透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)

梅紅麗

《擲一擲》是人教版五年級(jí)上冊(cè)的一節(jié)綜合實(shí)踐活動(dòng)課。本課以游戲形式驅(qū)動(dòng)學(xué)生在觀察、猜想、試驗(yàn)、驗(yàn)證的過(guò)程中，綜合利用所學(xué)知識(shí)探究擲骰子點(diǎn)數(shù)的可能性大小，使學(xué)生經(jīng)歷生活問(wèn)題數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)過(guò)程，幫助學(xué)生走出認(rèn)知誤區(qū)，發(fā)掘現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

一、深度體驗(yàn)，發(fā)掘現(xiàn)象背后的本質(zhì)

“全喻數(shù)學(xué)”提倡數(shù)學(xué)理解的全視野。要達(dá)到理解上的全視野，就需要學(xué)生深度學(xué)習(xí)。郭元祥教授提出的“U型學(xué)習(xí)”很好地闡述了這個(gè)觀點(diǎn)。

1.還原與下沉

本課安排在學(xué)生學(xué)習(xí)《可能性》之后。在此之前，學(xué)生接觸的都是單一的隨機(jī)事件。如課堂導(dǎo)入部分，在擲一個(gè)骰子的前提下，引導(dǎo)學(xué)生制訂游戲規(guī)則，學(xué)生能直觀地根據(jù)“兩個(gè)隊(duì)擲出點(diǎn)數(shù)的個(gè)數(shù)相等，可能性大小就相等”來(lái)理解規(guī)則內(nèi)涵。例如，雙方輪流擲骰子，擲到1、2、3藍(lán)隊(duì)贏，擲到4、5、6紅隊(duì)贏，兩個(gè)隊(duì)獲勝的點(diǎn)數(shù)都是3個(gè)。到擲兩個(gè)骰子時(shí)，學(xué)生憑借先前的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，直接根據(jù)點(diǎn)數(shù)和的個(gè)數(shù)得出“點(diǎn)數(shù)和是2、3、4、10、11、12”的可能性比“點(diǎn)數(shù)和是5、6、7、8、9”的可能性大，錯(cuò)誤地判斷前者更有勝算。學(xué)生顯然被表面現(xiàn)象所迷惑。

這時(shí)師生二人分別代表紅隊(duì)、藍(lán)隊(duì)進(jìn)行對(duì)峙，各擲3次。擲出的結(jié)果無(wú)論是紅隊(duì)輸，還是藍(lán)隊(duì)輸，學(xué)生都會(huì)認(rèn)為這是運(yùn)氣不好導(dǎo)致的，便有了“再多擲幾次可能會(huì)贏”的想法。此時(shí)實(shí)驗(yàn)次數(shù)少，擲出的結(jié)果不足以沖擊學(xué)生的思維，所以學(xué)生的興趣點(diǎn)僅僅停留在游戲?qū)用?，還沒有探究背后原因的學(xué)習(xí)需求。

2.體驗(yàn)與探究

游戲是學(xué)生都喜歡的，人人都想動(dòng)手試一試。于是，筆者組織每個(gè)小組在2分鐘內(nèi)進(jìn)行游戲，擲的次數(shù)由幾次增加到20次左右，大多數(shù)小組擲出的結(jié)果都是紅隊(duì)贏。這時(shí)學(xué)生疑惑了，他們發(fā)現(xiàn)次數(shù)增加后的結(jié)果與自己原先的猜想并不一致，從而產(chǎn)生了認(rèn)知沖突。

面對(duì)這樣的結(jié)果，一部分學(xué)生已經(jīng)在往點(diǎn)數(shù)和的組合情況上思考了。由于小組實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象不是十分明顯，還存在偶然性（有的是藍(lán)隊(duì)贏），所以需要更大的數(shù)據(jù)來(lái)支撐。筆者乘機(jī)借助scratch軟件演示出擲1000次骰子的實(shí)驗(yàn)，解決了大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)所需時(shí)間太長(zhǎng)的問(wèn)題。電腦顯示的實(shí)驗(yàn)結(jié)果讓學(xué)生震驚，使他們確信“紅隊(duì)贏”不是偶然現(xiàn)象，產(chǎn)生了要進(jìn)一步探究游戲背后秘密的欲望。

3.反思與上浮

前述學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)在每次擲2個(gè)骰子的活動(dòng)中感受到了“組合”的情況，少數(shù)學(xué)生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了這樣的結(jié)果與點(diǎn)數(shù)和的組合情況有關(guān)。于是，筆者引導(dǎo)學(xué)生用枚舉法探究點(diǎn)數(shù)和的組合情況，其結(jié)果讓學(xué)生豁然開朗。學(xué)生發(fā)現(xiàn)每個(gè)點(diǎn)數(shù)和出現(xiàn)的組合種數(shù)不同導(dǎo)致了可能性大小不一樣，他們感悟到“可能性的大小并非由點(diǎn)數(shù)和的個(gè)數(shù)決定”，這與先前擲單個(gè)骰子的情況有明顯區(qū)別。

二、合作體驗(yàn)，提高解決問(wèn)題的能力

“全喻數(shù)學(xué)”提倡數(shù)學(xué)建構(gòu)的全體驗(yàn)，要求在實(shí)踐探究中培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。基于此，筆者設(shè)計(jì)了以下環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生深入探究。

1.師生合作，探究激趣

在總結(jié)第二輪游戲的規(guī)則后，學(xué)生提出了自己的猜想。由于有了制訂單個(gè)骰子游戲規(guī)則的基礎(chǔ)認(rèn)識(shí)，大部分學(xué)生毫不猶豫地猜測(cè)——藍(lán)隊(duì)獲勝的可能性大。這里安排了師生合作的游戲，激發(fā)學(xué)生參與探究的積極性。

