基于動(dòng)態(tài)優(yōu)選遺忘因子最小二乘在線辨識(shí)的磷酸鐵鋰電池SOC估算*

王浩 鄭燕萍 虞楊

（南京林業(yè)大學(xué)，南京210037）

主題詞：磷酸鐵鋰電池 粒子群優(yōu)化 動(dòng)態(tài)優(yōu)選遺忘因子 在線辨識(shí) 擴(kuò)展卡爾曼濾波

1 前言

電動(dòng)汽車動(dòng)力電池荷電狀態(tài)（State of Charge，SOC）是電池和整車能量管理的基礎(chǔ)，其估算結(jié)果的準(zhǔn)確性直接影響著電池和整車的使用性能與安全。

目前，電池SOC估算方法包括安時(shí)積分法、開路電壓法、數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)算法及等效電路模型觀測(cè)法等[1]。安時(shí)積分法計(jì)算簡(jiǎn)單，但其對(duì)初值準(zhǔn)確性要求高，且在估算過程中易產(chǎn)生累積誤差而無法自我修正；開路電壓法的開路電壓需要將電池充分靜置得到，不適合直接應(yīng)用于實(shí)車，一般與安時(shí)積分法聯(lián)合使用[2]；基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的算法無需考慮系統(tǒng)內(nèi)部模型，但對(duì)數(shù)據(jù)要求高，數(shù)據(jù)訓(xùn)練難度較大；等效電路模型觀測(cè)法基于電路模型，利用充放電數(shù)據(jù)先進(jìn)行模型參數(shù)辨識(shí)，再結(jié)合各種濾波算法進(jìn)行電池SOC估算。模型參數(shù)影響模型精度，進(jìn)而影響電池SOC估算準(zhǔn)確性。參數(shù)辨識(shí)可分為離線與在線兩類。離線辨識(shí)方法中，較為簡(jiǎn)單的最小二乘擬合法一般需要適當(dāng)?shù)某跏紖?shù)，文獻(xiàn)[3]采用無需初始參數(shù)、收斂速度快且能獲得全局最優(yōu)的模擬退火算法來辨識(shí)參數(shù)，獲得了較好估計(jì)精度。但隨著電池使用環(huán)境和循環(huán)次數(shù)的變化，其內(nèi)部參數(shù)必然變化，離線辨識(shí)的精度再高，獲得的也只是當(dāng)時(shí)環(huán)境下的參數(shù)情況。因此，有學(xué)者提出了在線辨識(shí)，實(shí)時(shí)更新等效電路模型參數(shù)以保證模型精度。文獻(xiàn)[4]提出一種遞推最小二乘-擴(kuò)展卡爾曼濾波（Recursive Least Squares-Extended Kalman Filter，RLS-EKF）算法，其采用遞推最小二乘法實(shí)現(xiàn)參數(shù)的在線辨識(shí)后與擴(kuò)展卡爾曼濾波聯(lián)合以估算電池SOC，其最小二乘在線辨識(shí)沒有引入遺忘因子，辨識(shí)結(jié)果有待改善。文獻(xiàn)[5]利用自適應(yīng)擴(kuò)展卡爾曼濾波（Adaptive Extended Kalman filter，AEKF）和遞推最小二乘法估計(jì)開路電壓（Open Circuit Voltage，OCV），進(jìn)而通過SOC-OCV的關(guān)系估計(jì)電池SOC，試驗(yàn)結(jié)果表明該方法有一定的準(zhǔn)確性。但遞推最小二乘更適用于定常未知參數(shù)系統(tǒng)，而電池參數(shù)屬慢時(shí)變系統(tǒng)，遞推最小二乘法容易“數(shù)據(jù)飽和”[6]。為克服參數(shù)辨識(shí)時(shí)的“數(shù)據(jù)飽和”問題，文獻(xiàn)[7]采用含遺忘因子的遞推最小二乘與AEKF聯(lián)合算法，提高了算法跟蹤效果，但遺忘因子的選定對(duì)算法效果會(huì)有一定影響。

