概率統(tǒng)計法測算非飽和土滲透系數(shù)的理論研究

朱益瑤 翟 錢

(東南大學(xué)混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 南京 211189)(東南大學(xué)土木工程學(xué)院, 南京211189)

在巖土工程領(lǐng)域，充分了解土體的水力特性對工程的設(shè)計、施工及安全監(jiān)測都有著至關(guān)重要的指導(dǎo)性意義.工程中遇到的土大多位于地下水位之上，處于非飽和狀態(tài).在工程實(shí)際中，石油在地下環(huán)境中的存儲、垃圾填埋場廢液和廢氣的運(yùn)移分析、高放廢物地下處置填充材料的設(shè)計等都需要對非飽和土的水滲流特性進(jìn)行考慮[1].因此，滲透系數(shù)的確定對非飽和土性質(zhì)研究十分重要.非飽和土中，孔隙水的分布及其含量變化對土體的工程性質(zhì)有著顯著影響[2]，土體中水力路徑的微觀變化會引起非飽和土宏觀上力學(xué)和水力行為的不同響應(yīng)，當(dāng)土體飽和度隨環(huán)境不斷變化時，其滲透系數(shù)及強(qiáng)度也會發(fā)生相應(yīng)的改變[3].本文將在不同飽和度條件下，討論土體內(nèi)部的孔隙水分布及其有效滲流面積，并以此為基礎(chǔ)對土體的相對滲透系數(shù)進(jìn)行測算.

滲透系數(shù)一般可通過2種方法獲得，即直接的實(shí)驗(yàn)測量法和間接的估算法.非飽和土滲透系數(shù)試驗(yàn)測量難度較大，即使是在近飽和狀態(tài)，由微小的吸力變化而引起的滲透系數(shù)改變也可達(dá)1～3 個數(shù)量級[4]，且測量過程較為費(fèi)時，費(fèi)用也很高昂.與直接測量的方法相比，間接計算的方法具有便捷性和經(jīng)濟(jì)性的顯著優(yōu)勢.在非飽和土力學(xué)理論發(fā)展完善的過程中，研究人員提出了許多非飽和土滲透系數(shù)的間接計算模型，Mualem[5]將這些間接計算方法分為3類：經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?、宏觀模型和統(tǒng)計模型.其中統(tǒng)計模型被認(rèn)為是最嚴(yán)謹(jǐn)和精確的計算方法[6].因此，利用數(shù)學(xué)模型估算非飽和土滲透系數(shù)的方法在工程實(shí)踐中得到越來越多的應(yīng)用.在Childs等[7]提出的滲流物理模型基礎(chǔ)上，F(xiàn)redlund等[8]利用土水特征曲線(SWCC)提出了非飽和土滲透系數(shù)的積分形式計算式；孫大松等[9]通過建立土中孔隙的分形模型，推導(dǎo)得到了滲透系數(shù)表達(dá)式；蔡國慶等[10]基于Mualem 模型，在不同初始孔隙比條件下對相對滲透系數(shù)進(jìn)行了預(yù)測；Zhai等[11]提出用概率統(tǒng)計的方法計算土體截面上的有效滲流面積,再通過面積比來測算非飽和土的相對滲透系數(shù)；邵龍?zhí)兜萚12]利用孔隙水的微分平衡方程，推導(dǎo)得到了滲透系數(shù)計算式.

在眾多非飽和土滲透系數(shù)的計算模型中，F(xiàn)redlund等[13]推薦采用Zhai等[11]模型計算非飽和土的滲透系數(shù)，認(rèn)為其不僅可直接簡便地用EXCEL進(jìn)行計算，而且對具有雙峰SWCC的材料也能進(jìn)行很好的測算.但Zhai等[11]在介紹基本原理后直接給出公式，未對公式進(jìn)行嚴(yán)格推導(dǎo).基于此，本文將對此公式的理論進(jìn)行詳盡闡述，并用概率統(tǒng)計的方法對公式進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo).最后，采用數(shù)學(xué)推導(dǎo)的方式，將該公式與Fredlund等[8]提出的積分形式滲透系數(shù)計算式進(jìn)行對比，從本質(zhì)上分析其一致性.

