自適應(yīng)廣義全變差的圖像泊松去噪算法

王 潔，金正猛，馮 燦

1.南京郵電大學(xué) 理學(xué)院，南京 210023

2.北方信息控制研究院集團(tuán)有限公司，南京 211153

圖像在獲取、傳輸過程中經(jīng)常受到噪聲干擾，特別在天文、醫(yī)學(xué)、雷達(dá)等成像系統(tǒng)中不可避免地產(chǎn)生噪聲。如何有效地去除圖像中的噪聲，同時(shí)突出感興趣的區(qū)域和邊緣紋理等重要特征信息，一直是圖像處理中有挑戰(zhàn)的課題之一。通過分析噪聲和圖像信號(hào)之間的關(guān)系，一般可將噪聲分為加性噪聲和乘性噪聲。近二十年來，基于加性高斯噪聲的去除方法被人們廣泛研究。如：基于全變差（Total Variation，TV）正則化的ROF模型[1]及其擴(kuò)展模型[2-3]。由于ROF模型在去噪的同時(shí)，能很好地保護(hù)圖像的重要特征-邊緣，使得該模型被人們廣泛采納。但是，利用ROF模型，去噪后的圖像在平滑區(qū)域會(huì)不可避免地出現(xiàn)階梯效應(yīng)[4]，且紋理等細(xì)節(jié)信息會(huì)丟失[5]。針對(duì)這些缺陷，基于高階TV的圖像去噪模型[6-7]陸續(xù)被提出。另一方面，在以光子探測(cè)為成像基礎(chǔ)的醫(yī)學(xué)和天文成像系統(tǒng)中，圖像中經(jīng)常出現(xiàn)泊松噪聲。與加性高斯噪聲不同，泊松噪聲是與圖像信號(hào)之間有很強(qiáng)的依賴性。對(duì)于泊松噪聲的處理，有小波方法[8]、貝葉斯方法[9]、自適應(yīng)窗方法[10]和變分方法[11]。

本文關(guān)注的是基于變分法的圖像泊松去噪方法。2007年，Le等[11]結(jié)合TV正則化途徑，采用最大后驗(yàn)估計(jì)的方法推導(dǎo)出了去除泊松噪聲的變分模型（Le模型）。進(jìn)一步，金正猛等[12]通過變分法推導(dǎo)出Le模型解的框式約束，提出了帶框式約束的Le模型快速數(shù)值求解算法。2017年，Zhang等[13]應(yīng)用廣義交叉驗(yàn)證（Generalized Cross Validation，GCV）技術(shù)[14]，提出了自適應(yīng)的全變差泊松圖像去噪算法。雖然這些方法能較好地去除圖像中的泊松噪聲，但由于這些方法都是基于TV正則化途徑，使得去噪后的圖像會(huì)出現(xiàn)階梯效應(yīng)。近年

來，廣義全變差（Total Generalized Variation，TGV）正則化途徑被人們應(yīng)用于泊松圖像去噪中[15-16]。Lv等[16]結(jié)合Le模型中的數(shù)據(jù)保真項(xiàng)，提出基于TGV正則化的泊松圖像去噪模型（Lv模型）。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，Lv模型在去除泊松噪聲的同時(shí)，能有效地消除圖像中的階梯效應(yīng)。

Lv模型同其他基于變分方法的圖像去噪模型一樣，也存在正則化參數(shù)選取的問題。特別在真實(shí)的泊松圖像中，泊松噪聲的統(tǒng)計(jì)水平未知，如何有效地選取正則化參數(shù)是數(shù)值求解Lv模型的一大難題。本文結(jié)合交替迭代極小化方法和廣義交叉驗(yàn)證技術(shù)，提出該模型的參數(shù)自適應(yīng)迭代算法。最后，數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了所提算法的有效性和可行性。