基于上述分析，本文提出通過粒子群算法實(shí)時(shí)優(yōu)化遞推最小二乘遺忘因子，聯(lián)合擴(kuò)展卡爾曼濾波實(shí)現(xiàn)磷酸鐵鋰電池SOC估計(jì)，旨在進(jìn)一步提高基于在線模型參數(shù)辨識(shí)與EKF的聯(lián)合算法估算電池SOC的準(zhǔn)確性。

2 等效電路與開路電壓模型建立

2.1 等效電路模型

電池模型是卡爾曼濾波估算電池狀態(tài)的前提，而二階RC等效電路模型比一階RC模型、新一代車輛合作伙伴關(guān)系（the Partnership for a New Generation of Vehicles，PNGV）模型等更能反映鋰離子電池的內(nèi)部動(dòng)態(tài)變化情況[8-10]。綜合模型精度與算法復(fù)雜度，本文選擇精度較高的二階RC等效電路模型，如圖1所示。其中：Uoc(t)為開路電壓；R0(t)為歐姆內(nèi)阻；I(t)為工作電流，放電時(shí)取正；R1(t)、R2(t)分別為電化學(xué)極化內(nèi)阻和濃差極化內(nèi)阻；C1(t)、C2(t)分別為電化學(xué)極化電容和濃差極化電容[11]；U1(t)、U2(t)分別為電化學(xué)極化環(huán)端電壓和濃差極化環(huán)端電壓；Ut(t)為電池端電壓。

圖1 二階RC等效電路模型

根據(jù)基爾霍夫電壓定律及基爾霍夫電流定律可得等效電路模型的電氣關(guān)系式為：

2.2 開路電壓模型

由于電池OCV與SOC之間存在確定的函數(shù)關(guān)系，本文通過試驗(yàn)方法和多項(xiàng)式擬合得到電池SOC-OCV 曲線。針對(duì)磷酸鐵鋰電池存在的中間SOC 值處對(duì)應(yīng)的開路電壓變化平坦、兩端SOC值處對(duì)應(yīng)的開路電壓變化劇烈的特性，設(shè)計(jì)了分段等SOC間隔試驗(yàn)方法來盡可能獲取有代表性的SOC-OCV點(diǎn)，設(shè)SOC值為Z，試驗(yàn)方案為：

a.溫控箱控制試驗(yàn)環(huán)境溫度為25 ℃，以1/3 C 倍率恒流充電至截止電壓3.65 V后，恒壓充電至電流小于4 A，靜置1 h；

b.從Z=100%處開始，每次以1/3 C 倍率放掉1.25%容量，靜置1 h后記錄端電壓，重復(fù)4次至Z=95%；

c.從Z=95%處開始，以1/3 C 倍率放掉5%容量至Z=90%，靜置1 h后記錄端電壓；

d.從Z=90%處開始，每次以1/3 C倍率放掉10%容量，靜置1 h后記錄端電壓，重復(fù)8次至Z=10%；

e.從Z=10%處開始，以1/3 C 倍率放掉5%容量至Z=5%，靜置1 h后記錄端電壓；

f.從Z=5%處開始，每次以1/3 C倍率放掉1.25%容量，靜置1 h后記錄端電壓，重復(fù)4次至Z=0。

在上述各SOC處?kù)o置1 h后的端電壓即可等價(jià)為各對(duì)應(yīng)SOC處的OCV，綜合考慮過擬合與欠擬合影響，選用6 階多項(xiàng)式擬合上述試驗(yàn)所得的SOC-OCV 數(shù)據(jù)點(diǎn)，得出放電SOC-OCV 曲線關(guān)系如圖2所示，用Uoc表示開路電壓，則6階多項(xiàng)式擬合公式為：

