在課堂教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的策略探索

付長虹

摘 要：數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)的最重要的素養(yǎng)，是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，體現(xiàn)了能從本質(zhì)上認(rèn)識事物特點，表達關(guān)系、規(guī)律，駕馭核心要素，這也是高端人才的首要素養(yǎng)。本文依據(jù)數(shù)學(xué)抽象活動的三個階段的特點，以“實數(shù)”教學(xué)為例，從問題情境、圖式結(jié)構(gòu)、信息技術(shù)、類比弱抽象、實際建模五個方面，談?wù)勗跀?shù)學(xué)課堂上如何培養(yǎng)學(xué)生的抽象素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng);數(shù)學(xué)課堂教學(xué)

未來的智能化高科技社會，需要高素養(yǎng)的人才，未來社會的公民既要掌握專業(yè)知識技能，還要有維持個人終身發(fā)展，和適應(yīng)社會可持續(xù)發(fā)展的必備品格和關(guān)鍵能力。中學(xué)各個學(xué)科都在結(jié)合學(xué)科本質(zhì)特點，各有側(cè)重地培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。

數(shù)學(xué)抽象是對圖形、數(shù)量及其關(guān)系的抽象，從現(xiàn)實世界的事物中抽取出數(shù)學(xué)的規(guī)律、結(jié)構(gòu)、概念、本質(zhì)，并用數(shù)學(xué)語言對之予以表征，它是一種數(shù)學(xué)思維的過程，也是一種非常重要的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)學(xué)科具有很強的抽象性和概括性，是最適合培養(yǎng)學(xué)生的抽象素養(yǎng)的，在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出的數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)中，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)居于首位。數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng)，或者具備用符號代表事物，用法則揭示事物運動規(guī)律，這樣描述出一副事物運動的清晰圖景的能力。數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)體現(xiàn)了能從本質(zhì)上認(rèn)識事物特點，表達關(guān)系、規(guī)律，駕馭核心要素，這也是高端人才的首要素養(yǎng)。

數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)體現(xiàn)在：認(rèn)識數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系，獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，提出數(shù)學(xué)命題和模型，形成數(shù)學(xué)方法和思想。數(shù)學(xué)抽象活動可分為三個階段：約簡階段、符號階段和普適階段。在約簡階段，從具體事物中抽象出數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)特征;在符號階段，要會用符號、圖示表達出數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)特征，及在數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)中的位置;在普適階段，在應(yīng)用數(shù)學(xué)對象解決問題的過程中，深化對數(shù)學(xué)對象的內(nèi)涵與外延的認(rèn)識，進一步提高抽象能力。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，以數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)為載體，要分階段、講方法地落實數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)。下面以人教版教材第六章第3節(jié)“實數(shù)”為例，來談一談落實數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的策略。

一、在最近發(fā)展區(qū)創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題情景，在比較中抽象出概念

數(shù)學(xué)抽象最基本的方面，是通過對概念的解析構(gòu)建來獲得對事物本質(zhì)屬性的認(rèn)識。對一些問題從具體到一般地抽象，才能得到數(shù)學(xué)概念，有的概念是從實際事物現(xiàn)象抽象得來的，有的是對數(shù)學(xué)內(nèi)部知識進一步抽象得到的，后者是數(shù)學(xué)發(fā)展的必要，在數(shù)學(xué)概念中占有更大的比重，是培養(yǎng)抽象素養(yǎng)的重要知識載體，對此類概念的學(xué)習(xí)過程，是培養(yǎng)抽象素養(yǎng)的重要契機。實數(shù)概念的學(xué)習(xí)，即是如此。

本章前兩節(jié)，學(xué)生已學(xué)習(xí)了平方根、立方根的概念，接觸到帶根號的數(shù)，數(shù)的形式豐富了，立足于學(xué)生知識結(jié)構(gòu)的最近發(fā)展區(qū)，本節(jié)課一開始，我就創(chuàng)設(shè)了一個數(shù)學(xué)問題情境：

請舉例說說學(xué)過哪些類型的數(shù)。

學(xué)生很有熱情地舉出例子，如：1.37、2、-2、3、、10、π、-π、、、0.3、0、0.434334333…等。

學(xué)生舉例比較全面，有小數(shù)、分?jǐn)?shù)、整數(shù)，有正數(shù)、負(fù)數(shù)，有偶數(shù)、奇數(shù)，有質(zhì)數(shù)、合數(shù)，還有帶根號的數(shù)等。

