四種策略解三角形最值問題

陳映森 劉延霞

(1.云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 650500；2.贛南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 341603)

一、題根研究

(1)求角B的大小;

(2)解法1基本不等式法，將所求用“邊”表示

解法2三角函數(shù)的有界性法，將所求用“角”表示

點(diǎn)評在解三角形的題型時(shí)常常要用到“化角為邊”或者“化邊為角”，此題通過三角形的正弦定理將邊關(guān)系用角的關(guān)系表示，再通過三角函數(shù)的有界性去求解最值問題.

解法3幾何法，利用動(dòng)點(diǎn)的幾何性質(zhì)求解

圖1

點(diǎn)評通過數(shù)形結(jié)合和幾何性質(zhì)，將解三角形面積的最值問題，等價(jià)為圓上動(dòng)點(diǎn)問題，進(jìn)而得出結(jié)論.

解法4三角換元法，利用換元代替求解

點(diǎn)評此方法類似三角函數(shù)的有界性，但是思想與解法二有所不同，最終運(yùn)算方法相同，解法2應(yīng)用的正弦定理，而解法4是通過構(gòu)造參數(shù)方程的方法求解，主要思想是換元.

二、變式訓(xùn)練

點(diǎn)評通過余弦定理，利用(a+c)2-2ac=a2+c2，構(gòu)造出a+c的式子，利用基本不等式再將ac轉(zhuǎn)化為只含有a+c的關(guān)系式子.

點(diǎn)評此題的解題思想是將邊的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為只含有角的關(guān)系式，利用三角函數(shù)的有界性即可.

解法3 延長BC到點(diǎn)A′，使得A′B=AB=c連接A′A,轉(zhuǎn)化成求求A′C的最大值.

圖2

點(diǎn)評幾何法是歸到動(dòng)點(diǎn)問題，無論面積還是周長，都可以通過數(shù)形結(jié)合的方法構(gòu)造出運(yùn)動(dòng)軌跡，從而進(jìn)行求解.

三、解后反思

總之，解三角形最值問題的這四種策略，有相似之處，也有它們不同的地方.面對變化多端的題型，我們需要從不同的角度挖掘，理解題目的本質(zhì)，考查的知識(shí)點(diǎn)是哪些，思考這個(gè)問題后再選擇合適的方法去解題.相對來說，學(xué)生可以根據(jù)自身對知識(shí)點(diǎn)的掌握程度合理地去選擇方法.