圖2 6階擬合SOC-OCV曲線

式中，a1～a7為多項(xiàng)式系數(shù)。

擬合的多項(xiàng)式系數(shù)如表1所示。

表1 擬合多項(xiàng)式系數(shù)

3 模型參數(shù)在線辨識(shí)

3.1 遺忘因子遞推最小二乘法

基于遺忘因子遞推最小二乘法（Forgetting Factor Recursive Least Squares，F(xiàn)FRLS）進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)前，要將二階等效電路模型離散遞推轉(zhuǎn)化為最小二乘基本形式。將式（1）進(jìn)行拉氏變換：

式中，s為s域上的拉普拉斯算子[12]。

雙線性變換公式為：

式中，T為采樣周期；z為離散z域上的對(duì)應(yīng)算子，雙線性變換即實(shí)現(xiàn)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)與離散時(shí)間系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換[13-14]。

利用（4）對(duì)式（3）進(jìn)行從s域到z域的映射，得到系統(tǒng)在z域上的傳遞函數(shù)，并將其化簡(jiǎn)，可得：

式中，θ1,k、θ2,k、θ3,k、θ4,k、θ5,k為k時(shí)刻化簡(jiǎn)代表系數(shù)，具體表達(dá)式為：

式中，a=R1；b=τ1τ2；c=τ1+τ2；d=R0+R1+R2；e=R0(τ1+τ2)+R1τ2+R2τ1；τ1=R1C1；τ2=R2C2。

Ut(k)為試驗(yàn)記錄的端電壓值，取y(k)=Ut(k)-Uoc(k)，對(duì)式（5）離散化可得：

則最小二乘參數(shù)向量為θ(k)=(θ1,k,θ2,k,θ3,k,θ4,k,θ5,k)T，數(shù)據(jù)向量為φ(k)=(y(k-1),y(k-2),I(k),I(k-1),I(k-2))T，I(k)為試驗(yàn)記錄的電流值。

θ(k)由遞推最小二乘實(shí)時(shí)估計(jì)，進(jìn)而由式（6）可反求出：

再結(jié)合a～e的表達(dá)式可得：

遺忘因子遞推最小二乘引入遺忘因子λ來調(diào)整新、舊數(shù)據(jù)權(quán)重，λ取值接近1，一般取0.95≤λ≤1.00[6]。設(shè)增益系數(shù)為K(k)，參數(shù)估計(jì)值為θ(k)，協(xié)方差矩陣為P(k),遺忘因子最小二乘遞推方程為：

3.2 粒子群算法優(yōu)化遺忘因子

粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法作為進(jìn)化類智能尋優(yōu)算法，在優(yōu)化領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，本文在遺忘因子遞推最小二乘算法上引入PSO算法，以端電壓誤差最小為優(yōu)化目標(biāo)，實(shí)時(shí)優(yōu)化遺忘因子，從而提高參數(shù)在線辨識(shí)的準(zhǔn)確性。

適應(yīng)度函數(shù)為：

式中，U(k)為端電壓估算值；Uoc(k-1)由(k-1)時(shí)刻估算的SOC和SOC-OCV曲線獲得。

以遺忘因子λ為優(yōu)化變量，λ的變化影響增益K(k)與協(xié)方差矩陣P(k)，以J最小化為目標(biāo)進(jìn)行迭代尋優(yōu)，進(jìn)而對(duì)參數(shù)作出最優(yōu)估計(jì)。