1 理論推導(dǎo)

1.1 土水特征曲線與孔徑分布函數(shù)關(guān)系

SWCC主要反映了土體含水量隨基質(zhì)吸力變化的關(guān)系.通過SWCC的曲線形態(tài)分析及特征參數(shù)(進(jìn)氣值、殘余吸力、殘余含水量等)計算，可對非飽和土的工程性質(zhì)進(jìn)行推算和估計[14].一維滲流分析中，常采用一系列平行于滲流方向的毛細(xì)管來代替土體單元截面上不規(guī)則的孔隙[15].由毛細(xì)定律可知，ψi=2T/ri,即任一吸力都對應(yīng)于一個毛細(xì)孔隙半徑.式中,ri為毛細(xì)管半徑，mm；ψi為基質(zhì)吸力，kPa；T為一個與環(huán)境有關(guān)的常數(shù).因此，可將土體截面上任意形狀的孔隙簡化為對應(yīng)于不同吸力的一系列圓孔(見圖1).

圖1 土截面不規(guī)則孔隙的簡化

在土體排水過程中，基質(zhì)吸力ψ不斷增大.當(dāng)基質(zhì)吸力由ψi增大至ψi+Δψ時，ri至ri-Δr孔隙中的水被排出，且排出水體積與該范圍孔隙體積相等.故當(dāng)基質(zhì)吸力為ψi時，僅小于等于ri的孔隙中含水.令孔隙總體積為單位1，飽和度Si在數(shù)值上與r≤ri的孔隙密度之和相等，因此可得到SWCC與孔徑分布函數(shù)(PSDF)的關(guān)系如圖2所示，其中f(ψ)為毛細(xì)定律下基質(zhì)吸力ψ所對應(yīng)的孔徑密度.

圖2 SWCC與PSDF關(guān)系示意圖

1.2 特征孔隙半徑及孔隙密度確定

利用SWCC計算非飽和土滲透系數(shù)時，等效孔隙半徑及孔隙密度的確定取決于該曲線的劃分方式.統(tǒng)計模型中，區(qū)間劃分的方式主要有2種：①含水量區(qū)間等間距劃分[16]；②基質(zhì)吸力區(qū)間等間距劃分[11].第1種方法中，基質(zhì)吸力的變化量Δψ及其對應(yīng)的孔隙半徑變化區(qū)間Δr，需要由SWCC上含水量變化值Δθ進(jìn)行推算.由SWCC的曲線形態(tài)分析可知，含水量在基質(zhì)吸力較低和較高范圍的變化率都較小.因此，較低和較高吸力范圍的分區(qū)數(shù)量較少，數(shù)據(jù)點(diǎn)主要集中于中間區(qū)域.該方法僅適用于單峰SWCC，對雙峰SWCC的應(yīng)用存在局限性.基質(zhì)吸力區(qū)間等分的方法能有效避免這些缺陷.將SWCC在基質(zhì)吸力范圍等分，當(dāng)分組足夠多 (≥40組) 時，采用區(qū)間內(nèi)任一半徑作為該組的特征孔隙半徑，對滲透系數(shù)總體計算精度的影響可忽略不計[17].本文將采用等分基質(zhì)吸力區(qū)間的方法，對土體中的孔隙進(jìn)行分組，并選擇每一區(qū)間的左端點(diǎn)作為該組孔隙的特征孔隙半徑r，利用其所對應(yīng)的孔隙密度f(r)，進(jìn)行非飽和土相對滲透系數(shù)的推算.

