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    加強審題 培養(yǎng)素養(yǎng)

    2021-10-21 00:27:36許銀伙
    數(shù)理化解題研究 2021年28期
    關(guān)鍵詞:球心中點本題

    許銀伙

    (福建省泉州外國語學(xué)校 362000)

    審題是解題的基礎(chǔ),是解題的必備工作.審得清楚,才不會犯不必要的失誤或誤入歧途.審得深入,才能把握問題的實質(zhì),挖掘隱含的條件;才能理清條件與結(jié)論的關(guān)系,準(zhǔn)確找到解決的切入點.審得認(rèn)真,才能記憶深刻,形成以后解題的借鑒,形成能力.加強審題教學(xué),有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣,提升思維品質(zhì),形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng),提高解題能力.下面介紹幾種常用的審題方法與方向.

    一、往概念上審

    圖1 圖2

    分析要解決球的問題,肯定是解決球心和球的半徑.尋找球心,必須考慮球的概念:球心到球面上任一點的距離都等于球的半徑.本題由已知條件易得ΔABP是以AB為斜邊的直角三角形,AB中點D是ΔABP的外心,則過D作平面PAB的垂線l1,可得l1上任一點到P、A、B的距離相等,同理過正ΔABC的外心作平面ABC的垂線l2,可得l2上任一點到A、B、C的距離相等,則三棱錐P-ABC的外接球的球心是l1與l2的交點.

    (2)已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上,PA=PB=PC,ΔABC是邊長為2的等邊三角形,E,F(xiàn)分別是PA,AB的中點,∠CEF=90°,則球O的體積是____.

    分析本題三棱錐P-ABC的外接球球心O不容易利用已知條件直接找出,可以考慮利用長方體和正方體的特性:它們的對角線的中點到各個頂多距離相等,對角線就是其外接球的直徑.通過補形解決.

    圖3

    評注1. 概念是解決數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ),外接球問題首先要想到的是球心到球面上點的距離都等于半徑.然后再考慮是直接找到球心,求出半徑;還是補形求出半徑,還是通過建立空間直角坐標(biāo)系,算出球心坐標(biāo),求出半徑.

    二、往基本模型審

    分析題中已知條件含有平面平行,線線垂直,線面角和線線角的大小,然后求異面直線角的大小.如果單純作平面和直線圖形,不容易理清線面和線線的位置關(guān)系,但如果利用已知條件,以熟悉的多面體或旋轉(zhuǎn)體模型為載體幫助分析,問題將變得直觀明了.

    分析題中A1P為定值,點A1到平面AB1D1距離也是定值,所以點P的軌跡是圓,可以通過構(gòu)造圓錐的模型進(jìn)行探索.

    圖5

    圖6

    點評培養(yǎng)空間想像能力是立體幾何的主要任務(wù),把抽象知識或已知條件轉(zhuǎn)變成具體圖形,本身就是對空間想像能力的培養(yǎng)和體現(xiàn),因此新課程強調(diào)運用幾何體的模型理解、掌握和運用知識.教材中體現(xiàn)比較多的是多面體模型,平時的解題還需關(guān)注和重視旋轉(zhuǎn)體模型的應(yīng)用,提高想像和化歸能力.

    三、往基本公式審

    分析本題含有兩個未知數(shù)a和b,且含有a的絕對值整式、分式的和,如果對a分類討論,顯然很麻煩,因此考慮利用已知條件,把求解式子變形,運用基本不等式求最小值.

    點評運用基本不等式和絕對值的三角形不等式求最值,或者證明不等式,是高考常見的命題模式.也是考查的熱點知識.考試時不一定會那么直接,需要認(rèn)真審題,大膽設(shè)想,準(zhǔn)確變形,才能達(dá)到目的.

    四、往基本原理審

    分析看到含兩個參數(shù)的最小值問題,很容易想到運用基本不等式解決,但本題并不能夠構(gòu)造出符合一正二定三相等的條件,所以需要另辟蹊徑,回歸到最基本的原理,利用條件,化兩個變量為單個變量去探尋.

    點評關(guān)于含有兩個正數(shù)的代數(shù)式最值問題,通常會想到運用基本不等式,但有些問題不容易變形出符合求最值的條件,或者不能運用這種方法,這時的解決策略需要回歸到基本原理,利用條件化兩變量為單變量,然后考慮運用函數(shù)性質(zhì)解決.本題的解決還需要觀察分析能力,運算與變形能力,換元思想,函數(shù)思想.

