如何引導(dǎo)學(xué)生理解算理，掌握算法，發(fā)展運(yùn)算能力

羅碧毅

小學(xué)階段是學(xué)生運(yùn)算能力形成的重要時(shí)期。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將 “運(yùn)算能力”作為十個(gè)核心概念之一，認(rèn)為“運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑解決問題”。計(jì)算教學(xué)要有效發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力，必然要面對算理與算法的關(guān)系處理。

一、什么是算理、算法？

所謂算理，實(shí)際上是指計(jì)算的原理和依據(jù)，包括數(shù)和運(yùn)算的意義、運(yùn)算的性質(zhì)和規(guī)律，為計(jì)算提供正確可靠的思維方式，解決的是“為什么這樣算”的問題。而算法，就是計(jì)算的程序和方法，是由已知推出未知的程序，為計(jì)算提供方便快捷的操作過程，解決的是“怎樣算”的問題。學(xué)生在學(xué)習(xí)各種運(yùn)算的過程中，自然會引發(fā)“怎樣算”、“怎樣好算”、“為什么這樣算”等一系列問題的思考，這些問題的指向就是算法掌握、算法優(yōu)化、算理理解。

二、為什么要理解算理？

1.理解算理有助于學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)要在特定的數(shù)學(xué)活動(dòng)中來積累，“算理”教學(xué)有助于學(xué)生獲得具體的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生在探究算理的過程中，通過相關(guān)操作、觀察、分析、推理、對比、歸納、總結(jié)等活動(dòng)，學(xué)生不僅能經(jīng)歷知識的生成過程，體驗(yàn)知識獲得的喜悅，也能幫助學(xué)生掌握學(xué)習(xí)方法，提升合作與表達(dá)的能力，從而能夠更有效的利用知識解決問題。

2.理解算理有助于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成

“算理”教學(xué)不僅與數(shù)感、運(yùn)算能力有著直接的聯(lián)系，同時(shí)也與其他的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也是密不可分的。例如學(xué)生在學(xué)習(xí)四則運(yùn)算時(shí)，都是要從“數(shù)的意義”及“運(yùn)算的意義”出發(fā)，對新知的學(xué)習(xí)可以借助已有的知識經(jīng)驗(yàn)，通過類比推理來理解算理，因此“算理”教學(xué)與學(xué)生推理能力有著重要的聯(lián)系。同樣，在進(jìn)行“算理”教學(xué)時(shí)，教師常常引導(dǎo)學(xué)生借助小棒或點(diǎn)子圖來將操作過程與抽象的算理聯(lián)系起來，這也是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象與抽象思維的有效途徑。

3.理解算理有助于的培養(yǎng)學(xué)生抽象思維

理解算理在培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力上起著重要作用。小學(xué)中段對于運(yùn)算的學(xué)習(xí)是建立在相關(guān)四則運(yùn)算的意義之上，而在中段的學(xué)生對多位整數(shù)、分?jǐn)?shù)及小數(shù)的四則運(yùn)算的學(xué)習(xí)，需要理解數(shù)本身的意義，但數(shù)位及計(jì)數(shù)單位對于該年齡段的學(xué)生來說較為抽象，因此學(xué)生在理解算理時(shí)要經(jīng)歷從具體形象到抽象的推導(dǎo)過程，必要時(shí)還要借助相關(guān)的實(shí)物或直觀模型來學(xué)習(xí)算理，進(jìn)而能使學(xué)生從直觀層面來理解算理，并能在此過程中提升學(xué)生的抽象能力。

三、如何引導(dǎo)學(xué)生理解算理，掌握算法

曹培英老師特別強(qiáng)調(diào)：“算法和算理是運(yùn)算能力的一體兩翼，尤其是在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，兩者相輔相成，不可偏廢?！彼晕覀儽仨氉寣W(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上去掌握算法，教學(xué)時(shí)要立足于學(xué)生的已有認(rèn)知，聯(lián)系新舊知，在多樣化算法“趨同”的歸納過程中感悟算理。

1.借助動(dòng)手操作，牽起算理和算法的手

在教學(xué)實(shí)踐中，我堅(jiān)信：學(xué)生的指尖上充滿了智慧與創(chuàng)造，不管你是多么高明的教師都不可能代替學(xué)生的操作。我們應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生展開想象、猜測、推理、驗(yàn)證，讓他們通過操作理解算理，掌握算法。例如在教學(xué)《9加幾的進(jìn)位加法》一課時(shí)，出示9+5，并適時(shí)追問“你是怎么想出得數(shù)的？請用手中的小棒一邊擺，一邊把你的想法介紹給大家?！?，讓學(xué)生在擺小棒的過程中發(fā)現(xiàn)多種不同算法，而學(xué)生這么多的想法都源于有趣的動(dòng)手操作，靈巧的雙手把 10根小棒湊成一捆。“湊十法”的算理不是在教師傳統(tǒng)的說教中獲取的，也不是在觀看教師的演示中得到，而是在孩子們自己動(dòng)手實(shí)操中產(chǎn)生的。教師適時(shí)引導(dǎo)、點(diǎn)撥，使學(xué)生在輕松、愉悅的活動(dòng)中，順利理解了進(jìn)位加法的算理，掌握了算法。

