基于自適應(yīng)摩擦補(bǔ)償?shù)膹?fù)合非線性軌跡跟蹤控制*

石 暕, 程國揚(yáng)

(福州大學(xué) 電氣工程與自動化學(xué)院，福建 福州 350108)

0 引 言

摩擦現(xiàn)象存在于伺服機(jī)構(gòu)中產(chǎn)生相對運(yùn)動(或趨勢)的2個接觸表面之間。摩擦力(或力矩)不但與運(yùn)動速度和位移有關(guān)，也與外部作用力有關(guān)，體現(xiàn)出復(fù)雜的非線性動態(tài)特性[1]。特別是，在運(yùn)動速度趨于零時，摩擦阻力的幅值反而增大，這種Stribeck效應(yīng)使摩擦在低速區(qū)域的影響更顯著，原因是伺服系統(tǒng)在接近目標(biāo)位置時，運(yùn)動速度和控制力度通常均要減小，而這時由于摩擦阻力變大，將導(dǎo)致系統(tǒng)減速乃至停頓下來，從而出現(xiàn)了穩(wěn)態(tài)誤差。若控制系統(tǒng)直接采用積分器來補(bǔ)償摩擦阻力引起的靜態(tài)誤差，則積分器必須積累到足以克服最大靜摩擦力的數(shù)值，系統(tǒng)才能由靜止轉(zhuǎn)為運(yùn)動，而系統(tǒng)開始運(yùn)動之后，摩擦阻力急劇變小(Stribeck效應(yīng))，但這時控制力度并未明顯變化，將導(dǎo)致系統(tǒng)加速度增大而出現(xiàn)過沖。這就是伺服系統(tǒng)產(chǎn)生“爬行”現(xiàn)象和極限環(huán)振蕩的根本原因。摩擦現(xiàn)象嚴(yán)重影響了伺服系統(tǒng)的性能，甚至威脅到系統(tǒng)的穩(wěn)定性[2-3]，這在實(shí)際應(yīng)用中意味著生產(chǎn)效率的降低和能源的浪費(fèi)。因此，在設(shè)計(jì)伺服系統(tǒng)時，必須考慮采用適當(dāng)?shù)目刂婆c補(bǔ)償方法來消除摩擦對系統(tǒng)的影響，才能實(shí)現(xiàn)精確伺服控制[4]。

由于摩擦的非線性、復(fù)雜性和可變性，摩擦補(bǔ)償?shù)难芯客嬖谠S多困難，現(xiàn)有研究結(jié)果并沒有達(dá)到讓人滿意的效果，目前還沒有一種方法能完全消除摩擦帶來的不利影響。研究人員主要從基于模型和不基于模型2方面進(jìn)行摩擦補(bǔ)償?shù)难芯俊ＤΣ恋臋C(jī)理較為復(fù)雜，難以建模，且摩擦力的大小可能取決于速度、位置、狀態(tài)等，因此摩擦模型并不完全準(zhǔn)確，又考慮到摩擦具有時變性，可以利用自適應(yīng)技術(shù)對補(bǔ)償器參數(shù)進(jìn)行在線調(diào)整，從而改善摩擦補(bǔ)償?shù)男Ч鸞5-6]。目前，國內(nèi)外已經(jīng)提出了各種各樣的自適應(yīng)技術(shù)，并應(yīng)用于摩擦補(bǔ)償中。文獻(xiàn)[7]采用雙觀測器估計(jì)LuGre摩擦模型中的部分不確定性參數(shù)，提出非線性自適應(yīng)反步摩擦補(bǔ)償控制方法，提高了系統(tǒng)的控制性能。文獻(xiàn)[8]提出基于自適應(yīng)區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)對摩擦力進(jìn)行補(bǔ)償建模，并在該補(bǔ)償方法的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)一個魯棒自適應(yīng)控制器，提高了系統(tǒng)的跟蹤性能。文獻(xiàn)[9]提出了一種用于伺服機(jī)構(gòu)速度控制的自適應(yīng)擾動補(bǔ)償方案，采用基于LuGre摩擦模型設(shè)計(jì)的摩擦補(bǔ)償器，有效減小了反向運(yùn)動時經(jīng)常出現(xiàn)的大輪廓誤差。文獻(xiàn)[10]提出了一種帶有摩擦觀測器的自適應(yīng)非線性控制方案，用于電動液壓執(zhí)行器的位置控制。文獻(xiàn)[11]針對數(shù)控機(jī)床提出了一種對摩擦參數(shù)進(jìn)行在線學(xué)習(xí)的方法，并生成摩擦補(bǔ)償脈沖幅值函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了摩擦的自適應(yīng)補(bǔ)償。