1.3 飽和狀態(tài)下的有效滲流面積

不考慮土體體積變化時，飽和土的滲透系數(shù)恒定不變.在飽和土橫截面上，僅存在飽和孔隙和土顆粒2種單元，僅當(dāng)孔隙與孔隙連接時，水流才能順利通過土體截面.對于同一土樣，各截面的PSDF相同，即每一截面上不同大小的孔隙所占比例相同且隨機(jī)分布.因此，可僅對某一截面進(jìn)行討論，由該截面的有效滲流面積代替土體整體的有效滲流面積.由孔隙率n的定義可知，其代表土體孔隙體積與總體積之比.對于某一截面，孔隙率n可理解為該面上的孔隙面積與總面積之比.在SWCC上，沿著基質(zhì)吸力增大的方向，截面上的孔隙可按其特征半徑，由大到小分為N組(r1>r2>r3>…>rN).對于孔徑在區(qū)間[ri0,ri1)內(nèi)的孔隙，可取ri0作為特征孔隙半徑.各組孔隙密度與飽和度關(guān)系如圖3所示，每一組孔隙所對應(yīng)的孔隙密度為

圖3 孔隙密度與飽和度關(guān)系

Si0-Si1=ΔSii=1,2,…,N

對于土體上的相鄰兩截面1、2，可將土顆粒視為上述統(tǒng)計模型中的黑球，孔隙視為白球.在每一面上，選中孔隙的概率等于孔隙面積與截面總面積之比n.同時，該選中孔隙半徑為ri的概率等于孔隙ri的孔隙密度f(ri)，故在該飽和土截面上選中孔隙ri的概率Pi=nf(ri).已知在截面1和截面2上，各孔隙具有相同的密度，且隨機(jī)連接，則截面1上的孔隙ri與截面2上的孔隙rj相連的概率Pi,j=n2f(rj)f(ri).

A(ri,rj)=

(1)

計算由孔隙ri決定的有效滲流面積時，ri可能位于截面1，也可能位于截面2.以概率為權(quán)重，對2個截面上不同孔隙組合的滲流面積加權(quán)累和，計算可得

(2)

取各區(qū)間左端對應(yīng)的孔隙半徑為特征孔隙半徑，即

S(ψ1)=1

由此可得

(3)

式中，S(ψ1)、S(ψi)、S(ψi+1)分別為SWCC上基質(zhì)吸力ψ1、ψi和ψi+1對應(yīng)的飽和度.

將所有由不同孔隙決定的有效滲流面積相加，可得到飽和狀態(tài)下土體的有效滲流面積As,即

(4)

1.4 非飽和狀態(tài)下有效滲流面積

(5)

式中,i,j=1,2,…,N.

計算由ri確定的有效滲流面積時，ri可能位于截面1，也可能位于截面2，將所有可能的情況相加，得

A(ri)=[2f(rk)f(ri)+2f(rk+1)f(ri)+

2f(rk+2)f(ri)+…+2f(ri-1)f(ri)+f(ri)f(ri)]·

(6)

由SWCC與PSDF關(guān)系分析可得

因此，當(dāng)基質(zhì)吸力大小為ψk時，由ri決定的有效滲流面積之和為

A(ri)=[[S(ψk)-S(ψi+1)]2-

(7)

考慮所有的組合情況，將橫截面上所有有效滲流面積相加，可得到基質(zhì)吸力大小為ψk時非飽和土有效滲流面積之和Ak,即

(8)

1.5 相對滲透系數(shù)

在環(huán)境穩(wěn)定且流體本身性質(zhì)不變的條件下，液體和氣體在土體中的滲流規(guī)律主要取決于土體中的孔隙幾何分布情況[18].由泊肅葉定律可知，在單位面積上，流體在單位時間內(nèi)的流量與流體的黏滯系數(shù)及流管兩端壓強(qiáng)差成正比.為避免由環(huán)境參數(shù)及液體本身性質(zhì)參數(shù)在滲透系數(shù)的計算上引起計算誤差，常采用相對滲透系數(shù)的方法，在已知飽和滲透系數(shù)的情況下，對非飽和土不同吸力條件下的滲透系數(shù)進(jìn)行測算.Zhai等[15]通過對泊肅葉定律的分析發(fā)現(xiàn)，不飽和土的相對滲透系數(shù)與滲透面積成正比，據(jù)此提出了閥門模型，如圖4所示，其中，s1∶s2∶s3=k1∶k2∶k3.

