一種表面效應(yīng)和非局部效應(yīng)耦合的靜電紡絲纖維拉伸力學(xué)模型*

原 波, 何顯運(yùn),張 濤

(1 廣東工貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院， 廣東廣州510510; 2 河北機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)械工程系, 河北邢臺 054000)

靜電紡絲是制備生物醫(yī)用薄膜材料的一種重要方法，靜電紡絲工藝獲得的纖維薄膜具有非常高的比表面積和極高的孔隙率，可以作為細(xì)胞生長載體,利用靜電紡絲方法能夠連續(xù)制備納米級或亞微米級高分子纖維薄膜，對于生物醫(yī)學(xué)組織工程支架設(shè)計(jì)具有重要應(yīng)用價(jià)值[1]。

靜電紡絲纖維薄膜力學(xué)強(qiáng)度必須滿足其作為藥物載體的要求，在使用過程中需要承受細(xì)胞移動造成的載荷，強(qiáng)度不足成為靜電紡絲纖維薄膜在應(yīng)用中的最大瓶頸之一，并且針對納米尺度靜電紡絲高分子纖維的實(shí)驗(yàn)過程中發(fā)現(xiàn)其力學(xué)性能具有尺度效應(yīng)[2]。對于靜電紡絲纖維力學(xué)性能所表現(xiàn)出的尺度效應(yīng)，研究人員分別從不同影響因素進(jìn)行了分析。一部分研究人員認(rèn)為纖維材料內(nèi)部結(jié)構(gòu)的不均勻性產(chǎn)生了非局部效應(yīng)，導(dǎo)致高分子納米纖維力學(xué)性能表現(xiàn)出一定的尺度效應(yīng)。非局部效應(yīng)的產(chǎn)生最早由 Eringen和 Edelen提出，孫亮和原波等研究人員分別利用經(jīng)典應(yīng)變梯度模型和高階應(yīng)變梯度模型建立了高分子纖維在不同受力條件下的力學(xué)響應(yīng)模型，并給出了纖維在彎曲變形中的尺度效應(yīng)模型[3-4]。還有一部分研究人員認(rèn)為，隨著高分子纖維直徑的減小，其比表面積會顯著增大，因此材料的表面效應(yīng)對于靜電紡絲纖維力學(xué)性能的影響相比于宏觀材料更加明顯，研究人員根據(jù)表面效應(yīng)理論模型構(gòu)建了纖維的力學(xué)性能與其特征尺寸之間的關(guān)系，并解釋了高分子納米纖維在外界載荷作用下所表現(xiàn)出的力學(xué)尺度效應(yīng)[5-6]。

靜電紡絲纖維在實(shí)際的力學(xué)環(huán)境中，其力學(xué)特征量不僅會受到纖維內(nèi)部結(jié)構(gòu)不均勻的影響，而且同時(shí)也會受到表面效應(yīng)的影響，現(xiàn)有的理論模型缺乏對以上兩種因素的綜合考量。針對高分子納米纖維的力學(xué)性能研究迫切需要建立一種能夠同時(shí)考慮兩種效應(yīng)影響的力學(xué)模型，即表面效應(yīng)和非局部效應(yīng)耦合模型，才能更加準(zhǔn)確地計(jì)算分析納米纖維的微觀力學(xué)性能[7-8]。本文在前期的研究工作基礎(chǔ)之上，在靜電紡絲纖維拉伸變形應(yīng)變能中計(jì)入表面效應(yīng)和非局部效應(yīng)的影響，研究兩種效應(yīng)耦合情況下靜電紡絲纖維的尺度效應(yīng)模型。研究結(jié)果有望對靜電紡絲纖維材料彈性模量尺度效應(yīng)的產(chǎn)生原因進(jìn)行分析，為研究高分子納米纖維材料的力學(xué)特征提供理論分析工具，并建立一個(gè)用于分析靜電紡絲纖維材料變形過程中的力學(xué)模型。

1 應(yīng)變梯度和表面效應(yīng)耦合的纖維拉伸 力學(xué)模型

如圖1所示，長度為L直徑為D的靜電紡絲纖維受到軸向載荷F 作用，其在x方向的位移用u表示，應(yīng)變用u'表示，應(yīng)變的梯度用u"表示。

圖1 高分子納米纖維拉伸變形示意圖Fig. 1 Tensile Deformation of polymer nanofibers

根據(jù)表面效應(yīng)理論及非局部效應(yīng)理論模型，分別計(jì)算兩種效應(yīng)在纖維拉伸變形過程中所產(chǎn)生的應(yīng)變能并進(jìn)行耦合，靜電紡絲纖維在軸向載荷作用下的總應(yīng)變能U可以表示為：