1 相關(guān)模型

在本文中，f表示觀察到的圖像，u表示原始的清晰圖像，n是泊松噪聲。一般認(rèn)為泊松圖像滿足：

這里假定泊松概率為：

在文獻(xiàn)[11]中，Le等結(jié)合TV正則化，通過最大后驗(yàn)估計(jì)（MAP）方法，推導(dǎo)出如下去除泊松噪聲的變分模型：

其中，λ>0為正則化系數(shù)，第一項(xiàng)為TV正則項(xiàng)，第二項(xiàng)為泊松數(shù)據(jù)保真項(xiàng)。后面稱模型（1）為L(zhǎng)e模型。在文獻(xiàn)[12]中，作者通過變分方法，推導(dǎo)出Le模型解的一框式約束，并提出了帶框式約束的Le模型快速數(shù)值求解算法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該快速算法不僅能很好地去除圖像中的泊松噪聲，還大大提高了計(jì)算速度。注意到基于TV正則化的Le模型，去噪后的圖像中會(huì)出現(xiàn)階梯效應(yīng)。為了消除階梯效應(yīng)，Lv等[16]提出了基于TGV正則化的泊松圖像去噪模型（簡(jiǎn)稱為L(zhǎng)v模型）：

因此，文獻(xiàn)[16]中對(duì)Lv模型（2）進(jìn)行數(shù)值求解時(shí)，考慮該模型的如下等價(jià)形式：

盡管Lv模型能較好地消除圖像去噪中的階梯效應(yīng)，但與其他去噪模型一樣，Lv模型也存在參數(shù)選擇問題。特別地，當(dāng)泊松圖像中的噪聲信息未知時(shí)，正則化參數(shù)的選取對(duì)去噪結(jié)果影響較大。為了解決這一問題，利用交替迭代極小化算法，設(shè)計(jì)該模型的自適應(yīng)快速算法。在每步迭代求解過程中，結(jié)合廣義交叉驗(yàn)證（GCV）方法，自動(dòng)更新模型中的正則化參數(shù)。

2 交替極小化算法

通過簡(jiǎn)單的計(jì)算發(fā)現(xiàn)，模型（3）對(duì)于每個(gè)變量分別是嚴(yán)格凸的。因此，本文采用迭代極小化方法和算子分裂技巧[18]來數(shù)值求解優(yōu)化問題（3）。在每步迭代過程中，結(jié)合GCV方法，通過求解關(guān)于某個(gè)參數(shù)變量的極小值問題來自動(dòng)獲取參數(shù)α1的值，從而達(dá)到自動(dòng)更新模型中的其他參數(shù)。具體算法如下：

首先，引入輔助變量d和懲罰參數(shù)β，考慮求解問題（3）的逼近問題：

由經(jīng)典的罰函數(shù)法[19]可知，當(dāng)β取值充分大時(shí)，優(yōu)化問題（4）的解趨近于原問題（3）的解。

然后，通過引入輔助變量w和z，則式（4）可等價(jià)轉(zhuǎn)化為：

上式對(duì)應(yīng)的增廣拉格朗日函數(shù)為：

其中，β1、β2是懲罰參數(shù)，λ1、λ2是拉格朗日乘子向量。下面，通過交替迭代極小化方法，將鞍點(diǎn)問題（6）分解為如下幾個(gè)子問題來交替求解。

其中，I是單位矩陣，?:=((?(1))T,(?(2))T)T,M(γ)=?(?T?+γI)-1?T。

由于?(1)和?(2)為周期邊界條件下帶圓塊的塊循環(huán)矩陣[20]，故?(1)和?(2)可以通過傅里葉變換進(jìn)行對(duì)角化，即?(1)=F*Σ1F,?(2)=F*Σ2F，這里Σ1、Σ2為對(duì)角矩陣，?表示共軛轉(zhuǎn)置。則：

由于F*=F-1，則：

進(jìn)一步，可得到：

其中：

和

因此，通過一些基本的計(jì)算，求解優(yōu)化問題（7）可以得到最優(yōu)解γk+1。進(jìn)一步，模型（3）中的參數(shù)可通過下面方式更新：

（2）求解關(guān)于uk+1的子問題

顯然，u k+1滿足：

方程（9）為泊松方程，可采用Gauss-Seidel方法有效求解，其運(yùn)算復(fù)雜度為O(N2)，其中N為輸入圖像像素點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

