三重積分的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)

單彩虹 顧娟 許飛

摘要 由實(shí)際案例引入，抽象總結(jié)出三重積分的概念，激發(fā)學(xué)員學(xué)習(xí)熱情，體會(huì)數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐，培養(yǎng)學(xué)員理論聯(lián)系實(shí)際的觀點(diǎn)和方法，掌握“先一后二”和“先二后一”兩種在直角坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分的方法。

關(guān)鍵詞 三重積分 先一后二法 先二后一法

三重積分是多元函數(shù)積分學(xué)的核心內(nèi)容之一，是將定積分、二重積分的概念推廣到空間立體上的三元函數(shù)的積分。三重積分的概念與計(jì)算在其他學(xué)科中有重要的應(yīng)用，也是后續(xù)計(jì)算曲面積分的重要工具之一。深刻分析概念的物理背景，進(jìn)一步加深對(duì)元素法思想和本質(zhì)的認(rèn)識(shí);引導(dǎo)學(xué)員自己總結(jié)和體會(huì)定積分、重積分之間的區(qū)別和聯(lián)系，加深對(duì)積分思想和本質(zhì)的感悟。

教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)思想

（一）教學(xué)目標(biāo)與要求

理解三重積分概念;掌握在直角坐標(biāo)系下將三重積分按積分域的特點(diǎn)化為累次積分，能正確定出上下限。培養(yǎng)抽象思維、辯證思維、邏輯推理、計(jì)算能力和數(shù)學(xué)建模應(yīng)用能力，為指揮決策提供科學(xué)方法;理解具體與抽象、特殊與一般、精確與近似的辯證關(guān)系，養(yǎng)成科學(xué)理性的思維習(xí)慣和實(shí)事求是、認(rèn)真細(xì)致的工作作風(fēng).

（二）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

三重積分的概念、直角坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分的方法。積分區(qū)域的表示、三重積分化為三次積分的方法。

學(xué)情分析

學(xué)員已理解和掌握經(jīng)學(xué)習(xí)了定積分、二重積分等知識(shí)，有理論基礎(chǔ)，從二重積分推廣到三重積分易于理解。掌握了二重積分的計(jì)算方法，具有一定的基本運(yùn)算技能、邏輯推理能力。

思維培養(yǎng)

本次教學(xué)從實(shí)際例子出發(fā)，引入概念，從定積分、二重積分的概念和性質(zhì)，應(yīng)用與新知識(shí)進(jìn)行類比，采取歸納思維和發(fā)散思維的方式，培養(yǎng)學(xué)員的創(chuàng)新思維。

（五）教學(xué)方法和手段

采用課堂講授、例題分析、課堂討論的方法實(shí)施教學(xué)。教學(xué)以課堂講授為主，注重啟發(fā)式與研討式教學(xué)。課堂講授從密度不均勻的物體的質(zhì)量入手，引入三重積分的定義;通過例子，說明三重積分“先一后二”和“先二后一”的定限方法;采用練習(xí)的方式，引導(dǎo)學(xué)員加深對(duì)定限的理解;采用課堂討論的方式，加深學(xué)員對(duì)定限方法的掌握。

二、教學(xué)實(shí)施

引例 如果一個(gè)物體分布在空間的閉區(qū)域 內(nèi)，物體質(zhì)量的體密度為 ，如何求該物體的總質(zhì)量 ？

為了檢測(cè)三重積分計(jì)算的掌握情況，讓學(xué)員按照例題的方法獨(dú)立完成相應(yīng)的練習(xí)，檢驗(yàn)效果，體會(huì)“如何用”。

通過典型例題分析，總結(jié)“先一后二”和“先二后一”適用的范圍和技巧，掌握這些方法定限的過程。通過學(xué)習(xí)三重積分的計(jì)算方法，培養(yǎng)學(xué)員具體問題具體分析的思維和能力，樹立學(xué)員事物普遍聯(lián)系、用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待問題的觀念。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第七版）.北京：高等教育出版社，2014.