帶有閾值捕獲功能型反應(yīng)函數(shù)的捕食-食餌系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

劉煒

（湖北警官學(xué)院，湖北 武漢 430034）

一、引言

生物科學(xué)的研究主要包括微觀和宏觀兩方面，微觀主要指細(xì)胞、分子等的形態(tài)研究，宏觀主要指生物體與周圍生存環(huán)境的關(guān)系，即生態(tài)學(xué)。生態(tài)學(xué)中的這種“關(guān)系”我們也可以看成生物體和周圍環(huán)境共同形成的“系統(tǒng)”，如果我們用“分析”的方法來研究系統(tǒng)，就是數(shù)學(xué)中的建立模型，這個模型叫作種群生態(tài)學(xué)模型。

當(dāng)前，隨著科技文明的不斷進(jìn)步，自然資源明顯匱乏，人與自然如何良性共存是世界熱點問題，人與生物自然資源的關(guān)系屬于生物體與周圍環(huán)境的關(guān)系，用建模和分析的方法研究這類生態(tài)系統(tǒng)可以對人類的行為有科學(xué)的指導(dǎo)。捕食-食餌系統(tǒng)屬于種群生態(tài)學(xué)模型中的兩種群模型，它可以反應(yīng)很多自然界中生物體之間和生物體與環(huán)境之間的關(guān)系。兩種群模型主要包含三種關(guān)系，即食餌與捕食者、競爭關(guān)系、互惠互存關(guān)系。本文中研究的模型是基于Lotka-Volterra模型，屬于食餌與捕食者的關(guān)系，模型中用線性化來近似表示種群A、B的密度增長。

我們以魚類資源和捕魚業(yè)為例。近幾年，過度捕撈致使物種滅絕的情況很常見，過度捕撈的目標(biāo)是為了追求經(jīng)濟(jì)利潤，如何在保護(hù)自然資源的同時，能使捕撈和魚類繁殖形成良性發(fā)展關(guān)系，就是模型需要研究的問題。例如，B.Ghosh在2014年研究了一類帶有生態(tài)閾值和經(jīng)濟(jì)共同制約的捕食-食餌模型的食餌種群可持續(xù)利用問題，很多學(xué)者也利用捕獲和經(jīng)濟(jì)效益的微分代數(shù)系統(tǒng)模型得到了許多有價值的結(jié)論，為經(jīng)濟(jì)和生態(tài)環(huán)境的平衡發(fā)展做出了有指導(dǎo)意義的推理結(jié)論。

在之前的研究中，關(guān)于微分代數(shù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及分支的研究有很多，也得到了很多好的結(jié)論，但在其模型中，關(guān)于捕獲函數(shù)的描述并不確切，在實際生產(chǎn)中捕獲并不是以常數(shù)進(jìn)行正比例增長的，這些會影響整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性結(jié)果。因此，我們考慮加入一個更為實際的閾值捕獲函數(shù)，建立了一個帶有閾值捕獲功能型反應(yīng)函數(shù)的微分代數(shù)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，利用微分代數(shù)方程定義的動力系統(tǒng)中平衡點及其局部穩(wěn)定性理論來分析上述模型的穩(wěn)定性，從而得出有實際價值的結(jié)論。

二、帶有閾值捕獲功能型反應(yīng)函數(shù)的捕食-食餌模型的建立

我們采用的基礎(chǔ)模型是帶有對捕食者捕獲的ratio-dependent捕食-食餌模型

x和y表示食餌和捕食者在時間tf時的密度，其中αθε，，為正常數(shù)，a,b分別代表食餌和捕食者兩種群的密度，C*指對捕食者的捕獲能力，αC*y表示在時間t捕獲與捕食者密度成正比關(guān)系。

在捕魚業(yè)中，0=t時開始捕撈是不能實現(xiàn)的，J.S.Collie曾在Technical Report中介紹過Threshold Policy的概念，若被捕獲量在閾值T水平以下不捕獲，若被捕獲量超過閾值T采用常數(shù)捕獲率進(jìn)行捕撈。即

