基于卡爾曼濾波和MRAC的卷繞張力控制

蔣林軍， 張 華

(1.浙江理工大學(xué) 機(jī)械與自動控制學(xué)院， 浙江 杭州 310018；2.浙江理工大學(xué) 浙江省現(xiàn)代紡織裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 浙江 杭州 310018)

紗線卷繞系統(tǒng)生產(chǎn)過程中，不僅要讓紗線保持一定輸送速度，還要保持紗線張力穩(wěn)定。因?yàn)閺埩Σ▌訒苯佑绊懲布喌某尚唾|(zhì)量[1]。如果張力過小，會影響筒紗的成形；如果紗線張力過大，紗線和機(jī)件摩擦力增大，導(dǎo)致毛羽增多和紗線斷頭率增大，因此張力保持穩(wěn)定具有重要意義[2]。國內(nèi)外學(xué)者對張力控制都提出了各種智能控制方法。鄭忠杰等針對放卷張力隨卷徑改變提出了一種基于對象參數(shù)觀測器的張力自適應(yīng)控制方法[3]。符燕輝等采用模糊PID控制方法實(shí)現(xiàn)紗線恒定張力輸送[4]。李琳等使用基于變速趨近律的滑模變結(jié)構(gòu)控策略優(yōu)化張力控制，具有較強(qiáng)的魯棒性[5]。Chu等研究了存在模型不確定性和外部干擾的多電機(jī)分布式卷繞系統(tǒng)的滑?？刂撇呗訹6]。Wang等提出了前饋補(bǔ)償和內(nèi)?？刂芇ID整定方法，將紗線張力保持在微邊界范圍內(nèi)，提高了紡織工業(yè)產(chǎn)品質(zhì)量[7]。

紗線卷繞系統(tǒng)中存在的測量噪聲和非線性控制干擾，傳統(tǒng)的PID控制效果并不理想。為改善張力控制系統(tǒng)，課題組提出了一種基于卡爾曼濾波的模型參考自適應(yīng)張力控制方法，實(shí)現(xiàn)了紗線張力的穩(wěn)定控制，具有控制簡單、抗干擾性強(qiáng)等特點(diǎn)。

1 紗線卷繞系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

紗線卷繞張力控制系統(tǒng)如圖1所示。系統(tǒng)由放卷機(jī)構(gòu)(放卷電機(jī)，放卷紗筒)、收卷機(jī)構(gòu)(收卷電機(jī)，收卷紗筒)和張力調(diào)節(jié)系統(tǒng)(張力傳感器，控制器)組成。收卷是紗線卷繞成型的最終環(huán)節(jié)，其張力穩(wěn)定控制尤為重要。

圖1 紗線卷繞張力控制系統(tǒng)Figure 1 Yarn winding tension control system

紗線卷繞設(shè)備運(yùn)行中，收卷紗筒的半徑不斷增大，要保持系統(tǒng)運(yùn)行線速度不變，收卷電機(jī)的轉(zhuǎn)速需要逐漸減小，由轉(zhuǎn)矩平衡原理可得：

(1)

式中：J1，J2為放卷紗筒和收卷紗筒的等效轉(zhuǎn)動慣量，kg·m2；ω1，ω2為放卷和收卷的電機(jī)角速度，rad/s；F1,F2為紗線所受張力，N；b1,b2為粘性摩擦因數(shù)，N·m·s；M1,M2為放卷電機(jī)和收卷電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩,N·m。

收卷機(jī)構(gòu)的等效轉(zhuǎn)動慣量J2(t)由收卷電機(jī)轉(zhuǎn)動慣量J20和收卷紗筒轉(zhuǎn)動慣量Ju組成，即：

J2(t)=J20+Ju。

(2)

其中：

(3)

