酒會現(xiàn)場，其中夾雜著眾多人的說話聲、背景音樂及其他背景噪聲，但是當人們集中注意力去傾聽某個人的說話聲時，可以屏蔽或者壓制其他人的說話聲以及環(huán)境背景噪聲，能夠聽清楚目標人物的聲音. BSS最早應(yīng)用于處理語音信號，并在該領(lǐng)域得到了發(fā)展和廣泛的應(yīng)用，這為BSS在其他領(lǐng)域的推廣提供了理論基礎(chǔ)和實踐經(jīng)驗[1,2]. 目前，BSS在機械故障診斷[3]、圖像處理[4]、無線通信[5]、生物醫(yī)學(xué)[6]等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用.

近年來，部分研究學(xué)者將BSS應(yīng)用于水聲信號的盲源分離. 康春玉等[7]在頻域?qū)λ曣嚵行盘栠M行盲源分離，結(jié)合MVDR波束形成算法，提高了水聲目標的方位估計精度. 任志勇[8]研究了淺海環(huán)境下多天線陣列的非線性水聲信號盲源分離問題，并取得了一定的分離效果. 在航空反潛作戰(zhàn)中，利用被動全向聲納浮標搜潛時，被動聲納浮標可實現(xiàn)一定距離范圍的對潛探測，且聲納浮標隨海流漂動，每枚被動聲納浮標均單獨工作，而單枚浮標可同時接收到多個水聲目標噪聲信號，要實現(xiàn)該情況下的信號盲源分離，在BSS角度屬于單通道盲源分離(Single Channel Blind Source Separation, SCBSS), 是BSS中最為復(fù)雜的情況，其基本思想是通過構(gòu)造虛擬觀測信號，將欠定盲源分離轉(zhuǎn)換為正定盲源分離，目前所提出的方法包括EMD分解[9]、小波變換[10]、稀疏分解[11]等.

本文采用相空間重構(gòu)方法，利用單枚被動浮標接收到的單通道信號構(gòu)造虛擬多通道觀測信號，將復(fù)雜的單通道盲源分離問題轉(zhuǎn)化為較為簡單的正定盲源分離問題，實現(xiàn)對浮標信號的盲源分離.

1 盲源分離理論

1.1 盲源分離數(shù)學(xué)模型

BSS示意圖如圖 1 所示，假定有M個源信號s1(t)，s2(t)，…，sM(t)經(jīng)過信道后，利用N元陣進行觀測，得到的觀測信號為x1(t)，x2(t)，…，xN(t)，其中n(t)為噪聲矩陣.則BSS是通過一個分離系統(tǒng)，利用觀測信號x1(t)，x2(t)，…，xM(t)得到分離信號y1(t)，y2(t)，…，yM(t)，使得分離信號為源信號的估計.

圖 1 盲源分離示意圖

考慮最簡單的線型混合情況，混合系統(tǒng)可以表示成一個N×M矩陣，即

A=[aij]N×M，

(1)

則盲源分離的數(shù)學(xué)模型為

(2)

式中：i=1,2,…,N. 上式也可表示為

x=As+n,

(3)

式中：s=[s1,s2,…,sN]，x=[x1,x2,…,xN]，n=[n1,n2,…,nN]分別為盲源分離的源矩陣、觀測矩陣和噪聲矩陣. 在進行盲源分離過程中，一般情況下忽略噪聲的影響，式(3)可以表示為

x=As.

(4)

求解過程本質(zhì)為尋找一個M×N的矩陣W，滿足

y=Wx=WAs=DPs,

(5)

式中：P為M×M排列矩陣；D為一個非奇異對角陣.

1.2 盲源分離的可分離性

要進行盲源分離，須對其模型進行如下約束：

1) 觀測陣元數(shù)須不小于源數(shù)量，即要求混合矩陣滿秩；

2) 信源之間相互統(tǒng)計獨立；

3) 混合信號中最多只能有一個高斯信號.

BSS最終結(jié)果為通過數(shù)學(xué)計算得到源信號的估計，在實際分離過程中，并不一定能夠完全估計源信號，其中有2個問題：

1) 由式(5)可以得到，矩陣P為一個排列矩陣，任意組合矩陣P的行向量，使得矩陣P內(nèi)向量排列順序不同，其輸出結(jié)果依然是獨立變量，只是變量的排列順序發(fā)生了變化；

2) 矩陣D為一個非奇異對角矩陣，其與源信號的乘積對源信號的幅度進行了放大或者縮小.

