隨機(jī)環(huán)境中加權(quán)分枝過程的Lp-收斂

彭點(diǎn)江 ,陳曄

(1.長沙理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖南 長沙,410114;2.湖南文理學(xué)院 數(shù)理學(xué)院,湖南 常德,415000)

Rosler[1]于1993 年首次引入了加權(quán)分枝過程,并給出其規(guī)范化過程(Wn)的幾乎必然收斂條件。2002年Rosler[2]等人證明了(Wn)L1-收斂。2004 年Kuhlbusch[3]首次在加權(quán)分枝過程[1]中引入隨機(jī)環(huán)境,證明了其規(guī)范化過程(Wn)收斂到一非負(fù)隨機(jī)變量W,并給出W非退化的等價條件。2017 年,Yingqiu Li[4]等人給出極限隨機(jī)變量的矩和調(diào)和矩的存在條件。2014 年,Chunmao Huang[5]等人在研究了隨機(jī)環(huán)境中上臨界分枝過程,給出其規(guī)范化過程(Wn)Lp-收斂性。

本文主要將文獻(xiàn)[5]中(Wn)Lp-收斂的2 個充要條件和1 個充分條件,推廣到隨機(jī)環(huán)境加權(quán)分枝過程模型,并證明當(dāng)環(huán)境是獨(dú)立同分布時,4 個條件等價。這一推廣對研究隨機(jī)環(huán)中帶遷入加權(quán)分枝過程的規(guī)范化過程Lp-收斂及其Lp-收斂速率具有重要參考價值。

1 模型描述

為在隨機(jī)環(huán)境分枝模型中研究Lp-收斂,先給出如下Lp-收斂的定義。

定義1 對于p∈ (0,∞),令Lp=L p(Ω,Rd),若隨機(jī)過程(Xn)及其極限X取值于Lp,有

則稱過程(Xn)以Lp-(或以p階矩)收斂到X。

且在Pξ(對每一個ξ)下和P下是一個非負(fù)鞅(也稱為隨機(jī)環(huán)境下的Mandelbrot 鞅[6]),因此由鞅收斂性[7]及Fatou 引理,極限

幾乎必然存在(a.s.)且EW≤ 1。

2 主要結(jié)果及其證明

先給出了(Wn)在Pξ下Lp-收斂的判斷依據(jù)。

證明條件“(2)?(3)?(4)”是顯然的(在許多分枝模型的收斂定理中有相似證明,這里不再贅述)。

先證明條件(4)能推出條件(2),注意對于n≥ 1,由式(5)有