4 聯(lián)合估算電池SOC

4.1 基于EKF的電池SOC估算原理

卡爾曼濾波只能應(yīng)用于線性系統(tǒng)，電池模型系統(tǒng)呈現(xiàn)非線性，故無法直接應(yīng)用卡爾曼濾波進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)，于是有學(xué)者提出了擴(kuò)展卡爾曼濾波方法[15]，該方法對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行一階泰勒展開，省去高階項(xiàng)以達(dá)到近似線性化，進(jìn)而可以利用線性卡爾曼濾波理論的遞推公式實(shí)現(xiàn)非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)[16-18]。二階等效電路擴(kuò)展卡爾曼濾波估算電池SOC的過程如下：

a.設(shè)系統(tǒng)原非線性狀態(tài)方程為：

式中，x為系統(tǒng)狀態(tài)變量；u為系統(tǒng)輸入量；h為系統(tǒng)輸出量；ω為狀態(tài)噪聲；ν為觀測(cè)噪聲。

b.結(jié)合式（1），對(duì)非線性函數(shù)f和g在估計(jì)點(diǎn)處進(jìn)行一階泰勒展開線性化，系統(tǒng)狀態(tài)量x=[U1,U2,Z]T，系統(tǒng)輸入量u=I，系統(tǒng)輸出量h=Ut，則系統(tǒng)離散狀態(tài)空間為：

其中，A(k)、B(k)、C(k)、D(k)的表達(dá)式為：

c.卡爾曼遞推過程，其中Q為狀態(tài)噪聲協(xié)方差矩陣，R為觀測(cè)噪聲協(xié)方差矩陣。

對(duì)狀態(tài)變量估計(jì)值x?和誤差協(xié)方差矩陣Pe進(jìn)行初始化：

式中，E為單位矩陣。

狀態(tài)估計(jì)時(shí)間更新：

誤差協(xié)方差矩陣時(shí)間更新：

卡爾曼增益矩陣Ke更新：

狀態(tài)估計(jì)測(cè)量更新：

誤差協(xié)方差矩陣測(cè)量更新：

4.2 PSO-FFRLS聯(lián)合EKF估算SOC

含遺忘因子的最小二乘法可以有效改善等效電路模型參數(shù)這類慢時(shí)變系統(tǒng)的“數(shù)據(jù)飽和”問題。但針對(duì)不同電池和環(huán)境，都需要手動(dòng)挑選出較好的遺忘因子。本文借助粒子群優(yōu)化算法實(shí)時(shí)自篩選最佳遺忘因子以應(yīng)對(duì)不同電池及不同使用環(huán)境影響下對(duì)遺忘因子提出的動(dòng)態(tài)要求，并聯(lián)合擴(kuò)展卡爾曼濾波算法實(shí)現(xiàn)電池SOC估算，流程如圖3所示。

圖3 聯(lián)合算法流程

5 試驗(yàn)與仿真結(jié)果分析

5.1 試驗(yàn)及仿真過程

本文選用的磷酸鐵鋰電池技術(shù)參數(shù)為：額定容量100 A·h，單體額定電壓3.2 V，充電截止電壓3.65 V，放電截止電壓2.5 V，充電截止電流4 A，充、放電效率η=0.93。在對(duì)電池進(jìn)行靜態(tài)容量測(cè)試時(shí)，取3次試驗(yàn)平均值100.1 A·h，即CN=100.1 A·h，T=1 s。

參照電動(dòng)汽車電池試驗(yàn)手冊(cè)對(duì)電池進(jìn)行動(dòng)應(yīng)力測(cè)試（Dynamic Stress Test，DST），DST工況的周期為360 s，設(shè)置70個(gè)DST循環(huán)，將電池容量從100%放電至10%左右。實(shí)際試驗(yàn)中的1個(gè)DST周期的電流、電壓數(shù)據(jù)如圖4所示。

圖4 DST工況電壓、電流

5.2 仿真結(jié)果對(duì)比

基于MATLAB 的m 語言編程實(shí)現(xiàn)所提出的在線辨識(shí)及SOC 估計(jì)算法的仿真。將DST 試驗(yàn)數(shù)據(jù)同時(shí)進(jìn)行動(dòng)態(tài)優(yōu)選遺忘因子最小二乘辨識(shí)與普通遺忘因子最小二乘辨識(shí)。經(jīng)初步試驗(yàn)，動(dòng)態(tài)優(yōu)選遺忘因子λ的范圍設(shè)為0.98～1.00 效果較好。針對(duì)普通FFRLS，選擇遺忘因子分別為0.95和0.99進(jìn)行對(duì)比，在線辨識(shí)端電壓誤差絕對(duì)值對(duì)比如圖5和圖6所示。