2.生生合作，初析問(wèn)題

筆者組織全班學(xué)生以小組合作形式進(jìn)行游戲，橫向觀察每個(gè)小組的結(jié)果，并用軟件模擬擲1000次骰子的實(shí)驗(yàn)結(jié)果——紅隊(duì)贏。學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己先前的猜測(cè)是錯(cuò)誤的，繼而開始分析現(xiàn)象背后的原因，思考點(diǎn)數(shù)和的組成情況。

3.探究本質(zhì)，解決問(wèn)題

學(xué)生通過(guò)小組合作探究點(diǎn)數(shù)和的組成情況，他們用枚舉法有序地寫出了每個(gè)點(diǎn)數(shù)和的組合算式，最后得出點(diǎn)數(shù)和為“7”的組合情況最多，“2”和“12”的組合情況最少。同時(shí)，越靠中間的點(diǎn)數(shù)和組成越多，相應(yīng)的可能性就越大;越靠?jī)蛇叺狞c(diǎn)數(shù)和組成越少，相應(yīng)的可能性就越?。ㄈ缦聢D）。

數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課是培養(yǎng)和提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力的有效途徑。常規(guī)課更突出“學(xué)的過(guò)程”，綜合實(shí)踐活動(dòng)課更突出“用的過(guò)程”?！坝玫倪^(guò)程”不僅是對(duì)知識(shí)學(xué)習(xí)成效的檢驗(yàn)，也是對(duì)學(xué)生能力發(fā)展水平的檢驗(yàn)。

三、不斷反思，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)的能力

“全喻數(shù)學(xué)”提倡數(shù)學(xué)反思的全維度。學(xué)習(xí)的過(guò)程少不了反思。葉圣陶先生曾說(shuō)“教是為了不教”，要培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，就要培養(yǎng)學(xué)生不斷反思的意識(shí)。

如前所述，在第一輪投擲兩個(gè)骰子之前，學(xué)生依據(jù)經(jīng)驗(yàn)設(shè)想并制訂了游戲規(guī)則。他們一致認(rèn)為藍(lán)隊(duì)會(huì)贏，原因是點(diǎn)數(shù)和的個(gè)數(shù)較多，這是停留在現(xiàn)象上的淺層思考。在經(jīng)歷了20次左右的實(shí)驗(yàn)后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果與自己最初的想法相反，對(duì)自己最初的想法產(chǎn)生了質(zhì)疑。在教師借助電腦軟件演示擲1000次骰子實(shí)驗(yàn)后，學(xué)生確定自己最初的想法是錯(cuò)誤的，并在教師的引導(dǎo)下開始回想剛剛擲骰子的過(guò)程，初步斷定矛盾的結(jié)果與點(diǎn)數(shù)和的組成有關(guān)。學(xué)生繼續(xù)朝著這個(gè)方向進(jìn)行探究，在不斷反思中發(fā)現(xiàn)了游戲背后的秘密。

這節(jié)課，筆者執(zhí)教了4次，在電腦軟件演示擲1000次骰子實(shí)驗(yàn)后，問(wèn)“紅隊(duì)獲勝的可能性大到底和什么有關(guān)？”只有幾名學(xué)生能想到點(diǎn)數(shù)和的組成。筆者憂慮：如果沒有學(xué)生想到這點(diǎn)該怎么教學(xué)？經(jīng)過(guò)反思，筆者對(duì)這個(gè)環(huán)節(jié)有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)：大部分學(xué)生對(duì)這個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題的思考深度不夠，如果此時(shí)安排一次討論，并讓學(xué)生再次拿出2個(gè)骰子擲一擲，把每次擲出的具體情況記錄下來(lái)，進(jìn)一步體會(huì)點(diǎn)數(shù)和的組成情況，能使學(xué)生在深度體驗(yàn)中深入思考，這個(gè)問(wèn)題便會(huì)迎刃而解。實(shí)踐證明，這樣的改進(jìn)有效。

四、理性思考，達(dá)成數(shù)學(xué)文化的浸潤(rùn)

“全喻數(shù)學(xué)”提倡數(shù)學(xué)文化的全浸潤(rùn)。最初筆者對(duì)數(shù)學(xué)文化的理解是片面的，把數(shù)學(xué)史等同于數(shù)學(xué)文化，其實(shí)不然。張奠宙先生認(rèn)為：“數(shù)學(xué)是人們觀察世界的一種立場(chǎng)、觀點(diǎn)和方法，具有很強(qiáng)的人文特征。在形式化了的數(shù)學(xué)背后，有生動(dòng)活潑的思維過(guò)程、樸素?zé)o華的思想方法，乃至引人深思的人生故事……文化，總是潛藏于人們的心底，并自然而然地流露在舉手投足之間、談?wù)撜f(shuō)笑之中。數(shù)學(xué)文化的教學(xué)也是如此，要‘潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲地融化在課堂教學(xué)的過(guò)程里?！?/p>

數(shù)學(xué)教學(xué)要“講道理”，教會(huì)學(xué)生理性地思考，這是在教學(xué)中浸潤(rùn)數(shù)學(xué)文化的核心目標(biāo)之一。本節(jié)課，學(xué)生經(jīng)歷了從對(duì)游戲規(guī)則堅(jiān)定的初步判斷到看到試驗(yàn)結(jié)果后的質(zhì)疑和反思，再到用枚舉法探究出點(diǎn)數(shù)和的各種組合后的豁然開朗——點(diǎn)數(shù)和的組合種數(shù)起決定作用。整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程都是在用科學(xué)的態(tài)度驗(yàn)證自己的想法，用理性的思考完善自己的認(rèn)知。

（作者單位：武漢市青山區(qū)鋼花小學(xué)）

責(zé)任編輯? 劉佳