破解以導(dǎo)數(shù)為背景的函數(shù)問(wèn)題的有效策略
——構(gòu)造新函數(shù)

徐清杰

(山東省濱州市惠民縣第一中學(xué) 251700)

2020年新高考I卷21題第二問(wèn)：已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.若f(x)≥1，求a的取值范圍.

分析：由f(x)≥1得：aex-1-lnx+lna≥1，elna·ex-1+lna-1≥lnx，elna+x-1+lna+x-1≥lnx+x，elna+x-1+lna+x-1≥elnx+lnx，令g(x)=ex+x，則：g(lna+x-1)≥g(lnx)，借助于g(x)在(-∞,+∞)上的單調(diào)性解不等式.

一、借助于導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則構(gòu)造新函數(shù)

將題設(shè)條件中“式子”的外形結(jié)構(gòu)進(jìn)行變形或重組，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，合理構(gòu)造出與之相關(guān)的新函數(shù)，然后利用該函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題.

題1定義在區(qū)間(0,+∞)上的函數(shù)y=f(x)使不等式2f(x)

二、將結(jié)論等價(jià)變形后抽象出相關(guān)新函數(shù)

將所求結(jié)論中“式子”的外形結(jié)構(gòu)進(jìn)行等價(jià)變形或重組，合理構(gòu)造出與之相關(guān)的可導(dǎo)新函數(shù)，然后利用該函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題.

題2當(dāng)a≥2時(shí)，下列不等式成立的是(多選)( ).

A.(a+1)a+2>(a+2)a+1

B.loga(a+1)>loga+1(a+2)

三、分離參數(shù)后構(gòu)造新函數(shù)

對(duì)于含參數(shù)的不等式，在求參數(shù)的取值范圍時(shí)，若能分離參數(shù)，可將參數(shù)分離出來(lái)后，將不含參數(shù)的一端構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求此函數(shù)的最值問(wèn)題.

四、不等式放縮后構(gòu)造新函數(shù)

五、抓零點(diǎn)、極值點(diǎn)構(gòu)造新函數(shù)

涉及函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、曲線交點(diǎn)之間的相互轉(zhuǎn)化問(wèn)題，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值、以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與0的關(guān)系，借助于數(shù)形結(jié)合，將比較法的思想融入函數(shù)中，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)最值的問(wèn)題.有時(shí)候也可以利用方程f(x1)=f(x2)消掉解析式中的參數(shù).

題5已知函數(shù)f(x)=lnx-ax(x>0)，a為常數(shù)，若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2(x1≠x2).證明：x1x2>e2.

此外對(duì)于f(x)

綜上所述，涉及函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式的綜合問(wèn)題，或直接構(gòu)造新函數(shù)，或間接構(gòu)造新函數(shù)，或二次構(gòu)造新函數(shù)，都是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得證相應(yīng)的結(jié)論.