基于空間分劃的非線性規(guī)劃模型的研究

姜文鑫，時間，郝震濤，韓佳艷，陳浩，梁立瓊

（1.太原科技大學機械工程學院，山西 太原 030024；2.太原科技大學環(huán)境與安全學院，山西 太原 030024）

0 引言

澳大利亞的2019-2020火災季節(jié)在每個州都造成了毀滅性的野火，對新南威爾士州和維多利亞州東部的影響最大，野火發(fā)生在嚴重干旱和持續(xù)的熱浪中，氣候變化加劇了這種情況的發(fā)生。SSA無人機可幫助監(jiān)視不斷變化的情況，使緊急行動中心（EOC）能夠最佳地指導現(xiàn)役機組人員，以實現(xiàn)最佳效果和最大安全性[1]。

1 問題分析

首先在平衡能力和安全性與經(jīng)濟的條件下考慮觀察和通信任務的地形和需求，同時還要將火災的大小和頻率作為模型要素，求解SSA無人機和無線電中繼器無人機的最佳數(shù)量和組合。其次利用模型適應未來十年內(nèi)極端火災事件不斷變化的可能性，并在無人機系統(tǒng)的成本保持不變的情況下，預測設(shè)備成本的增加量。

以優(yōu)化用于在不同地形上發(fā)生不同大小火災的VHF/UHF無線電中繼無人機的位置。最后在考慮地形、極端火災和人員花費等多方面因素下，從而對無人機的花費進行合理的預算。

2 模型的建立和求解

首先通過系統(tǒng)聚類算法，可以通過SPSS軟件求得不同聚類情況下的聚合系數(shù)，進而由肘部法求得最優(yōu)聚類數(shù)目，然后根據(jù)火點的經(jīng)緯度將聚類好的五個區(qū)域分別進行空間劃分，已知SSA無人機的飛行范圍是30km，懸停中繼器無人機的射程是20km，將五個區(qū)域的地理范圍大小求得后，據(jù)此可以根據(jù)方格中是否有著火點來分配SSA無人機和中繼器無人機的最大分配數(shù)量，將含有著火點的方格進行計數(shù)即可知道無人機分配的上限。計數(shù)圖如下：

然后給SSA無人機和懸停中繼器無人機設(shè)定一個數(shù)量上限，由圖1計數(shù)可得紅色方塊的數(shù)量為134塊，由圖2可計數(shù)得到藍色方塊的量為100塊由此可得在不考慮替換無人機的情況下：

圖1 SSA無人機上限計數(shù)圖

圖2 中繼器無人機的上限計數(shù)圖

依據(jù)新南威爾士州和維多利亞州城市和大山的分布得出多組隨經(jīng)度和緯度變化的VHF / UHF頻段運行的手持式雙向無線電范圍的數(shù)據(jù)，進而擬合出一個信號范圍隨經(jīng)度和緯度變化的函數(shù)表達式，已知沿海地區(qū)由于有高海拔的山脈和城市集中，VHF / UHF頻段運行的手持式雙向無線電范圍受農(nóng)村地區(qū)或“建筑物”的距離和物理地形城市地區(qū)的“地形”的影響，所以信號范圍較小，內(nèi)陸平原較多且相對開闊，所以信號范圍較大，通過擬合來求解相關(guān)數(shù)據(jù)，如表1所示：

表1 擬合效果相關(guān)數(shù)據(jù)表

由擬合效果表可以看出R正方形為0.9126，擬合的效果很好，可以定義M為中繼器無人機到雙向無線電的距離與無人機到可觀測范圍的距離差，由此可寫出M的表達式為：

看出可以通過M的正負情況來反映該區(qū)域某個著火點是否被中繼器無人機的信號范圍所覆蓋，如果被覆蓋，則該著火點返回的值為1，反之為0。

無人機的能力可以通過該區(qū)域著火點的覆蓋比例來反映，以該區(qū)域已被覆蓋的著火點數(shù)占該區(qū)域的總著火點數(shù)目的比例來反映無人機的能力，購買無人機的花費為SSA無人機的數(shù)量與中繼器無人機的數(shù)量的總數(shù)量乘以每臺無人機的花費就是該費用。