本文針對電機(jī)伺服系統(tǒng)，采用文獻(xiàn)[12-13]中的控制方法，設(shè)計(jì)了一個帶有擾動補(bǔ)償?shù)膹?fù)合非線性軌跡跟蹤控制器，使伺服系統(tǒng)能對給定的目標(biāo)軌跡信號進(jìn)行跟蹤。在軌跡跟蹤控制器的基礎(chǔ)上，加入了自適應(yīng)摩擦補(bǔ)償環(huán)節(jié)，進(jìn)一步消除摩擦帶來的不良影響，提升系統(tǒng)的控制性能，并通過對不同類型目標(biāo)軌跡信號進(jìn)行軌跡跟蹤試驗(yàn)的方式驗(yàn)證該方法的有效性和自適應(yīng)性。

1 復(fù)合非線性軌跡跟蹤控制

本節(jié)為電機(jī)伺服系統(tǒng)設(shè)計(jì)一個軌跡跟蹤控制律，實(shí)現(xiàn)對給定的目標(biāo)軌跡的準(zhǔn)確跟蹤。系統(tǒng)的簡化模型(假定摩擦力矩已預(yù)先補(bǔ)償)如下[13]：

(1)

定義軌跡跟蹤的誤差信號為：

(2)

式中：ey(t)為位置誤差；ev(t)為速度誤差；r(t)為有界的目標(biāo)軌跡信號，其一階和二階導(dǎo)數(shù)均有界。

則可得：

(3)

且有

(4)

則誤差系統(tǒng)的動態(tài)方程為

(5)

針對系統(tǒng)式(5)，采用文獻(xiàn)[13]的方法，可設(shè)計(jì)一個復(fù)合非線性控制律，如下：

(6)

式中：F為狀態(tài)反饋增益矩陣，使(A+BF)具有穩(wěn)定的特征值，且系統(tǒng)的輸出響應(yīng)較快；Fn為非線性反饋增益矩陣。

F、Fn分別如下所示：

(7)

(8)

式中：ζ和ω為閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的阻尼和自然頻率。

ρ[ey(t)]為非線性增益函數(shù)，可選為

(9)

式中：α、β均為非負(fù)的可調(diào)參數(shù)。

(10)

系數(shù)矩陣如下：

(11)

式中：ζ0、ω0分別為觀測器極點(diǎn)的阻尼系數(shù)與自然頻率。

將觀測器估計(jì)的值代入式(6)，可得：

(12)

再與式(4)相結(jié)合，得到軌跡跟蹤控制律為：

(13)

式中：fd為擾動補(bǔ)償增益系數(shù)，是一個可調(diào)參數(shù)，取值范圍為[0,1]，其值越大，則補(bǔ)償效果越好，但過大的fd會使系統(tǒng)對噪聲干擾較敏感。

2 自適應(yīng)摩擦補(bǔ)償

復(fù)合非線性軌跡跟蹤控制律雖然可以在一定程度上進(jìn)行擾動補(bǔ)償，提高伺服系統(tǒng)的性能，但是系統(tǒng)中存在的時變非線性摩擦力矩會對系統(tǒng)的性能產(chǎn)生較大的影響。為了消除摩擦帶來的不利影響，需要對摩擦進(jìn)行補(bǔ)償，本文使用的是自適應(yīng)摩擦補(bǔ)償方法。