    五、往條件和結(jié)論的特點審

    (1)求橢圓C的方程;

    點評本題是常見題型,條件中含有向量共線的表達(dá)形式,一定要認(rèn)真審題,恰當(dāng)引入?yún)?shù)和選擇直線方程的形式,以便在方程聯(lián)立消元時能使向量共線以簡潔的坐標(biāo)關(guān)系結(jié)合韋達(dá)定理.因為直線方程上橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)是一一對應(yīng)關(guān)系,選橫坐標(biāo)和選縱坐標(biāo)體現(xiàn)是等價的.

    求解本題的易錯點:①漏掉直線MN的斜率不存在的情況;②忽視直線與圓錐曲線相交,判別式大于零.

    六、往基本法則審

    例題6 (2019泉州市單科質(zhì)檢理科20)已知ΔABC中,B(-1,0),C(1,0),AB=4,P在AB上,且∠BAC=∠PCA.

    (1)求點P的軌跡E的方程;

    分析本題第二問牽涉直線與圓錐曲線交點和斜率的差的比值,運算量肯定不小,如何減少運算量,除了考慮幾何性質(zhì)的挖掘利用外,還需要考慮利用條件和結(jié)論的特點,巧設(shè)參數(shù),快速找到未知數(shù)量的關(guān)系.題中點C和點Q的橫坐標(biāo)相同,因此引進(jìn)直線l的斜率作為參數(shù),還是引進(jìn)斜率的倒數(shù)作為參數(shù),將對問題求解的復(fù)雜度有所影響.

    七、往幾何性質(zhì)審

    例7 已知圓x2+y2=4上一點A(2,0),B(1,1)為圓內(nèi)一點,P,Q是圓上的動點.

    (1)求線段AP中點的軌跡方程;

    (2)若∠PBQ=90°,求線段PQ中點的軌跡方程.

    分析關(guān)于圓的弦中點的軌跡問題,如果按純代數(shù)運算的方法,運算量不??;第(2)小問因為牽涉到三個變量,不僅運算量很大,而且會很復(fù)雜,不容易求出,但如果運用圓的幾何性質(zhì),問題的解決可能會變得簡單很多.

    圖7

    解答(1)設(shè)線段AP中點為M,由已知得:OM⊥AM,所以點M在以O(shè)A為直徑的圓上,則線段AP中點的軌跡方程是(x-1)2+y2=1.

    點評數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想和方法,它對問題的解決有極大的幫助,有時是捷徑,有時是必需.幾何性質(zhì)的應(yīng)用,是數(shù)形結(jié)合后解決幾何問題的捷徑.遇到有關(guān)圓的問題,一定要關(guān)注圓的相關(guān)性質(zhì):垂徑分弦定理,弧所對的圓周角是圓心角的一半,直徑所對的圓周角是直角等.

    八、往題型特點審

    例8 (2019年12月百校聯(lián)考文科12)已知函數(shù)f(x)=4|x+2|+cosπx,則f(4x-7)≤3的解集為( ).

    分析本題函數(shù)式中含有絕對值和超越函數(shù),運用分段去絕對號不容易求出正確結(jié)論.作為選擇題,依據(jù)題型特點,可以運用選擇題的結(jié)果驗證和排除,從而得到正確選擇.在驗證排查時還要注意衡量,選哪些端點值會比較快.

    點評不同的題型有不同的考查功能,相應(yīng)地有不同的解題方法和解題策略.對一些高難度的選擇題,應(yīng)考慮它的題型特性,運用排除法、特殊值法、數(shù)形結(jié)合等非常規(guī)方法,避免小題大做,培養(yǎng)思維的靈活性和發(fā)散性,優(yōu)化思維品質(zhì).

    “萬丈高樓平地起”.學(xué)生思維品質(zhì)的優(yōu)化與能力提升,核心素養(yǎng)的培養(yǎng),不可一蹴而就,也不可拔苗助長,只能遵循教育規(guī)律,腳踏實地,循序漸進(jìn),充分挖掘每個知識點,每個例習(xí)題的培養(yǎng)價值.加強審題教學(xué),是達(dá)成教育目標(biāo)的有效途徑.

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