式中：m為紗線質(zhì)量，kg；ρ為紗線密度，g/cm3；R2為紗筒實(shí)時收卷半徑，m；R20為紗筒初始半徑，m；b為紗筒寬度，m。

由式(2)可知，J2(t)是時間變量。同時，由角速度和線速度關(guān)系ω2=v2/R2可得

(4)

由式(1)～(3)得

(5)

根據(jù)式(5)可得，M2和R2是影響紗線卷繞系統(tǒng)張力變化的主要因素。收卷紗筒半徑會隨時間逐漸增大，可以通過傳感器測量或者通過相關(guān)數(shù)學(xué)模型計(jì)算得到[8]。課題組采用絕對式編碼器測量紗筒半徑，絕對式編碼器安裝在收卷紗筒筒芯同一水平線上，隨著紗筒卷繞半徑增大，與絕對式編碼器相連的機(jī)械結(jié)構(gòu)偏離初始位置，帶動編碼器轉(zhuǎn)動相同的角度θ，示意圖如圖2所示。則實(shí)時半徑R可以表示為

圖2 紗筒半徑實(shí)時測量示意圖Figure 2 Schematic diagram of real-time measurement of bobbin radius

R=Lsin (θ+θ0)。

(6)

式中：θ0為起始角度，(°)；L為中心距，m。

通過設(shè)定系統(tǒng)目標(biāo)卷繞張力和運(yùn)行時的目標(biāo)線速度，獲取收卷紗筒實(shí)時半徑、收卷電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)速，在控制器中建立收卷系統(tǒng)張力數(shù)學(xué)模型，求解收卷電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩，實(shí)現(xiàn)紗線收卷時張力保持穩(wěn)定狀態(tài)。

2 基于卡爾曼濾波的MRAC張力控制策略

可調(diào)增益的模型參考自適應(yīng)控制(Lyapunov-MRAC)原理，如圖3所示[9]。在同一參考輸入yr(t)下，比較被控對象的輸出yp和參考模型的輸出ym，得到輸出偏差e(t)。根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論調(diào)整可調(diào)增益kc(t)，或生成一個輔助輸入疊加到被控對象輸入信號上，使偏差e(t)趨近于零。

圖3 可調(diào)增益Lyapunov-MRAC原理圖Figure 3 Schematic diagram of Lyapunov-MRAC with adjustable gain

設(shè)控制對象模型和參考模型的傳遞函數(shù)Gp(s),Gm(s)分別為:

(7)

(8)

式中：kp為被控對象增益，根據(jù)系統(tǒng)特性假設(shè)為常數(shù)；km，ai，bi(i=0，1，…，n-1 )為系統(tǒng)已知系數(shù)。

控制器增益kc(t)是用來補(bǔ)償對象參數(shù)kp的，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論設(shè)計(jì)kc(t)的調(diào)節(jié)規(guī)律，使得參考模型輸出趨向于系統(tǒng)實(shí)際輸出，即輸出誤差e(t)趨向于零。

(9)

式中：k=km-kc(t)kp。

由Lyapunov穩(wěn)定性得自適應(yīng)律：

(10)

式中：γ為自適應(yīng)增益，γ>0。

由圖3可得，系統(tǒng)的輸入控制律為

u(t)=kc(t)yr(t)。

紗線卷繞裝備運(yùn)行中伴隨著各種噪聲和干擾，文中采用卡爾曼濾波器進(jìn)行濾波處理。對于離散線性系統(tǒng)[10]：

(11)

式中：系統(tǒng)k時刻的狀態(tài)為x(k)，輸出為yv(k)；A，B為紗線卷繞系統(tǒng)參數(shù)；C為張力傳感器系數(shù)；w(k)為過程噪聲信號；v(k)為測量噪聲信號；w(k)和v(k)均為高斯白噪聲。

圖4為卡爾曼濾波原理。

圖4 卡爾曼濾波原理圖Figure 4 Kalman filter principle diagram

離散卡爾曼濾波遞推算法：

卡爾曼增益為

(12)