本文中，摩擦力矩建模為一個時變摩擦系數(shù)乘以一個分段函數(shù)，如下[14]：

(14)

式中：kc(t)為時變摩擦參數(shù)，且kc(t)≥0；σ0(·)為一個分段函數(shù)。

σ0(·)定義如下：

(15)

雖然該摩擦模型不涉及復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算，但它包含了零速度下靜摩擦力矩的主要特性，且摩擦模型中的kc(t)為時變的，因此，該模型可以表示普遍的摩擦行為。

總控制輸入u(t)由軌跡跟蹤控制的控制量uc(t)和摩擦補(bǔ)償動作uf(t)組成，即

u(t)=uc(t)+uf(t)

(16)

其中uf(t)定義為

(17)

(18)

改進(jìn)的符號函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)sgn函數(shù)不同的地方是，能確保一個足夠的補(bǔ)償動作。若使用標(biāo)準(zhǔn)的sgn函數(shù)，則當(dāng)速度為零(即系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài))時，即使當(dāng)前的位置不是期望的位置，摩擦補(bǔ)償量也將變?yōu)榱?。因此，需要使用改進(jìn)的sgn函數(shù)使系統(tǒng)的補(bǔ)償能力進(jìn)一步提高，在系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)時，也能進(jìn)行適當(dāng)?shù)难a(bǔ)償。只有在系統(tǒng)靜止，且uc(t)為零的時候，才停止補(bǔ)償。

(19)

式中：ey(t)為位置誤差;ev(t)為速度誤差;δ、λ為用戶定義的非負(fù)調(diào)優(yōu)參數(shù)。

因此，系統(tǒng)的總控制輸入為

(20)

3 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證軌跡跟蹤控制的效果以及自適應(yīng)摩擦補(bǔ)償?shù)男阅?，進(jìn)行仿真試驗(yàn)。

在仿真中，設(shè)置采樣周期Ts=0.1 ms，二階系統(tǒng)模型參數(shù)為,a=-5，b=260；軌跡跟蹤控制算法的參數(shù)設(shè)置為,ζ=0.3，ω=30 rad/s，ζ0=0.8，ω0=100 rad/s，α=10，β=0.8，umax=12 V；摩擦補(bǔ)償器的參數(shù)為,λ=25，δ=40，ε=0.001。

系統(tǒng)中的摩擦模型為

(21)

kc(t)為時變的摩擦參數(shù)：

(22)

在仿真中，給定一個正弦輸入信號r(t)=sin(πt+π/6)，系統(tǒng)中存在摩擦環(huán)節(jié)和一個值為-0.5 V的定常擾動(負(fù)載)，通過仿真觀察軌跡跟蹤控制算法和自適應(yīng)摩擦補(bǔ)償?shù)膽?yīng)用效果。圖1～圖3分別為無補(bǔ)償(fd=0且不補(bǔ)償摩擦)、 僅擾動補(bǔ)償(fd=1且不補(bǔ)償摩擦)、擾動補(bǔ)償加摩擦補(bǔ)償3種情況的仿真結(jié)果。

從圖1可以看出，如果既不補(bǔ)償擾動也不加入摩擦補(bǔ)償，系統(tǒng)的輸出信號與目標(biāo)信號之間將出現(xiàn)明顯的偏差，并且存在平頂現(xiàn)象，擾動和摩擦的存在導(dǎo)致了跟蹤誤差，而平頂現(xiàn)象主要是由摩擦導(dǎo)致的。從圖1中還可以觀察到，第2 s之后的跟蹤效果明顯不如第2 s之前的跟蹤效果，這是因?yàn)槟Σ亮Φ拇笮“l(fā)生了變化，隨著摩擦力的增大，跟蹤誤差也越來越大，軌跡跟蹤性能顯著下降。