（3）求解關(guān)于v k+1的子問題

在周期性邊界條件下，利用傅里葉變換可得到：

其中：

D是下列系數(shù)矩陣的行列式：

（4）求解關(guān)于d k+1,w k+1,z k+1的子問題

通過計(jì)算，可得到d k+1,w k+1有如下顯示解：

另外，z k+1滿足：

由于該子問題關(guān)于變量z嚴(yán)格凸，故最優(yōu)解在導(dǎo)數(shù)為零處取得。通過求解λ(1-f/z)+λ2+β2(z-u)=0,可得：

綜上，本文交替最小化算法的具體步驟為：

步驟1k=0，初始賦值

步驟2當(dāng)?shù)赐Ｖ箷r(shí)，重復(fù)以下子步驟：

u k+1由式（8）得到；

v k+1由式（10）得到；

步驟3迭代終止條件停止迭代，求出u。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

本章將對(duì)多幅測(cè)試圖像進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，并同文獻(xiàn)[12]中JY算法和文獻(xiàn)[13]中ZJ算法進(jìn)行比較，來檢驗(yàn)本文算法的有效性。這里，用峰值信噪比（PSNR）和結(jié)構(gòu)相似度（SSIM）[21]指標(biāo)來定量分析不同模型的去噪效果，其定義形式如下：

其中，u和u0分別表示恢復(fù)圖像和原始圖像，M×N是原始圖像的大小，σu0和σu表示它們的標(biāo)準(zhǔn)差，σu0u是u0和u的協(xié)方差，c1和c2是常數(shù)。顯然，較高的PSNR值和SSIM值意味著較好的去噪結(jié)果。為了保證不同算法之間比較的公平性，使用JY算法和ZJ算法的原始代碼，并且通過調(diào)整各自算法中的參數(shù)，保證對(duì)文中的仿真實(shí)驗(yàn)，均取得最高的PSNR值。

本文選取5幅基準(zhǔn)自然圖像作為測(cè)試圖像，如圖1中第一列所示。這些圖像分別被σ=0.07,0.11和0.15的泊松噪聲所污染，作為文中觀測(cè)到的泊松圖像。

圖1 三種算法的去噪效果Fig.1 Denoising results of three algorithms

3.1 參數(shù)的選取

對(duì)文中所有的測(cè)試圖像和不同統(tǒng)計(jì)水平的泊松噪聲，本文模型（3）中的參數(shù)設(shè)置如下：λ=0.1,α0=2α1，正則化參數(shù)α1通過本文算法自動(dòng)更新得到，停止準(zhǔn)則t ol=10-4。由于參數(shù)α1和α0可以在算法迭代過程中自動(dòng)更新得到，因此這里討論參數(shù)λ的取值對(duì)模型去噪結(jié)果的影響。以圖1中的圖片II的去噪結(jié)果為例，給出λ不同的取值與所得去噪結(jié)果的PSNR值的關(guān)系曲線圖，如圖2所示。觀察曲線圖2，不難發(fā)現(xiàn)：參數(shù)λ取值位于[0.05，0.5]之間時(shí)，對(duì)去噪結(jié)果的PSNR值影響較小，也就是說λ的取值對(duì)本文模型和算法的結(jié)果影響不大。因此，文中數(shù)值實(shí)驗(yàn)部分，都是固定λ=0.1，對(duì)于不同的測(cè)試圖片，本文模型和所提算法均可得到較好的去噪效果。

圖2 λ與PSNR的關(guān)系曲線Fig.2 Relationship curve ofλand PSNR

在本文算法中，設(shè)置β初始值為45，隨后每5次迭代β增加為1.5β，以這種方式保證參數(shù)β在算法迭代過程取值充分大直到算法收斂。在文獻(xiàn)[22]中，作者已論證了該逼近方法求解的可行性。另外，對(duì)于增廣Language函數(shù)中的懲罰參數(shù)β1和β2的取值，只要不是取得太大或者太小，對(duì)算法的去噪結(jié)果影響不大。因此，文中數(shù)值實(shí)驗(yàn)部分，固定取值β1=10,β2=15，對(duì)于所有的測(cè)試圖片，均可取得較好的去噪結(jié)果。