層次分析法是一種定性分析和定量計算相結(jié)合的方法，需要構(gòu)造因素間的比較矩陣，用幾何平均法求得其經(jīng)濟、安全性、能力的權(quán)重，則經(jīng)濟、安全性、能力之間的權(quán)重為0.1941，0.3632，0.4427。首先要保證SSA無人機和中繼器無人機的數(shù)量在它們對應的范圍之內(nèi)，其次要保證無人機的經(jīng)度和緯度在區(qū)域?qū)慕?jīng)緯度范圍內(nèi)，設(shè)定保證無人機的能力在90%以上，最后要保證每個著火點都有中繼器無人機覆蓋，同時要保證每個無人機都有著火點被它覆蓋，所以SSA無人機和中繼器無人機的未加替換無人機的數(shù)量為：

利用Lingo求解非線性約束方程解的A=124，B=94，定義該區(qū)域的火災頻率為該區(qū)域的著火點的火災亮度總和占全部著火點亮度總和的比例為該區(qū)域的火災大小。

不同區(qū)域分配的替換無人機的所占總替換無人機的比例，要確定最高無人機使用數(shù)量與非線性方程所求得A和B進行比較即可求得SSA無人機和中繼器無人機所需添加的替換無人機數(shù)量。SSA無人機還需在添加28臺，中繼器無人機不需再添加就可以滿足要求。所以最終求得SSA無人機的最佳數(shù)量為152臺，中繼器無人機的最佳數(shù)量為94臺[2]。然后需要對未來十年澳洲的山火情況進行模擬，之后篩選出在新南威爾士州和維多利亞州的火點數(shù)，利用非線性規(guī)劃模型進行求解，引入鄰居元胞著火概率，對于經(jīng)典森林火災元胞自動機，即中間元胞狀態(tài)為“火”，則下一時刻上、下、左、右四個鄰居著火的概率均為1。在此基礎(chǔ)上，為了使火以各向同性的方式向外蔓延，將斜對角的四個元胞也作為鄰居，并規(guī)定其著火概率為在考慮風的作用時，只需要將順風方向上的鄰居著火概率適當加大，而逆風方向上的鄰居著火概率適當減小，澳大利亞植被NDVI值一般在0.1到0.7之間，數(shù)值越高表明植物冠層密度越大，裸地和積雪的NDVI數(shù)值接近于零，而水域的數(shù)值為負值。利用MATLAB編程出符合澳洲的山火的元胞自動機模型，模擬未來十年內(nèi)發(fā)生極端火災事件不斷變化的情況模擬后的著火點的結(jié)果如圖2所示：

圖2 模擬未來十年山火結(jié)果

由MATLAB運行結(jié)果提取出其中著火點的經(jīng)度和緯度，據(jù)此來給SSA無人機和懸停中繼器無人機設(shè)定一個數(shù)量上限，由此可得紅色方塊的數(shù)量為167塊、藍色方塊的量為121塊，所以可得到SSA無人機和中繼器無人機的最多數(shù)量限制。利用Lingo軟件進行求解可得A=162，B=110。所以預測需要添加的SSA無人機的數(shù)量為162-152=10臺，預測需要添加的中繼器無人機的數(shù)量為：110-94=16臺，預測添加無人機成本增加為：260000澳元。通過查閱得到兩個州的不同經(jīng)緯度的海拔數(shù)據(jù)，利用matlab進行三維擬合，將其帶入目標函數(shù)中，通過Lingo求解即可得到優(yōu)化后的VHF/UHF無線電中繼無人機的位置[3]。

3 結(jié)語

本模型以澳大利亞的森林火災為背景，解決了兩種無人機的數(shù)量和組合以及經(jīng)濟預算，還考慮了極端情況下以及不同地形下對無人機需求的變化，本模型具有著良好的數(shù)據(jù)可視性，操作簡單性，適用于不同地理災害下對于設(shè)備經(jīng)費的預算以及設(shè)備購買的數(shù)量和組合的估計[4-5]。