我提出問題：

1.這些數(shù)中，哪些是有理數(shù)？

2.其他的不是有理數(shù)的幾個數(shù)，與有理數(shù)有什么不同？

對第2個問題，有學(xué)生說，其他的不是有理數(shù)的幾個數(shù)，不能化成整數(shù)或分?jǐn)?shù)的形式。

我肯定這樣的回答后，又問：

它們能化成小數(shù)形式嗎？與有理數(shù)化成小數(shù)的形式后，有什么不同？

學(xué)生回答：有理數(shù)都能化成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)的形式，而其他的不是有理數(shù)的幾個數(shù)，化成小數(shù)形式是無限不循環(huán)小數(shù)。

此時，我順勢給出無理數(shù)的概念：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，并總結(jié)幾種常見的無理數(shù)形式，然后給出實數(shù)的概念：有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。

本例在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)設(shè)計數(shù)學(xué)情境問題，激起學(xué)生回答問題的熱情，并自然形成無理數(shù)與有理數(shù)在本質(zhì)特征上的比較：1.無理數(shù)不能化成分?jǐn)?shù)（整數(shù)此時看成分母是1的分?jǐn)?shù)）;2.無理數(shù)在小數(shù)形式上是無限不循環(huán)小數(shù)。這兩種回答只是用兩種形式說明同一個本質(zhì)特點。這個設(shè)計在學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的問題情境，促使學(xué)生很自然地從具體的數(shù)的例子中，抽象出無理數(shù)的本質(zhì)特點，形成概念。

二、用圖示方法固著概念，構(gòu)建認(rèn)知結(jié)構(gòu)

布爾巴基學(xué)派提出的結(jié)構(gòu)主義思想，蜚聲近代數(shù)學(xué)界，認(rèn)為數(shù)學(xué)是研究結(jié)構(gòu)的科學(xué)，數(shù)學(xué)的各種理論之間的關(guān)系是可以系統(tǒng)化的。數(shù)學(xué)每章節(jié)的知識相對獨立，但各個知識間又存在著緊密的聯(lián)系，根據(jù)結(jié)構(gòu)主義思想，能夠通過抽象出這些聯(lián)系而建立、描述出知識體系，是學(xué)好數(shù)學(xué)的必經(jīng)途徑，也是在更高水平上發(fā)展抽象素養(yǎng)。

知道概念的來龍去脈，及概念的本質(zhì)特點后，還要知道此新概念與其他數(shù)學(xué)對象之間的關(guān)系，新概念在知識網(wǎng)絡(luò)中的位置，此時，用圖示的方法畫出導(dǎo)圖，能夠強化對概念本質(zhì)的認(rèn)識，固著概念，如圖1：

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為學(xué)習(xí)是主動建構(gòu)的過程，要求學(xué)生通過主動感知、消化和改造，將新知識合理地納入到自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，來完善自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知體系。鑒于此理論，我請學(xué)生自己根據(jù)實數(shù)的有關(guān)概念，從實數(shù)分類的角度，畫出結(jié)構(gòu)圖，學(xué)生畫的圖會有多種，請學(xué)生互相學(xué)習(xí)，交流補充，這個過程，是對概念的更高層次的抽象，將新知納入已有的知識結(jié)構(gòu)，豐富、重組自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這個心理上的“順應(yīng)”的過程，也是更高層次的抽象過程。

三、用信息技術(shù)手段輔助抽象概念的表征

數(shù)形結(jié)合，是挖掘概念內(nèi)涵的重要手段，用信息技術(shù)手段，可以方便地畫出豐富的、動態(tài)的圖形，讓數(shù)學(xué)結(jié)合變得容易、直觀。像研究有理數(shù)一樣，我們?nèi)孕枰脭?shù)軸作為工具來研究實數(shù)，當(dāng)在數(shù)軸上找出表示無理數(shù)的點時，如果只用傳統(tǒng)紙筆方法畫圖，耗時比較長，這時就可以發(fā)揮幾何畫板等軟件畫圖的優(yōu)勢了，請學(xué)生用PAD上的幾何畫板類的軟件（如GeoGebraapp）作圖，如圖2，以數(shù)軸上的1個單位長度為邊長，做出正方形OABC，畫出對角線OB，再以點O為圓心，以O(shè)B為半徑畫弧，與數(shù)軸的兩個交點D、E，表示的數(shù)就是-、。

