一類具有飽和發(fā)生率的時(shí)滯傳染病模型穩(wěn)定性

劉 娟，陳 功

(蚌埠學(xué)院 理學(xué)院，安徽 蚌埠 233030)

近年來，為了預(yù)防和控制傳染病的傳播，許多傳染病模型相繼被國內(nèi)外學(xué)者提出。在傳染病模型構(gòu)建中，發(fā)生率起著至關(guān)重要的作用。因此，為了合理分析、研究傳染病的傳播機(jī)理，必須選取恰當(dāng)?shù)陌l(fā)生率。在許多傳染病模型中都是采用了雙線性發(fā)生率[1-4]。但是，雙線性發(fā)生率假設(shè)染病者的數(shù)量是按線性增長的，這種假設(shè)對于某些傳染病而言無法全面描述其傳染規(guī)律。相對而言，非線性發(fā)生率更能準(zhǔn)確地描述傳染病的發(fā)生規(guī)律[5-9]，在各種類型的非線性發(fā)生率中，飽和發(fā)生率是具有代表性的一種，文獻(xiàn)[7]討論了具有飽和發(fā)生率的SEIR模型：

(1)

然而，在模型(1)中并未考慮到疾病傳播過程中所存在的時(shí)滯因素，尤其是疾病的潛伏期時(shí)滯。而時(shí)滯因素對一個動力系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì)有著非常重要的影響，比如，可以引起系統(tǒng)穩(wěn)定性的變化，導(dǎo)致Hopf分支和周期解的發(fā)生?；诖?，本文在模型(1)中引入疾病的潛伏期時(shí)滯，得到下列具有時(shí)滯的SEIR傳染病模型，主要研究時(shí)滯傳染病模型的漸近穩(wěn)定性和平衡點(diǎn)外圍出現(xiàn)Hopf分支的充分條件。

(2)

其中，τ是疾病的潛伏期時(shí)滯。

1 模型的局部穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性

(3)

其中

f1=a14S(t)I(t)+a15I2(t)+a16S(t)I2(t)+a17I3(t)+…,

f2=a25S(t)I(t)+a26I2(t)+a27S(t)I2(t)+a28I3(t)+…,

f3=a34I2(t)+a35I3(t)+…,

f4=a45I2(t)+a46I3(t)+…,

進(jìn)而得到系統(tǒng)(3)的線性化部分為

相應(yīng)特征方程為

λ4+m3λ3+m2λ2+m1λ+m0+(n3λ3+n2λ2+n1λ+n0)e-λτ=0,

(4)

其中

m0=(a11a22-a12a21)a33a44,m1=-[a11a22(a33+a44)+(a11+a22)a33a44],

m2=a11a22+a33a44+(a11+a22)(a33+a44),m3=-(a11+a22+a33+a44),

n0=a44(a11a33b22+a13a21b32),n1=a23b32(a11+a44)-(a11a33+a11a44+a33a44)b22-a13a21b32,

n2=(a11+a33+a44)b22-a23b32,n3=-b22。

當(dāng)τ=0時(shí)，方程(4)變?yōu)棣?+A3λ3+A2λ2+A1λ+A0=0,其中

A0=m0+n0,A1=m1+n1,A2=m2+n2,

令Det1=A3,那么，根據(jù)Routh-Hurwithz穩(wěn)定性判據(jù)，則

成立，這說明正平衡點(diǎn)P*(S*,E*,I*,R*)是局部漸近穩(wěn)定的。

在τ>0的前提下，設(shè)λ=iω(ω>0)為特征方程(4)的根，則可得到

(5)

從而得到

ω8+e3ω6+e2ω4+e1ω2+e0=0。

(6)

其中

令ω2=v，則方程(6) 變?yōu)?/p>

v4+e3v3+e2v2+e1v+e0=0。

(7)

文獻(xiàn)[10]研究了上述方程根的分布情況，基于此提出如下假設(shè):

(H1)方程(7)至少有一個正根。

其中

h0=-m0n0,h2=m0n2-m1n1+m2n0,h4=m1n3-m2n2+m3n1-n0,h6=n2-m3n3。

將λ(τ)代入方程(4)，并對方程(4)求λ關(guān)于τ的導(dǎo)數(shù)，則有

進(jìn)而有

定理1若(H1)成立，則當(dāng)τ∈[0,τ0)時(shí)，傳染病模型(2)的正平衡點(diǎn)P*(S*,E*,I*,R*)是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)τ=τ0時(shí)，平衡點(diǎn)P*(S*,E*,I*,R*)外圍出現(xiàn)Hopf分支。

2 模擬仿真

對模型進(jìn)行仿真，在模型的參數(shù)中，令A(yù)=15,d=0.5,k=2,r=0.2,α=0.8,β=0.3,γ=0.2,δ=0.4,ε=1.2,則可以得到系統(tǒng)(2)的一個示例

(8)

經(jīng)過計(jì)算可以得到R0=4.8869>1，進(jìn)而得到系統(tǒng)(8)的唯一正平衡點(diǎn)P*(194224,3.1112,3.3150,2.8258)。容易驗(yàn)證，條件(H1)成立，并得到ω0=1.2707和τ0=2.5898。仿真效果如圖1、圖2所示。

圖1 當(dāng)τ=2.35<τ0時(shí)，P*漸近穩(wěn)定

圖2 當(dāng)τ=3.15>τ0時(shí)，P*失去穩(wěn)定性并產(chǎn)生Hopf分支

3 小結(jié)

本文在文獻(xiàn)[7]中所提出的SEIR傳染病模型的基礎(chǔ)上，研究了一類具有飽和發(fā)生率和飽和治愈率的時(shí)滯SEIR傳染病模型的局部穩(wěn)定性和Hopf分支問題。相對于文獻(xiàn)[7]中的所研究的模型，本文進(jìn)一步考慮了疾病的潛伏期時(shí)滯。因此，本文所研究的模型更具有一般性,所得理論分析結(jié)果是對文獻(xiàn)[7]的補(bǔ)充。但是，本文只是研究了模型正平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性，并沒有對模型正平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性進(jìn)行討論。所以，下一步筆者將試圖通過構(gòu)造合適的李雅普諾夫函數(shù)對模型(2)的全局穩(wěn)定性進(jìn)行研究，并研究模型的Hopf分支方向、穩(wěn)定性以及周期解的周期大小等性質(zhì)。