2.依托數(shù)形結(jié)合，架起算理和算法的橋梁

在教學(xué)《筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)》時(shí)，我們不難發(fā)現(xiàn)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的運(yùn)算法則所蘊(yùn)含的算理，一是數(shù)的組成;二是乘法分配律的實(shí)質(zhì)運(yùn)用。值得注意的是，三年級學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)乘法分配律，因此教師可通過組織學(xué)生借助直觀模型點(diǎn)子圖的操作活動(dòng)為其搭建起理解算法和算理的思維橋梁。如在教學(xué)《筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)》課例時(shí)，我們主要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用直觀演示凸顯對算理的理解，掌握算法。首先我們將運(yùn)算學(xué)習(xí)與解決問題的過程有機(jī)結(jié)合，圍繞怎么計(jì)算“14×12”這一問題，讓學(xué)生根據(jù)教師提供的12行14列的點(diǎn)子圖積極思考：能不能用學(xué)過的知識計(jì)算出這道題的結(jié)果？可以在點(diǎn)子圖上圈一圈、畫一畫來表示自己算法的思維過程嗎？可否結(jié)合點(diǎn)子圖，想一想計(jì)算“14×12”的道理？在學(xué)生獨(dú)立思考、動(dòng)手操作的基礎(chǔ)上，教師可引導(dǎo)學(xué)生有條理地用語言表述。在讓學(xué)生探索用豎式計(jì)算14×12=168的過程中，如何突破傳統(tǒng)的老師說教方式？是本課設(shè)計(jì)的難點(diǎn)。我們可借助學(xué)生在計(jì)算時(shí)習(xí)慣用到的四句口訣，“2×4=8，1×2=2，1×4=4，1×1=1，加起來結(jié)果是15呀，怎么會是168呢？”為學(xué)生制造矛盾沖突，學(xué)生的思維就會真正被激活。學(xué)生在說清每一步結(jié)果所表示的含義，明確每一步計(jì)算結(jié)果，從而體會十進(jìn)位值制，最終構(gòu)建運(yùn)算模型，并會列豎式表達(dá)。進(jìn)而達(dá)到使學(xué)生對算理意義的建構(gòu)，理解算法的目的。

3.運(yùn)用知識經(jīng)驗(yàn)，建起算理與算法基石

教師要多關(guān)注學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)、知識經(jīng)驗(yàn)以及思維經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生用原有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)理解新知，使學(xué)生學(xué)會帶著聯(lián)系的眼光看問題，有效地將新知識融入到已有的知識結(jié)構(gòu)中，感受知識之間的內(nèi)在聯(lián)系。如在執(zhí)教《小數(shù)加減法》時(shí)，出示“0.8+3.74=？”，這樣的題型揭示“小數(shù)點(diǎn)對齊”的問題是這節(jié)課的重點(diǎn)所在，也是對小數(shù)加減法進(jìn)行算法總結(jié)的關(guān)鍵時(shí)機(jī)。教學(xué)時(shí)，可以讓學(xué)生擇機(jī)調(diào)動(dòng)整數(shù)加減法的已有經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)歷判斷、推理、抽象的思維過程，并讓每個(gè)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，嘗試做做并說明其中道理。在說理可以追問：“之前我們做過的加減法，是把末位的兩個(gè)數(shù)字對齊，而這道題為什么不是把末位的數(shù)字對齊呢？”“不把末位的數(shù)字對齊，那應(yīng)該把誰對齊了？”“為什么一定要小數(shù)點(diǎn)對齊和相同數(shù)位對齊呢？”，這樣層層深入地引導(dǎo)學(xué)生逼近數(shù)學(xué)本質(zhì)去理解小數(shù)加減計(jì)算的道理。像這樣將“講理”與“明法”有機(jī)結(jié)合，讓學(xué)生體會整數(shù)、小數(shù)加減法一脈相連的計(jì)算原理，更好地實(shí)現(xiàn)“培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算能力的目標(biāo)”。

算理和算法是小學(xué)生必須掌握的重要技能，兩者同等重要，教師要幫助學(xué)生搭建算法與算理互通的橋梁，促進(jìn)學(xué)生真正地把握知識、駕馭知識，讓學(xué)生充分理解從抽象算理到具體算法的演變過程，從而提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。