在七年級上期有理數(shù)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)知道有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示，本節(jié)課，幾何畫板課件演示，幫助了學(xué)生直觀想象出無理數(shù)也可以用數(shù)軸上的點來表示，數(shù)軸上的點有的表示有理數(shù)，有的表示無理數(shù)，學(xué)生就能夠抽象出實數(shù)與數(shù)軸上的點的一一對應(yīng)的關(guān)系。

四、用類比的方法進行“弱抽象”，探索概念的外延

弱抽象也可以叫做概念“擴張式抽象”，即從原型中選取某一特征（側(cè)面）加以抽象，從而獲得比原結(jié)構(gòu)更廣的結(jié)構(gòu)，使原結(jié)構(gòu)成為后者的特例。從有理數(shù)，抽象到實數(shù)，就是弱抽象的過程，在邏輯化推理的前提下，抽象前的原型對象的一些特征，可以類比遷移到弱抽象后得到的對象上。

由實數(shù)與數(shù)軸上的點的一一對應(yīng)關(guān)系可知，有理數(shù)的大小比較法則、相反數(shù)、絕對值的概念，有理數(shù)的運算性質(zhì)、運算律，都適用于實數(shù)，學(xué)生對實數(shù)的這些特征，就可以直接類比有理數(shù)去應(yīng)用了，降低了抽象的難度。如：化簡||，由“一個負(fù)實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)”，我們可以得到：||=﹣（）=。

五、解決實際問題，在建模中提升抽象素養(yǎng)

數(shù)學(xué)建模，是用數(shù)學(xué)語言表達現(xiàn)實問題、用數(shù)學(xué)科學(xué)方法構(gòu)建模型解決現(xiàn)實問題，數(shù)學(xué)與現(xiàn)實是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的兩個出發(fā)點，數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建往往需要多個知識模塊，學(xué)生需要把實際生活的要素，恰當(dāng)?shù)爻橄蟪蓴?shù)學(xué)的知識，理清各個要素間的關(guān)系，在整個認(rèn)知系統(tǒng)中找準(zhǔn)相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型去解決問題。建模的過程，促進對數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵、外延進行更深刻的認(rèn)識，及對數(shù)學(xué)知識間邏輯關(guān)系的再認(rèn)識，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的最高層次，也是最行之有效的方法。在本節(jié)課的最后，我們解決了這樣一個實際問題：

天氣晴朗時，一個人能看到大海的最遠(yuǎn)距離s（單位：km）的平方等于眼睛離海平面的高度（單位：m）的16.88倍，如果一個人站在岸邊觀察，當(dāng)眼睛離海平面的高度是1.5米時，能看到多遠(yuǎn)（精確到0.01km）？如果登上一個觀望臺，當(dāng)眼睛離海平面的高度是35m時，能看到多遠(yuǎn)（精確到0.01km）？

學(xué)生理清實際問題中的量，設(shè)一個人能看到大海的最遠(yuǎn)距離為skm，眼睛離海平面的高度為hm，根據(jù)各量的關(guān)系，建立起數(shù)學(xué)方程模型：s2=16.88h，借助科學(xué)計算器進行開方運算，可得到實際問題的答案：當(dāng)眼睛離海平面的高度是1.5米時，能看到大約5.03km遠(yuǎn);當(dāng)眼睛離海平面的高度是35m時，能看到大約24.31km遠(yuǎn).眼睛離海平面的高度只增加了三十多米，而能看到大海的最遠(yuǎn)距離卻增加了二十多千米，學(xué)生明白了“登高望遠(yuǎn)”的數(shù)學(xué)含義，在解決這個有趣的實際問題的過程中，學(xué)生能夠?qū)⑿轮c舊知恰當(dāng)?shù)臒o縫銜接，鞏固并優(yōu)化了認(rèn)知結(jié)構(gòu)，還體會到知識的價值和自我的價值的增長。

數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)所必不可少的，也是立足于未來社會生活所不可或缺的，而它的培養(yǎng)不是一撮而就的，需要教師改變教育理念，改進教學(xué)模式，捕捉課堂上的每一次培養(yǎng)抽象素養(yǎng)的契機，精心設(shè)計教學(xué)，激發(fā)興趣，發(fā)揮學(xué)生主觀能動性，以適應(yīng)學(xué)生心理特點和數(shù)學(xué)學(xué)科特點的教學(xué)方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

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