先驗(yàn)誤差協(xié)方差矩陣為

P(k)=AP(k-1)AT+BQBT。

(13)

更新誤差協(xié)方差矩陣為

P(k)=[In-Mn(k)C]P(k)。

(14)

濾波方程為

x(k)=Ax(k-1)+Mn(k)[yv(k)-CAx(k-1)]。

(15)

濾波輸出為

ye(k)=Cx(k)。

(16)

誤差的協(xié)方差為

ecov(k)=CP(k)CT。

(17)

圖5為基于卡爾曼濾波的Lyapunov-MRAC控制器。在普通Lyapunov-MRAC控制器的基礎(chǔ)上，將卡爾曼濾波器附加在被控對象輸出值之后，可以很好地去除系統(tǒng)中的高頻噪聲和非線性干擾，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性。

圖5 基于卡爾曼濾波的MRAC系統(tǒng)Figure 5 MRAC system based on Kalman filter

3 仿真分析

在紗線收卷機(jī)構(gòu)前安裝張力傳感器，測量的張力值即為系統(tǒng)輸出，系統(tǒng)輸入為收卷電機(jī)的轉(zhuǎn)矩[11]，通過MATLAB系統(tǒng)辨識工具箱得到被控對象的數(shù)學(xué)模型：

(18)

設(shè)仿真采樣時間為1 ms，采用Z變換將系統(tǒng)離散化，離散狀態(tài)方程描述為：

(19)

其中：

仿真中控制干擾信號w(k)和測量噪聲信號v(k)假設(shè)為白噪聲信號，幅值設(shè)為為0.01。輸入信號為1.0、頻率為1.5 Hz的正弦信號?？柭鼮V波器仿真參數(shù)取Q=1,R=1。仿真時間為3 s，原始信號及帶有噪聲的原始信號、原始信號及濾波后的信號分別如圖6～7所示。仿真結(jié)果表明卡爾曼濾波算法對測量噪聲和控制干擾具有良好的濾波效果。

圖6 原始信號和帶噪聲信號Figure 6 Original signal & noisy signal

圖7 原始信號及濾波后信號Figure 7 Original signal & filtered signal

MRAC控制器中參考模型采用

(20)

式中：取km=1,a0=1,a1=1。

仿真中設(shè)自適應(yīng)增益γ=0.1，跟蹤輸入信號為方波，幅值r分別設(shè)為0.6,1.2,1.8,3.0,4.8和6.0，結(jié)果如圖8所示。

圖8 基于卡爾曼濾波和Lyapunov-MRAC的紗線收卷張力控制仿真Figure 8 Simulation of yarn winding tension control based on Kalman filter and Lyapunov-MRAC

由圖8可得，在不同輸入信號作用下，系統(tǒng)閉環(huán)輸出都能快速跟隨參考模型輸出。該控制方法具有快速的動態(tài)響應(yīng)、較強(qiáng)的自適應(yīng)性和全局穩(wěn)定性，在伴隨著高頻噪聲和非線性干擾的紗線卷繞張力控制中表現(xiàn)出良好的性能。

4 結(jié)論

課題組研究了紗線卷繞系統(tǒng)張力控制方法，根據(jù)轉(zhuǎn)矩平衡原理建立了紗線張力的數(shù)學(xué)模型，考慮到系統(tǒng)中存在測量噪聲和控制干擾，設(shè)計(jì)了基于卡爾曼濾波的MRAC控制器，將參考模型作為卡爾曼濾波的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行離散遞推，并將濾波器的結(jié)果和自適應(yīng)率結(jié)合，調(diào)整被控對象的參數(shù)，實(shí)現(xiàn)紗線收卷張力的穩(wěn)定控制。MATLAB仿真結(jié)果表明：基于卡爾曼濾波的MRAC控制器具有穩(wěn)定的跟蹤性能，上升時間快，超調(diào)小，無明顯震蕩，具有一定的應(yīng)用前景。