中學(xué)數(shù)學(xué)三角形全等和相似問題探究

王正坤

摘要：初中數(shù)學(xué)三角形全等和相似問題的研究是整個(gè)初中幾何問題的基礎(chǔ)，然而近幾年來學(xué)生對于三角形全等和相似掌握程度卻每況愈下。那么在三角形的全等和相似問題的數(shù)學(xué)中，教師們應(yīng)當(dāng)要注重總結(jié)相應(yīng)的方法以及解體的技巧，從而幫助學(xué)生形成完善的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率以及解題能力。引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)三角形時(shí)緊抓幾個(gè)重點(diǎn)關(guān)鍵詞，再逐步細(xì)化對應(yīng)的內(nèi)容，讓學(xué)生更加清晰地了解三角形之中邊、角的對應(yīng)關(guān)系，通過及時(shí)練習(xí)達(dá)到掌握問題解法的目的。

1 了解三角形全等的表示方法及解題思路

三角形全等的表示方式為△ABC≌△DEF.與形容三角形ABC與三角形DEF全等是不一樣的表達(dá)內(nèi)容。全等符號的出現(xiàn)代表者三角形的A點(diǎn)對應(yīng)另一個(gè)三角形的D點(diǎn)，以此類推邊對邊、角對角。而僅僅說明兩個(gè)三角形全等只表示兩個(gè)三角形全等，邊角情況無法對應(yīng)。教師在講解三角形全等的時(shí)候，一定要強(qiáng)調(diào)符號的作用，以便學(xué)生能夠準(zhǔn)確找到對用的邊和角令解題過程更加清晰明了。

如何判定兩個(gè)三角形全等。

當(dāng)已知有兩組對角相等，我們可以通過尋找一邊相等從而證明兩個(gè)三角形全等。如果已知有兩組對邊相等，我們可以尋找兩邊的夾角來判斷兩個(gè)三角形全等。如果已知一邊一角相等，那么我們需要任意一個(gè)角相等去證明兩個(gè)三角形全等。而用數(shù)學(xué)符號表示分別是“A、S、A”“S、A、S”以及“A、A、S”。

例如：

如圖所示，A、C在BD的同一側(cè)，A D、BC相交于E點(diǎn)，且∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD。判斷 △ABC與△DCB 是否全等。

由題意可知∠ADB=∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD。所以，根據(jù)“A、S、A”“A、A、S”判定可知，已知兩個(gè)角相同，只要再有一條邊相等就可以判定這兩個(gè)三角形全等。

解：由題意可知∠ADB=∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD，又因BD=BD， ∴ △ABC≌△DCB

例2：

例如：如圖所示，AE=DF，∠A=∠D，AB=CD，判斷BF和EC的大小關(guān)系，并證明。

由題意可知，BF、EC在△AEC和△BDF中，想要判斷他倆的關(guān)系，可以先判斷兩個(gè)三角形△AEC和△BDF是否全等，由此來判定BF、EC的關(guān)系。

解：已知AE=DF，，∠A=∠D，AB=CD，∴ AB+BC=BD+BC，即AC=BD，由“S、A、S”定理可得△AEC≌△BDF，又因，BF、EC在△AEC和△BDF中，∴ BF=EC。

2 了解三角形相似的表示方法及解題思路

2.1 三角形相似的表達(dá)方式為△ABC∽△DEF，證明三角形相似的條件與證明三角形全等的條件是相似的。而形容三角形ABC相似于三角形DEF與通過數(shù)學(xué)公式表達(dá)的相似是不一樣的。相似三角形的證明可以用平行線的性質(zhì)方法去做，也可以使用三角形旋轉(zhuǎn)的方法解答相似三角形的問題。相似三角形是全等三角形的推廣，學(xué)生在做相似三角形的題型時(shí)需要以全等三角形的相關(guān)定理為基礎(chǔ)去解答，

2.2 如何判斷兩個(gè)三角形的相似

兩角分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似。兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似。三邊成比例的兩個(gè)三角形相似。一條直角邊與斜邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似。三邊對應(yīng)平行的兩個(gè)三角形相似。通過這些基本定義能夠求得三角形相似問題的答案。

例如：

問題：如圖所示，在?ABC與?A1B1C1中，若∠A=∠A1，∠B=∠B1，試猜想：?ABC與?A1B1C1是否相似？并證明你猜的結(jié)論

可以讓學(xué)生從圖形的外觀上來討論思考，根據(jù)外觀來看，大多學(xué)生都會(huì)想到這兩個(gè)三角形應(yīng)該是相似的。但怎么去證明這一猜想，需要老師去給同學(xué)們講解結(jié)論的證明。由題意可知，想要用定義去證明的話，題中給的條件不太充足，因此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生用定理去證明：

構(gòu)造出定理證明所需要的圖形：在?ABC中，作BC的平行線，并在?ABC中截得的三角形與?A1B1C1全等，教師與學(xué)生一同討論，解題。

證明：在?ABC的邊AB上截取AD= A1B1，過點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，則有?ADE∽?ABC.∵∠ADE=∠B，∠B=∠B1，∴∠ADE=∠B1.又∠A=∠A1，AD=A1B1，∴?ADE≌ ?A1B1C1.∴?ABC∽?A1B1C1.

例2：

如圖，要測量一條馬路的寬度，可在路的兩邊找到相對應(yīng)的兩個(gè)點(diǎn)A、B，先從B出發(fā)與AB成90°方向向前走50米，到C點(diǎn)立一標(biāo)桿，不改變方向向前走10米到E點(diǎn)，在E點(diǎn)轉(zhuǎn)90°，沿 ED方向走到D點(diǎn)，若A、C、D三點(diǎn)在同一直線上，DE=17米，根據(jù)題目所示求出路寬。

解：由題意可知，從B點(diǎn)向同AB成90°角方向出發(fā)，

∴ ABC=90°∵BC=50m，CE=10m，DEC=90°

∴△ABC～△DEC， AB=5DE，沿ED方向再走17米，到達(dá)D處，即 DE=17，∴ AB=5x17=85.所以路寬為85米。

結(jié)語：

三角形相似與全等的問題沒有特定的方法，學(xué)生在解答相關(guān)問題所使用的方法是需要靈活的思考并且通過長時(shí)間的積累才能從多層次思考解答，三角形的全等與相似可以說是中學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)、難點(diǎn)。三角形的全等以及相似的證明需要多加練習(xí)并且多看圖形養(yǎng)成思路、學(xué)會(huì)畫出輔助線等。解題過程需要語言準(zhǔn)確，格式標(biāo)準(zhǔn)。這樣才能養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，三角形想要提高解題正確率需要多做題總結(jié)規(guī)律找到解題方法，為學(xué)習(xí)中學(xué)數(shù)學(xué)其它類型打下基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]彭慧秀. 基于幾何直觀的初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐研究——以全等三角形和相似三角形為例[J]. 新課程·中旬，2015（11）：370-371.

[2]何曉靜. 關(guān)于直角三角形全等和相似判定的探究[J]. 考試周刊，2013（67）：66-67.

[3]張健. 突破瓶頸，知識(shí)遷移——以全等三角形和相似三角形的教學(xué)為例[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（12）：3-4.

[4]米其韜. 判定三角形全等與相似的一種新方法及其證明（VI）[J]. 遼寧師專學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2006，8（4）：1-3，44. DOI：10.3969/j.issn.1008-5688.2006.04.001.