圖4 閥門模型

基于閥門模型，可得到非飽和土的相對滲透系數(shù)計算式如下：

(9)

式中,kr(ψk)為基質(zhì)吸力等于ψk時非飽和土的相對滲透系數(shù).

利用毛細(xì)定律r=2T/ψ,式(9)可簡化為僅與基質(zhì)吸力ψ相關(guān)的函數(shù)，即

(10)

2 本文公式與已有公式對比

Fredlund等[8]基于Childs等[7]的滲流物理模型，提出了積分形式的非飽和土滲透系數(shù)計算式，即

(11)

式中，ψr為殘余吸力，kPa；ψAEV為進(jìn)氣值,kPa；θ(ψ) 為基質(zhì)吸力等于ψ時土的體積含水量.由定積分定義可知，積分式可化為自變量區(qū)間上的和式極限,式(11)的分子與分母可分別用累和的形式表達(dá)，即

(12)

由一階泰勒展開可知

f(x+Δx)≈f(x)+f(x)′Δx

則θ′(ψi)(ψi+1-ψi)=θ(ψi+1)-θ(ψi) ，代入式(12)可得

(13)

對定積分上下限進(jìn)行足夠多的區(qū)間劃分后，可忽略由泰勒展開省去的高階導(dǎo)部分誤差，則Fredlund等[8]提出的滲透系數(shù)計算式可轉(zhuǎn)化為累和的形式：

kr(ψk)=

(14)

已知含水量θw與飽和度S之間存在關(guān)系θw=mS.在不考慮土體體積變形的情況下，m為常數(shù)，S(ψAEV)=1.故式(14)可進(jìn)一步表達(dá)成飽和度形式：

kr(ψk)=

(15)

對于本文推導(dǎo)得到的式(10)，可利用平方差公式將其進(jìn)一步改寫為

(16)

當(dāng)基質(zhì)吸力被劃分為足夠多的區(qū)間時，S(ψi+1)與S(ψi)近似相等，此時有

2S(ψk)-S(ψi+1)-S(ψi)≈2[S(ψk)-S(ψi)]

2-S(ψi+1)-S(ψi)≈2[1-S(ψi)]

將其代入式(16)得

(17)

此時，式(17)與式(15)是相等的.因此，不考慮土體體積變形，并將SWCC劃分得足夠細(xì)時，本文公式與Fredlund等[8]提出的式(11)在本質(zhì)上是一致的.在Fredlund等[8]的公式中，需要采用體積含水量對基質(zhì)吸力求一階導(dǎo)數(shù)，然后再進(jìn)行積分運(yùn)算，計算過程復(fù)雜，很大程度上依賴于計算機(jī)程序.相比之下，本文公式僅需EXCEL表格，便可對滲透系數(shù)進(jìn)行較高精度的測算.

3 結(jié)論

1) 本文基于毛細(xì)定律，詳細(xì)闡述了SWCC與PSDF的關(guān)系.采用概率統(tǒng)計的方法，從理論上詳細(xì)推導(dǎo)得到了非飽和土相對滲透系數(shù)的計算式，將其作為Zhai等公式的拓展與補(bǔ)充.

2) 通過理論推導(dǎo)，證明當(dāng)吸力范圍被劃分得足夠細(xì)且忽略土體體積變化時，本文公式與Fredlund等提出的非飽和土滲透系數(shù)計算式在本質(zhì)上是一致的，且本文公式更適合在工程實(shí)踐中普及應(yīng)用.

3) 土體體積發(fā)生變化時，孔隙之間連接的概率將發(fā)生變化，其有效滲流面積的計算結(jié)果也會隨之改變.因此，在考慮土體體積變化時，需對采用概率統(tǒng)計法計算的非飽和土滲透系數(shù)作進(jìn)一步的修正和討論.