2 基于獨立分量分析的盲源分離

基于獨立分量分析(Independent Component Analysis, ICA)的盲源分離的本質(zhì)為目標函數(shù)+優(yōu)化準則，即選定目標函數(shù)后，通過一定的優(yōu)化準則，使得目標函數(shù)達到最優(yōu)，常用的優(yōu)化準則包括互信息最小、負熵最大、最大似然估計等. 本文以互信息最小準則為例進行分析，即使得分離得到的估計分量互信息最小.

對于隨機變量x和y的互信息的定義為

(6)

式中：P(x)和P(y)分別為隨機變量x和y的概率密度函數(shù).

對于多維隨機變量x=[x1,x2,…,xN]T，互信息可以表示為

(7)

式中：pi(xi)為xi邊緣概率密度函數(shù)；Px(x)為x聯(lián)合概率密度函數(shù).

對于通過盲源分離得到的源信號的估計y=[y1,y2,…,yN]，根據(jù)盲源分離的假設(shè)，y的各個分量之間統(tǒng)計獨立，因此，其概率密度函數(shù)為

(8)

式中：pi(yi)為yi邊緣概率密度函數(shù)；Py(y)為y聯(lián)合概率密度函數(shù). 則分離出的各信號之間的互信息為

(9)

3 基于相空間重構(gòu)的盲源分離

3.1 相空間重構(gòu)理論

相空間重構(gòu)是用來分析非線性時間序列的一種方法，其基本思想是：序列任一分量的變化都與時間序列中其他分量相互作用和相互影響，可以通過時間序列中一個參量重新構(gòu)造出與原系統(tǒng)拓撲等價的時間序列模型[12]. 對于一維時間序列，采用延時和嵌入方式進行相空間重構(gòu)，利用一維矩陣構(gòu)造多維矩陣，能夠有效描述時間序列本質(zhì)特征來反映信號中的本質(zhì)特征[13].

被動聲納浮標接收到目標信號的時間序列記為x=[x1,x2,…,xn]，則利用時間序列x構(gòu)造相空間為

(10)

式中：m為重構(gòu)相空間的維數(shù)；τ為時延；N為相點數(shù)且有N+(m-1)τ=n，通過選擇合適的維數(shù)和時延，即可得到能夠描述原信號本質(zhì)特征的相空間.

采用自相關(guān)函數(shù)法確定重構(gòu)相空間的時延τ，對于原序列x與經(jīng)時延后的序列xτ，其相關(guān)系數(shù)為

(11)

在時延τ確定后，需要對最小嵌入維數(shù)m進行確定.假定嵌入維數(shù)為d時，矩陣Y中與向量yi(d)距離最近的向量為yη(d)，當嵌入維數(shù)由d增加到d+1時，若yi(d+1)與yη(d+1)的距離顯著增大，則稱yη(d)為yi(d)的虛假鄰近點.利用改進的虛假鄰近點方法，即均值偽鄰近點(Averaged False Nearest, AFN)方法對嵌入維數(shù)m進行計算，定義變量

(12)

(13)

當嵌入維數(shù)由d增加至d+1時，為了分析E(d) 隨其變化快慢，定義變量E1(d)為

(14)

當嵌入維數(shù)d由小變大，且未達到最優(yōu)值時，變量E1(d)也會隨之顯著增大，當d達到最優(yōu)值時，變量E1(d)會達到一個穩(wěn)定的狀態(tài).當E1(d)在d≥d0之后開始趨于平穩(wěn)，則d0+1即為最小嵌入維數(shù).當維數(shù)d數(shù)值很大時，即使沒有達到最佳嵌入維數(shù)，隨著維數(shù)d的增加，E1(d)也會變化很小.為解決這一問題，定義變量E2(d)為

(15)

3.2 基于相空間重構(gòu)的重盲源分離算法

基于相空間重構(gòu)的重盲源分離算法框圖如圖 2 所示，具體步驟如下：

圖 2 基于相空間重構(gòu)的重盲源分離算法框圖

1) 對被動聲納浮標觀測到的混合信號序列x進行相空間重構(gòu)，確定最佳嵌入時延以及最佳嵌入維數(shù)，得到重構(gòu)的相空間為Y；

2) 對m×l維重構(gòu)相空間Y進行奇異值分解

Y=UΛVT,

(16)

