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    隨機(jī)變量均值與方差的題型解析

    2021-10-21 00:25:26周語(yǔ)華
    數(shù)理化解題研究 2021年28期
    關(guān)鍵詞:二項(xiàng)分布區(qū)分度商店

    周語(yǔ)華

    (江蘇省鹽城市亭湖高級(jí)中學(xué) 224051)

    一、考點(diǎn)梳理

    二、隨機(jī)變量均值與方差的題型解析

    1.根據(jù)離散型隨機(jī)變量的均值與方差的解題

    過(guò)程為:第一,先確定離散型隨機(jī)變量的可能值.第二,求可能值對(duì)應(yīng)的概率,第三,書(shū)寫(xiě)分布列,檢查正誤.第四,求均值與方差.

    例1商店以5元的單價(jià)進(jìn)購(gòu)一批蛋糕,然后以10元一塊的價(jià)格出售,若當(dāng)天賣(mài)不完,則扔掉以垃圾處理.

    (1)第一天商店進(jìn)購(gòu)16塊蛋糕,求那天的利潤(rùn)y(元)與當(dāng)天所需量n(塊)的函數(shù)解析式.

    (2)商店對(duì)近100天的蛋糕日需求量進(jìn)行整理,做出表1,以此需求量的頻率當(dāng)做各需求量的概率.若商店一天購(gòu)進(jìn)16塊蛋糕,X為當(dāng)天的利潤(rùn),求X的分布、數(shù)學(xué)期望與方差;若商店一天進(jìn)購(gòu)16或者17塊蛋糕,你認(rèn)為進(jìn)多少塊更合理?

    表1

    分析這兩個(gè)問(wèn)題一個(gè)是根據(jù)日需求量求函數(shù)關(guān)系式,一個(gè)是根據(jù)當(dāng)天需求量與利潤(rùn)列出分布,求數(shù)學(xué)期望與方差,然后做出比較.

    (2)先取值X=60,70,80,P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7,X的數(shù)學(xué)期望E(X)=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76.X的方差為D(X)=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44;商店一天進(jìn)購(gòu)16塊蛋糕最合適,若花店一天進(jìn)購(gòu)17塊蛋糕,以Y表示利潤(rùn),其分布為Y=55、65、75、85.P=0.1、0.2、0.16、0.54.Y的數(shù)學(xué)期望為E(Y)=76.4、方差為D(Y)=112.04.以此可知D(X)

    點(diǎn)評(píng)本問(wèn)題所求的隨機(jī)變量均值與方差要先確定所有可能的值,然后分別寫(xiě)出隨機(jī)變量分布,最后再運(yùn)用正確的公式計(jì)算.解題的時(shí)候要關(guān)注隨機(jī)變量的概率分布特征,如果是二項(xiàng)分布,則使用二項(xiàng)分布的均值與方差公式進(jìn)行計(jì)算更加簡(jiǎn)單.

    2.求二項(xiàng)分布的均值與方差問(wèn)題

    例2中央電視臺(tái)與唯眾傳媒聯(lián)合制作的《開(kāi)講啦》為一檔青年電視公開(kāi)課節(jié)目,節(jié)目一開(kāi)播就受到觀眾的喜愛(ài).電視臺(tái)隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩地中的一百名觀眾,得到2×2列表為表2:

    表2

    在被調(diào)查的一百名觀眾中隨機(jī)抽取1名,為乙地區(qū)中非常滿(mǎn)意觀眾中的一員的概率為0.35,且4y=3z.

    (1)從這一百名觀眾中,通過(guò)分層抽樣的方法抽取20名問(wèn)卷進(jìn)行調(diào)查,抽取滿(mǎn)意的甲、乙兩地人數(shù)都為多少?

    (2)請(qǐng)你完成表2,并依據(jù)此判斷是否有95%的把握確定觀眾的滿(mǎn)意程度與所在地區(qū)相關(guān).

    解(1)x÷100=0.35,得到x=35,y+z=35,又因?yàn)?y=3z,可知y=15、z=20,由此可知甲地抽取滿(mǎn)意人數(shù)為3人,乙地抽取滿(mǎn)意人數(shù)為4人.

    (2)填寫(xiě)表2,從上到下,從左到右的數(shù)字分別30、15、45、35、20、55、65、35、100.帶入?yún)⒖脊終2≈0.1.得到?jīng)]有95%的把握認(rèn)為觀眾的滿(mǎn)意程度與所在地區(qū)有關(guān)系.

    3.非二項(xiàng)分布均值與方差問(wèn)題

    例3我校實(shí)驗(yàn)班與普通班一個(gè)學(xué)期內(nèi)一共進(jìn)行了四次考試,該階段的數(shù)學(xué)試卷每一題都有區(qū)分度,則q1=實(shí)驗(yàn)班得分率-普通班得分率,若q1<0.3,則確定此題區(qū)分度不好.若在實(shí)驗(yàn)班中進(jìn)行抽樣調(diào)查,以12題為例,可在班級(jí)成績(jī)?cè)谇鞍嗣秃蟀嗣膶W(xué)生中各隨機(jī)抽取2人,此4人答題結(jié)果為計(jì)算區(qū)分度,則q2為前后各8名各抽取2名學(xué)生的正確率,同樣q2<0.3,則確定此題區(qū)分度不好.問(wèn):

    (1)從年級(jí)的角度分析,若區(qū)分度不好的概率為p,四次考試中則至少有一次區(qū)分度不好的概率為0.9375,求p的值;

    (2)實(shí)驗(yàn)班前八名學(xué)生中有7人答對(duì)第12題,后八名中有四人答對(duì),依據(jù)抽樣結(jié)果,求該題區(qū)分度不好的概率.在抽取的四人中,β為答對(duì)12題的人數(shù),寫(xiě)出其分布列,求出E(β).

    綜上得出離散型隨機(jī)變量均值與方差的計(jì)算過(guò)程,并根據(jù)隨機(jī)變量X-B(n,p)直接使用公式求解;隨機(jī)變量的期望表達(dá)其取值的平均水平,因此可以通過(guò)隨機(jī)變量作為實(shí)際應(yīng)用題中方案取舍的主要依據(jù),如果先比較均值,若均值相同,則以方差決定.

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