當(dāng)然，考慮到時滯和捕撈能力等因素的限制，當(dāng)被捕獲量達(dá)到閾值時立刻開始捕撈是不能實現(xiàn)的，因此我們加入一個連續(xù)的閾值捕獲功能型反應(yīng)函數(shù)，

當(dāng)Ty= 時，捕撈光滑增長，直到達(dá)到h。

1954年，Gordon結(jié)合經(jīng)濟(jì)因素，提出了關(guān)于捕獲能力對生態(tài)系統(tǒng)影響的經(jīng)濟(jì)學(xué)原理，即Net Economic Revenue=Total Revenue - Total Cost,簡稱NER。依據(jù)此原理我們可以得到一個如下的經(jīng)濟(jì)效益方程：

其中 )(tC代表時間t時的捕獲效率，p表示單位重量的捕獲效益，q表示單位捕獲成本，m表示經(jīng)濟(jì)效益，mqp,, 均為正參數(shù)。

結(jié)合以上閾值捕獲功能型反應(yīng)函數(shù)和經(jīng)濟(jì)效益方程，我們可以得到以下帶有捕獲的捕食-食餌生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)：

當(dāng)Tv< 時，捕獲為0，關(guān)于閾值捕獲功能型反應(yīng)函數(shù)的研究以有成熟結(jié)論，因此在接下來的研究中我們之考慮Tv> 時的情況。

三、穩(wěn)定性分析

當(dāng) 0TT> 時，系統(tǒng)（1）的正平衡點是不穩(wěn)定的；

當(dāng) 0TT< 時，系統(tǒng)（1）的正平衡點是漸進(jìn)穩(wěn)定的；

當(dāng) 0TT= 時，系統(tǒng)（1）的正平衡點是一個非雙曲平衡點。

四、結(jié)語

上文中我們得到了系統(tǒng)局部穩(wěn)定的條件，我們還可以根據(jù)Hopf分支定理，選取T作為分支參數(shù)，得到方程滿足Hopf分支存在的條件，進(jìn)一步應(yīng)用形式級數(shù)判別法來研究系統(tǒng)（1）的中心焦點問題等。這樣我們能有更全面細(xì)致的結(jié)論，這會在后續(xù)研究中進(jìn)行。

生物資源的合理利用和開發(fā)一直是我們所提倡的，但在某些國家和地區(qū)仍然不顧環(huán)境一味追求經(jīng)濟(jì)利潤，給生態(tài)環(huán)境造成了很多不可逆的影響。如果將本文研究的帶有閾值捕獲功能型反應(yīng)函數(shù)的捕食-食餌系統(tǒng)應(yīng)用于捕魚業(yè)，單從經(jīng)濟(jì)角度出發(fā)，捕魚者趨向以最小成本收獲最大捕獲量，因此在局部范圍內(nèi)選擇的閾值T越大，經(jīng)濟(jì)效益越大。但通過上述研究我們發(fā)現(xiàn)，閾值T的選擇會影響整個微分代數(shù)生態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，當(dāng) 0TT> 時，食餌、捕食者和捕獲量會呈現(xiàn)不穩(wěn)定狀態(tài)，這很大概率會影響生態(tài)系統(tǒng)平衡，影響生物體繁殖，甚至最終導(dǎo)致物種滅絕。因此我們需要計算出符合系統(tǒng)穩(wěn)定性的閾值0T，在超過該值時進(jìn)行捕撈，這樣才能在保證生態(tài)環(huán)境可持續(xù)發(fā)展的前提下提高經(jīng)濟(jì)利潤。

當(dāng)然，我們的模型并不完善，沒有考慮時滯、染病等因素，沒有加入對食餌的捕獲，這些因素也會對系統(tǒng)產(chǎn)生影響。因此這些研究也是十分有意義的，生態(tài)數(shù)學(xué)的研究可以幫助很多工、農(nóng)領(lǐng)域進(jìn)行科學(xué)的可持續(xù)發(fā)展，我們會在這個問題上繼續(xù)進(jìn)行研究，持之以恒，做出更多有價值的成果，給人與自然的和諧發(fā)展給予積極的影響。