圖5 λ=0.95與動(dòng)態(tài)λ端電壓誤差對(duì)比

圖6 λ=0.99與動(dòng)態(tài)λ端電壓誤差對(duì)比

由圖5、圖6 可以看出，各算法的端電壓誤差都很小，端電壓跟隨較好。總體上，動(dòng)態(tài)λ的端電壓誤差比λ=0.95和λ=0.99時(shí)的端電壓誤差都小一些：動(dòng)態(tài)λ的端電壓最大誤差為12.3 mV，平均端電壓誤差為2.18 mV；λ=0.95時(shí)的端電壓最大誤差為23 mV，平均端電壓誤差為7.14 mV；λ=0.99 時(shí)的端電壓最大誤差為13.1 mV，平均端電壓誤差為2.78 mV。

從端電壓誤差對(duì)比來看，動(dòng)態(tài)遺忘因子λ的端電壓誤差始終處于極低水平，而選擇固定的λ時(shí)，其端電壓誤差的差別較大，故針對(duì)不同電池或試驗(yàn)工況時(shí)，選擇合適的λ對(duì)端電壓仿真結(jié)果的影響較大，而動(dòng)態(tài)λ則會(huì)自適應(yīng)保持低誤差水平。

將上述在線辨識(shí)算法分別與擴(kuò)展卡爾曼濾波聯(lián)合估算電池SOC 值，估算結(jié)果對(duì)比如圖7所示，電池SOC估計(jì)誤差對(duì)比如圖8所示。

圖7 SOC估計(jì)值對(duì)比

圖8 SOC估計(jì)誤差對(duì)比

由圖7 和圖8 可以看出，采用動(dòng)態(tài)遺忘因子λ的電池SOC總體估計(jì)誤差水平最低。工況前期，三者的估計(jì)誤差非常接近，但在1 700 s后，采用λ=0.95的估計(jì)算法明顯偏離試驗(yàn)結(jié)果，估計(jì)誤差急劇增加，采用λ=0.99的估計(jì)算法誤差也未能向下收斂而維持在較高誤差水平，而采用動(dòng)態(tài)λ算法在1 700 s之后還可以繼續(xù)收斂誤差，誤差總體控制效果明顯高于2 個(gè)定遺忘因子的算法。采用動(dòng)態(tài)遺忘因子λ的電池SOC 估計(jì)最大絕對(duì)誤差為1.48%，平均絕對(duì)誤差為0.92%；采用λ=0.95的電池SOC估計(jì)最大絕對(duì)誤差為4.05%，平均絕對(duì)誤差為1.59%；采用λ=0.99的電池SOC估計(jì)最大絕對(duì)誤差為1.97%，平均絕對(duì)誤差為1.18%。

6 結(jié)束語

本文基于磷酸鐵鋰電池搭建二階等效電路模型，采用粒子群優(yōu)化算法自適應(yīng)更新遺忘因子，結(jié)果表明，與傳統(tǒng)定遺忘因子算法相比，動(dòng)態(tài)遺忘因子遞推最小二乘算法的端電壓跟隨性更好且誤差較低，其與擴(kuò)展卡爾曼濾波聯(lián)合對(duì)電池SOC進(jìn)行估計(jì)的精度更高。

本文提出的動(dòng)態(tài)遺忘因子遞推最小二乘與擴(kuò)展卡爾曼濾波聯(lián)合估算電池SOC的算法，與需挑選較優(yōu)遺忘因子的傳統(tǒng)定遺忘因子算法相比，可實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)自篩選最佳遺忘因子，滿足不同電池或不同使用環(huán)境下對(duì)遺忘因子提出的動(dòng)態(tài)要求。