圖1 無補(bǔ)償時的正弦波跟蹤仿真結(jié)果

從圖2可以看出，擾動補(bǔ)償?shù)募尤?，減小了跟蹤誤差，但平頂現(xiàn)象仍然存在，這說明了擾動補(bǔ)償雖能對系統(tǒng)中的定常擾動起到良好的抑制作用，但對系統(tǒng)中存在的時變摩擦并不能有效地加以抑制，因此，有必要引入額外的措施對摩擦環(huán)節(jié)進(jìn)行補(bǔ)償。

圖2 僅擾動補(bǔ)償?shù)恼也ǜ櫡抡娼Y(jié)果

從圖3中可以看出，在擾動補(bǔ)償?shù)幕A(chǔ)上，再加入自適應(yīng)摩擦補(bǔ)償，系統(tǒng)的跟蹤性能得到了很大的提升，消除了平頂現(xiàn)象，說明該補(bǔ)償器有很好的補(bǔ)償效果，能有效地消除摩擦環(huán)節(jié)帶來的不良影響。

圖3 擾動補(bǔ)償加摩擦補(bǔ)償?shù)恼也ǜ櫡抡娼Y(jié)果

為了驗(yàn)證摩擦補(bǔ)償方法的適應(yīng)性，現(xiàn)將目標(biāo)軌跡信號改為超越函數(shù)信號r(t)=2·esin πt來測試軌跡跟蹤效果，仿真結(jié)果如圖4～圖6所示。從圖4可以看出，無補(bǔ)償時，系統(tǒng)的跟蹤性能較差，存在較大的跟蹤誤差和平頂現(xiàn)象。從圖5可以看出，加入擾動補(bǔ)償后，顯著地減小了跟蹤誤差，但依然存在平頂現(xiàn)象。從圖6可以看出，加入摩擦補(bǔ)償后，原先存在的跟蹤誤差和平頂現(xiàn)象均被消除，系統(tǒng)能很好地對超越函數(shù)信號進(jìn)行軌跡跟蹤，摩擦補(bǔ)償起到了令人滿意的效果。仿真結(jié)果證明了該控制方法在不同的目標(biāo)軌跡下也能實(shí)現(xiàn)摩擦補(bǔ)償，具有自適應(yīng)性。

圖4 無補(bǔ)償時的仿真結(jié)果(超越函數(shù))

圖5 僅擾動補(bǔ)償?shù)姆抡娼Y(jié)果(超越函數(shù))

圖6 擾動補(bǔ)償加摩擦補(bǔ)償?shù)姆抡娼Y(jié)果(超越函數(shù))

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

利用TMS320F28335DSP對復(fù)合非線性軌跡跟蹤控制和自適應(yīng)摩擦補(bǔ)償算法進(jìn)行編程，并通過一個直流電機(jī)伺服系統(tǒng)進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證，如圖7所示。

圖7 直流電機(jī)伺服系統(tǒng)

為了驗(yàn)證控制律中擾動補(bǔ)償與自適應(yīng)摩擦補(bǔ)償?shù)男Ч瑢⒎謩e進(jìn)行無補(bǔ)償、有擾動補(bǔ)償、擾動補(bǔ)償加自適應(yīng)摩擦補(bǔ)償3種方案下的軌跡跟蹤試驗(yàn)。試驗(yàn)中給定的輸入信號為r(t)=πsin 2πt，并在程序中設(shè)置了一個方波信號，當(dāng)方波處于高電平時，控制電機(jī)對目標(biāo)軌跡進(jìn)行跟蹤，當(dāng)處于低電平時，電機(jī)位置回零。既能看到完整的正弦波軌跡，又能看到軌跡跟蹤的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)過程。試驗(yàn)的采樣周期設(shè)為Ts=2 ms，模型參數(shù)和控制律的參數(shù)設(shè)置均與仿真中相同，自適應(yīng)補(bǔ)償器的參數(shù)設(shè)置為，λ=60，δ=4，ε=0.001。各方案的試驗(yàn)結(jié)果分別如圖8～圖10所示。