式中：U為m×m階酉矩陣；V為l×l階酉矩陣；Λ為m×l半正定對角陣.Λ中的元素滿足當i=j時，σij>0；i≠j時，σij=0；

3) 對分解得到的奇異值進行分析，不同的奇異值對應(yīng)于不同的信號成分，取奇異值中的主要部分及相關(guān)的正交向量，對奇異值分解逆變換，得到修正的相空間. 通過修正的相空間進行逆變換得到一個虛擬的觀測信號，則該觀測信號為源信號不同的線性疊加；

4) 利用原始觀測信號與虛擬觀測信號構(gòu)成二維觀測陣，對二維觀測信號進行FastICA，求解得到一個源信號和剩余混合信號；

5) 利用剩余混合信號重復(fù)步驟1)～步驟4)，直至求解出所有源信號.

3.3 仿真分析

仿真試驗中選取的源信號1、源信號2、源信號3為 3 種不同類型的水聲目標輻射噪聲信號，分別為潛艇信號、艦艇信號和商船信號，其波形如圖 3 所示，源信號采樣率為44 100 Hz.

圖 3 源信號時域波形

在忽略噪聲的情況下，利用Matlab產(chǎn)生隨機混合矩陣A如下所示，則將混合矩陣與源信號進行相乘得到混合后的信號，其時域波形圖如圖 4 所示.

假定混合信號1為單枚浮標接收到的混合水聲信號，對混合信號1進行盲源分離，具體如下：

1) 利用相空間重構(gòu)和奇異值分解方法構(gòu)造虛擬浮標觀測信號.

2) 利用自相關(guān)法確定相空間重構(gòu)的時延點數(shù)，如圖 5 所示，自相關(guān)曲線的第一個極小值點為(8,0.289 8)，則時延τ=8/fs.

圖 4 混合信號時域波形

圖 5 利用自相關(guān)確定嵌入時延

3) 在確定嵌入時延之后，利用AFN法確定重構(gòu)相空間嵌入維數(shù)，如圖 6 所示，可以得到最佳嵌入維數(shù)d=7.

圖 6 嵌入維數(shù)確定

4) 根據(jù)確定的最佳時延τ=8/fs以及最佳嵌入維數(shù)d=7，根據(jù)式(10) 對單通道觀測信號進行相空間的重構(gòu)，得到重構(gòu)矩陣Y，根據(jù)式(16)對Y進行奇異值分解，并將奇異值由大到小排序，得到奇異值曲線如圖 7 所示.

圖 7 重構(gòu)相空間的奇異值

5) 不同的信號成分對應(yīng)于不同的奇異值，觀察圖7，選擇前7個奇異值構(gòu)造虛擬浮標觀測信號，利用FastICA算法進行盲源分離即可得到一個源信號和剩余混合信號，按照圖2步驟重復(fù)計算即可分離得到源信號的估計，分離得到的信號波形如圖 8 所示.

圖 8 分離信號時域波形

利用混合信號、分離信號與源信號的相關(guān)系數(shù)對分離效果進行分析，結(jié)果如表1 所示. 通過分析分離前后的相關(guān)系數(shù)可以看出，分離得到的信號與原目標信號的相關(guān)系數(shù)相比混合信號有明顯的提高，說明該方法對于分離單枚被動浮標混合信號具有明顯的效果.

表1 源信號與混合信號及分離信號之間的相關(guān)系數(shù)

4 結(jié) 論

利用被動全向聲納浮標進行搜潛時，浮標接收到的水聲目標信號為水面艦艇噪聲、商船噪聲、海洋動物噪聲、潛艇噪聲以及海洋環(huán)境噪聲通過未知水聲信道傳輸混合得到. 由于各種噪聲產(chǎn)生的機理不同，其在統(tǒng)計意義上具有很強的獨立性，能夠滿足進行盲源分離的基本前提. 本文將單枚浮標信號利用相空間重構(gòu)的方法虛擬構(gòu)建多通道接收信號對混合信號進行分離，仿真實驗表明，該方法對單枚被動聲納浮標信號具有明顯的分離效果.