3.2 本文算法的收斂性分析

下面仍以圖片II的去噪結(jié)果為例，來分析本文交替求解算法的收斂性。給出實(shí)驗(yàn)中迭代次數(shù)與去噪結(jié)果PSNR值的關(guān)系曲線圖，如圖3所示。觀察圖3不難發(fā)現(xiàn)：本文所提交替求解算法在該實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)?shù)螖?shù)超過30次以后，算法趨于收斂，所得去噪結(jié)果PSNR值趨于穩(wěn)定。這個(gè)實(shí)驗(yàn)從某種意義下可以說明本文所提算法的收斂性。實(shí)際上，本文算法對(duì)于文中所有的圖片，當(dāng)?shù)綌?shù)接近50次左右，算法均趨于收斂。

圖3 迭代次數(shù)與PSNR的關(guān)系曲線Fig.3 Relationship curve of iteration numbers and PSNR

3.3 去噪結(jié)果

對(duì)圖1中的5幅測(cè)試圖片，分別加入3種不同統(tǒng)計(jì)水平的泊松噪聲，JY算法、ZJ算法和本文算法針對(duì)這些噪聲圖像進(jìn)行去噪，得到相應(yīng)的PSNR值和SSIM值如表1所示。不難從表1中看出：對(duì)于不同水平的泊松噪聲，本文算法均可得到最高的PSNR值和SSIM值，這說明本文算法去除泊松噪聲的效果要優(yōu)于JY算法、ZJ算法。

表1 不同算法的PSNR和SSIM比較結(jié)果Table 1 PSNR，SSIM values of different algorithms

為了更加直觀地比較不同算法的去噪效果，本文測(cè)試了結(jié)構(gòu)圖像I和II，紋理圖像III和IV，以及結(jié)構(gòu)和紋理并存的圖像V，圖1針對(duì)帶有σ=0.07的泊松噪聲的測(cè)試圖，展示了各種算法去噪后的圖像。這里，第一列為原始圖像，第二列為σ=0.07的泊松噪聲圖像，最后三列分別為JY算法、ZJ算法和本文算法的去噪結(jié)果，為了更清晰地展示本文算法在消除階梯效應(yīng)、保護(hù)圖像邊緣和紋理等細(xì)節(jié)方面的優(yōu)勢(shì)，在圖4中給出了圖1中部分結(jié)果區(qū)域的放大圖像，這些區(qū)域在圖1中已用紅色方框標(biāo)出。

由圖1可知，對(duì)于圖像I和圖II中的平滑區(qū)域，JY算法和ZJ算法都產(chǎn)生明顯的階梯效應(yīng)，而本文算法有效克服了上述缺點(diǎn)。從圖像II的放大區(qū)域也可以觀察到，本文算法有效去除了泊松噪聲，且消除了光滑區(qū)域的階梯效應(yīng)等現(xiàn)象，具有更佳的視覺效果。

本文算法在處理紋理圖像III和IV時(shí)，有效去除噪聲的同時(shí)也能保留更多的紋理、結(jié)構(gòu)等細(xì)節(jié)信息。從圖4中圖像IV的放大區(qū)域可以看出，本文算法所得結(jié)果在“頭發(fā)”處保留了更多細(xì)節(jié)和對(duì)比度。

圖V為結(jié)構(gòu)和紋理并存圖像，本文算法在處理此類圖像時(shí)，有效去除噪聲的同時(shí)也能保留更多的紋理，結(jié)構(gòu)等細(xì)節(jié)信息并能消除光滑區(qū)域的階梯效應(yīng)等現(xiàn)象。從圖4中圖像V的放大區(qū)域可以看出，本文算法所得結(jié)果在“鼻子”周圍保留了更多細(xì)節(jié)且能消除臉部平滑區(qū)域的階梯效應(yīng)?？偟膩碚f，從圖1和圖4中的去噪結(jié)果來看，本文算法不僅能有效地去除圖像中的泊松噪聲，還能產(chǎn)生較好的視覺效果。

圖4 三種算法去噪結(jié)果的部分放大Fig.4 Zoom areas of denoising results with three algorithms

4 結(jié)束語

針對(duì)圖像中的泊松噪聲，本文從Lv模型出發(fā)，給出了一種自動(dòng)選擇正則化參數(shù)的交替極小化算法。數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文算法有效去除圖像中地泊松噪聲，同時(shí)還能抑制階梯效應(yīng)、保護(hù)邊緣和紋理等細(xì)節(jié)信息。