關于柯西-施瓦茨不等式的證明與推廣

江明澤

摘 要：柯西-施瓦茨不等式是一個在數(shù)學許多方面當中都有應用的一個重要的不等式。本文主要介紹了幾種關于柯西-施瓦茨不等式的幾種證明方法和推廣形式。

關鍵詞：不等式;微積分;向量空間

1.介紹

柯西生于法國巴黎，其在很小的時候就表現(xiàn)出了極高的數(shù)學天賦，在數(shù)學領域有著很高的建樹和造詣。施瓦茨，與柯西一樣都是法國數(shù)學家，他主要在分析學、微分方程、幾何學等數(shù)學分支有著深厚造詣?？挛?施瓦茨不等式就是以他們的名字來命名的。該不等式是由柯西在1821年所提出的，其積分形式是由俄國數(shù)學家布尼亞克夫斯基在1859年所提出，并且該積分形式的現(xiàn)代證明是在1888年被施瓦茨所提出。故而該不等式又被命名為柯西-布尼亞克夫斯基-施瓦茨不等式?？挛?施瓦茨不等式在微積分甚至其他數(shù)學領域中都有著廣泛的應用。本文主要介紹了一些關于柯西-施瓦茨不等式的不同證明方法與推廣形式。

2.柯西-施瓦茨不等式的證明

定理1若f（x）、f（x）在[a，b]上可積，則

證法 1重積分法

□

證法 2輔助函數(shù)法

構造輔助函數(shù)如下：

對兩邊求導有：

故F'（t）≥0，t∈[a，b]，即F（t）是增函數(shù)，當a<b時，F(xiàn)（b）≥F（a）=0，

□

證法 3內(nèi)積法

引理1 對于向量空間V的任意兩個向量α，β有以下不等式：

下面利用該引理來證明。

首先在區(qū)間[a，b]上定義：

其中f（x），g（x）為[a，b]上的可積函數(shù)，接下來要證是向量空間上C[a，b]的一個內(nèi)積。

（1）任取，有唯一的對應

（2）

（3）

（4）

其中k為任意實數(shù)

（5）若，則

所以是連續(xù)函數(shù)空間C[a，b]上的一個內(nèi)積。

由得

故由引理有

即

□

3.柯西-施瓦茨不等式的推廣

定理2（h?lder不等式）若f（x）、g（x）在[a，b]上可積，且則

其中

證明

引理2（Young不等式） 設p，q>0，，則當1<p<+∞時，有以下不等式成立

當且僅當時等號成立。

下面利用引理2來證明。

由引理2有

兩邊在區(qū)間[a，b]取定積分，則有

即

□

當時該不等式即為柯西-施瓦茨不等式

參考文獻：

[1]陳紀修.數(shù)學分析（上、下）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]華東師范大學數(shù)學系. 數(shù)學分析（上、下）第四版[M].北京：高等教育出版社， 2010.

[3]王萼芳 石生明. 高等代數(shù)（第五版）[M].北京：高等教育出版社， 2019.

[4]聞厚貴.不等式證法[M].北京：北京師范學院出版社，1987.