式（1）中：E為靜電紡絲纖維的彈性模量，單位為 Pa；lL表述紡絲纖維的特征參數(shù)，單位為 m；S為纖維材料的表面彈性系數(shù)， N/m；τ0為纖維材料的初始應(yīng)力，N/m。

式（1）經(jīng)變分后可以得到：

軸向載荷F對纖維做功W的變分形式可以表示為：

利用變分原理δ(U-W)=0，可以得到如下表達(dá)式：

其中l(wèi)s表示紡絲纖維的表面模量與彈性模量的比值，單位為m；在軸向載荷F作用下靜電紡絲纖維的邊界條件可以表示為：

根據(jù)邊界條件求出方程（4）的解為：

即為表面效應(yīng)和非局部效應(yīng)耦合情況下靜電紡絲纖維在拉伸變形中的位移表達(dá)式。

根據(jù)式（5），靜電紡絲纖維的總伸長量ΔL可以表示為：

軸向載荷F與靜電紡絲纖維總伸長量ΔL之間的關(guān)系式如式（7）所示：

進(jìn)一步可以計(jì)算出表面效應(yīng)和非局部效應(yīng)耦合情況下靜電紡絲纖維的等效彈性模量Eeff，如式（8）所示：

2 模型分析

根據(jù)式（8），在表面效應(yīng)和非局部效應(yīng)耦合情況下，高分子納米纖維的等效彈性模量與纖維的長度和直徑變化趨勢具有一定的關(guān)系，如圖2所示。從圖2中可以看出，隨著靜電紡絲纖維的直徑D和長度L的減小，紡絲纖維的等效彈性模量呈現(xiàn)不斷增長趨勢。

圖2 表面效應(yīng)和非局部效應(yīng)耦合情況下纖維等效彈性模量的變化規(guī)律Fig. 2 Variation of fiber equivalent elastic modulus under coupling of surface effect and nonlocal effect

在圖2中，高分子納米纖維的直徑和長度是兩個(gè)獨(dú)立的量，但是實(shí)際情況下，為了方面高分子纖維的拉伸實(shí)驗(yàn)操作，所選取紡絲纖維的長徑比不能低于臨界值，在模型分析過程中，選取長徑比L/D≥10的纖維作為分析對象，圖3 給出了三種不同長徑比條件下的紡絲纖維彈性模量的計(jì)算結(jié)果，纖維的等效彈性模量與長度L和直徑D之間的關(guān)系 (假設(shè)ls=lL)。

圖3 長徑比固定情況下紡絲纖維等效彈性模量的變化Fig. 3 Variation Trend of equivalent elastic modulus of spinning fiber with fixed aspect ratio

從圖3 (a) 中可以看出，紡絲纖維的等效彈性模量均會隨著纖維特征長度的減小而增大，在三種不同長徑比的情況下，等效彈性模量的增長趨勢不同。從圖3(b) 中可以看出，紡絲纖維的等效彈性模量均會隨著纖維特征直徑的減小而增大，并且等效彈性模量的增長趨勢與纖維的長徑比無關(guān)。

3 結(jié)論

（1）根據(jù)表面效應(yīng)理論和非局部效應(yīng)理論，通過在應(yīng)變能中計(jì)入兩種因素的影響，建立了表面效應(yīng)和非局部效應(yīng)耦合情況下纖維拉伸變形的力學(xué)模型。

（2）模型計(jì)算結(jié)果顯示，在長徑比確定條件下，紡絲纖維的等效彈性模量會隨著纖維特征長度的減小而增大，并且等效彈性模量的增值趨勢與長徑比大小有關(guān)；紡絲纖維的等效彈性模量也會隨著纖維特征直徑的減小而增大，并且等效彈性模量的增長趨勢與纖維的長徑比大小無關(guān)。

（3）該模型為高分子納米纖維材料的力學(xué)特征研究提供理論分析工具，有望用于靜電紡絲纖維材料在實(shí)際使用過程中的力學(xué)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參考。