由圖8可以看出，當(dāng)控制律中無補(bǔ)償(fd=0)時，系統(tǒng)的跟蹤性能較差，存在較大的穩(wěn)態(tài)誤差和明顯的平頂現(xiàn)象。由圖9可以看出，加入擾動補(bǔ)償(取fd=0.95，在控制精度和噪聲敏感度之間折中)，能明顯地改善系統(tǒng)的跟蹤性能，但仍然會存在平頂現(xiàn)象。由圖10可以看到，在擾動補(bǔ)償?shù)幕A(chǔ)上加入自適應(yīng)摩擦補(bǔ)償之后，幾乎完全消除了平頂現(xiàn)象，并且能夠很好地進(jìn)行軌跡跟蹤，降低了穩(wěn)態(tài)誤差，提高了跟蹤精度，證明了所提摩擦補(bǔ)償方法的有效性。

圖8 無補(bǔ)償時的正弦波跟蹤試驗(yàn)結(jié)果

圖9 僅擾動補(bǔ)償?shù)恼也ǜ櫾囼?yàn)結(jié)果

圖10 擾動補(bǔ)償加摩擦補(bǔ)償?shù)恼也ǜ櫾囼?yàn)結(jié)果

為了進(jìn)一步驗(yàn)證該摩擦補(bǔ)償方法的自適應(yīng)性，將輸入信號改為超越函數(shù)信號r(t)=esin(4πt)，再進(jìn)行軌跡跟蹤試驗(yàn)。試驗(yàn)結(jié)果如圖11、圖12所示。從試驗(yàn)結(jié)果可以看出，加入摩擦補(bǔ)償后，消除了原來存在的平頂現(xiàn)象和穩(wěn)態(tài)誤差，使系統(tǒng)能對超越函數(shù)信號很好地進(jìn)行軌跡跟蹤，說明該控制方案對不同類型的目標(biāo)軌跡也能達(dá)到很好的跟蹤效果，體現(xiàn)了摩擦補(bǔ)償方法的適應(yīng)性。

圖11 僅擾動補(bǔ)償(摩擦不補(bǔ)償)時的超越函數(shù)信號跟蹤的試驗(yàn)結(jié)果

圖12 擾動補(bǔ)償加摩擦補(bǔ)償?shù)某胶瘮?shù)信號跟蹤的試驗(yàn)結(jié)果

5 結(jié) 語

針對電機(jī)伺服系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了一個帶有擾動補(bǔ)償?shù)膹?fù)合非線性軌跡跟蹤控制器，又考慮到系統(tǒng)中存在的非線性摩擦環(huán)節(jié)將導(dǎo)致系統(tǒng)性能的下降，使其不能很好地對目標(biāo)軌跡進(jìn)行跟蹤。因此，在軌跡跟蹤控制的基礎(chǔ)上，加入一個自適應(yīng)摩擦補(bǔ)償環(huán)節(jié)，以消除摩擦力對系統(tǒng)產(chǎn)生的不良影響。為了觀察摩擦補(bǔ)償?shù)男Ч?，在無補(bǔ)償、僅擾動補(bǔ)償、擾動補(bǔ)償加自適應(yīng)摩擦補(bǔ)償3種情況下，進(jìn)行了軌跡跟蹤的仿真與試驗(yàn)。仿真與試驗(yàn)結(jié)果一致表明，復(fù)合非線性軌跡跟蹤控制中的擾動補(bǔ)償能有效改善系統(tǒng)的跟蹤性能，但并不能很好地消除峰頂和谷底的平頂現(xiàn)象。而自適應(yīng)摩擦補(bǔ)償?shù)募尤?，則消除了平頂現(xiàn)象，明顯降低了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，幾乎完全消除了摩擦力帶來的不良影響，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)對目標(biāo)軌跡的準(zhǔn)確跟蹤，體現(xiàn)了該自適應(yīng)摩擦補(bǔ)償方法的有效性，并且通過給定一個不同類型的目標(biāo)軌跡信號再次進(jìn)行軌跡跟蹤試驗(yàn)，證明了該方法對不同類型的目標(biāo)信號也能很好地進(jìn)行軌跡跟蹤，具有期望的適應(yīng)性。