一類Kirchhoff 型弱耦合系統(tǒng)的多重解的存在性

魏其萍 ,王躍 ,熊宗洪, ,王守財

(1.貴州民族大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院,貴州 貴陽,550025;2.貴州大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,貴州 貴陽,550025)

Kirchhoff 在1876 年首版的文獻(xiàn)[1]提出模型為不同的物理常量。由于該問題具有豐富的物理背景,因此與該模型相關(guān)的各種問題的理論研究在各個領(lǐng)域受到了廣大關(guān)注。對于更一般的時定情形為

此時a和b都是常數(shù),Ω是NR 中滿足某些假設(shè)條件的子集。在無界域上,文獻(xiàn)[2]考慮了方程(1)含有負(fù)模量的臨界指數(shù)情形,利用山路引理和艾克蘭變分原理獲得解的存在性;文獻(xiàn)[3]利用代數(shù)分析方式獲得無窮多解;在第二邊值的情形下,文獻(xiàn)[4]利用噴泉定理得到了方程(1)無窮多徑向解的存在性;文獻(xiàn)[5]推廣方程(1)到

其中Δp表示p-Laplace 算子,作者通過變分方法和臨界點(diǎn)理論獲得了方程(2)非平凡解的存在性;文獻(xiàn)[6]通過變分方法得到方程(2)在不同條件下分別存在1 個和3 個在W1,p(Ω)上的弱解;文獻(xiàn)[7]通過代數(shù)分析方法給出無窮多解;當(dāng)g(x,u)=f(x,u)-qu時,文獻(xiàn)[8]通過G-環(huán)繞定理和變分方法以及集中緊性原理等方法和分析工具分別得到了方程(1)解的存在性和多重性;對于b為零的情形,文獻(xiàn)[9]推廣到分?jǐn)?shù)階問題解的對稱性與單調(diào)性,文獻(xiàn)[10]則利用半群理論得到退化拋物方程的全局吸引子。更多的研究,還包含了第一邊值條件和不受邊界約束等情形[11-13],而在文獻(xiàn)[14]中敘述了大量關(guān)于基爾霍夫問題的理論和結(jié)果。由于在文獻(xiàn)[15]中提到了如下p(x)-Kirchhoff 型的非局部橢圓系統(tǒng)

1 主要結(jié)果

假定Ω?RN(N≥ 1)是具有光滑邊界?Ω的區(qū)域,討論耦合系統(tǒng)

其中a,b,λ＞0,待求函數(shù)(h,u)∈C2(Ω)×C2(Ω)為系統(tǒng)(3)的解。本文創(chuàng)新點(diǎn)在于使用更為簡單的代數(shù)分析方法解決耦合系統(tǒng)解的存在性以及多重性問題,主要結(jié)果如下。

注：容易得出,當(dāng)h(x) ≡ 0時系統(tǒng)(3)存在無窮多解。

2 結(jié)果的證明

系統(tǒng)(3)中第2 個方程的解可以作為1 個擾動函數(shù)作用到第1 個方程中而形成弱耦合系統(tǒng),為此須先解決系統(tǒng)(3)中第2 個方程解的存在性問題,即考慮以下方程

的解并將其代入

從而求取方程(5)的解,進(jìn)而獲得系統(tǒng)(3)解存在的情形。

在文獻(xiàn)[16]中闡述了如下二階橢圓特征值問題

3 結(jié)論

本文用本征值問題以及代數(shù)分析的方法獲得耦合系統(tǒng)(3)的無窮多經(jīng)典解,所得到的解主要用來描述系統(tǒng)振動在橫向上形成的共振現(xiàn)象,它可以視為Kirchhoff 型問題的混合作用模型,兩種流體彈性材料混合在一起時,如果一種彈性材料受力橫向振動用u=u(x)表示,另一種彈性材料與之附著受力橫向振動用h=h(x)表示,則解描述了具有相同振動頻率時另一種振動對一種振動的促進(jìn)或者牽制。