帶有執(zhí)行器失效的確定時(shí)間事件觸發(fā)機(jī)制

黃堃鋒，洪嘉純，吳宇深，朱厚耀

（廣州大學(xué)機(jī)械與電氣工程學(xué)院，廣州 510006）

0 引言

隨著互聯(lián)網(wǎng)和通信技術(shù)的高速發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)（NCS）在實(shí)踐中得到廣泛應(yīng)用，如智能建筑［1］、工業(yè)控制［2］、衛(wèi)星通信［3］、交通網(wǎng)絡(luò)［4］、無人機(jī)［5］等。

在實(shí)際的NCS 中，執(zhí)行器和控制器之間的傳輸是通過對(duì)共享通信系統(tǒng)進(jìn)行采樣來實(shí)現(xiàn)的。但通信信道的帶寬有限且不能在短時(shí)間內(nèi)增加，而傳統(tǒng)的時(shí)間觸發(fā)系統(tǒng)狀態(tài)采樣和控制器更新是定期執(zhí)行的，這將導(dǎo)致傳統(tǒng)時(shí)間觸發(fā)控制系統(tǒng)中通信資源的浪費(fèi)［6］。在事件觸發(fā)策略中，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)滿足預(yù)期事件條件時(shí)才會(huì)執(zhí)行采樣［7］。因此，為了節(jié)省網(wǎng)絡(luò)帶寬并最大限度利用通信資源，在控制系統(tǒng)中使用事件觸發(fā)式采樣代替時(shí)間觸發(fā)式采樣［8］。文獻(xiàn)［9］提出了一種基于事件的線性系統(tǒng)在隨機(jī)擾動(dòng)下的控制策略；此外，由于實(shí)際操作中存在未知的干擾，對(duì)基于事件觸發(fā)的不確定非線性系統(tǒng)進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)［10］將一種新的分散事件觸發(fā)控制方案應(yīng)用于具有耦合時(shí)滯的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)網(wǎng)絡(luò)，并設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)的事件觸發(fā)控制器。

另外，控制的有效性取決于主動(dòng)控制系統(tǒng)中制動(dòng)器的操作是否正常，但在工業(yè)系統(tǒng)的實(shí)際操作過程中，執(zhí)行器可能會(huì)以未知的形式發(fā)生故障，如果沒有及時(shí)采取適當(dāng)?shù)难a(bǔ)救措施，輕微的故障會(huì)降低控制性能，嚴(yán)重時(shí)可能導(dǎo)致控制系統(tǒng)崩潰［11］。因此，針對(duì)具有執(zhí)行器故障的非線性系統(tǒng)，相關(guān)學(xué)者提出了許多基于非線性控制理論的故障補(bǔ)償控制方法。文獻(xiàn)［12］針對(duì)多輸入多輸出（MIMO）非線性系統(tǒng)不確定參數(shù)存在未知的時(shí)滯有界時(shí)變自適應(yīng)控制問題，提出了一種新的反饋容錯(cuò)方案；文獻(xiàn)［13］將自適應(yīng)模糊輸出反饋控制應(yīng)用于隨機(jī)非線性系統(tǒng)。上述控制方法有效解決了部分執(zhí)行器故障問題，但執(zhí)行器故障會(huì)影響控制精度，為避免較大的實(shí)際損失，如何快速補(bǔ)償執(zhí)行器故障值得關(guān)注。

在實(shí)踐中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)和模糊邏輯理論被用于處理自適應(yīng)智能逼近跟蹤控制問題［14］。文獻(xiàn)［15］提出了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的標(biāo)準(zhǔn)類別并研究了這些神經(jīng)系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性，有效解決了復(fù)雜非線性系統(tǒng)的跟蹤控制問題。

上面提到的大多數(shù)控制方法都將李雅普諾夫穩(wěn)定性歸于漸近穩(wěn)定性領(lǐng)域，在這種情況下，時(shí)間趨于無窮大時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)會(huì)收斂到平衡點(diǎn)。但是，隨著控制系統(tǒng)越來越復(fù)雜、要求越來越高，需要無限時(shí)間的漸近收斂不能滿足系統(tǒng)運(yùn)行的需要，因此，提出了各種有限時(shí)間控制策略來解決非線性不確定系統(tǒng)的有限時(shí)間跟蹤控制問題［16］。文獻(xiàn)［17］考慮到給定的暫態(tài)性能指標(biāo)，提出了一種自適應(yīng)的有限時(shí)間控制方法來穩(wěn)定非線性不確定系統(tǒng)?？紤]到未知的擾動(dòng)和執(zhí)行器故障，文獻(xiàn)［18］提出了一種新的自適應(yīng)有限時(shí)間控制方法來分析隨機(jī)非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。上述文獻(xiàn)從定理的角度證明了它們可以達(dá)到有限時(shí)間的穩(wěn)定性。為了克服實(shí)際情況中的未知干擾，文獻(xiàn)［19］引入了自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非奇異滑動(dòng)模式，確保閉環(huán)系統(tǒng)的有限時(shí)間收斂。

以上有限時(shí)間控制方法可確保系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂，但這些有限時(shí)間控制方法的收斂時(shí)間受未知的干擾影響，不能預(yù)先指定或設(shè)計(jì)。這意味著具體的穩(wěn)定時(shí)間是未知的，所謂的有限時(shí)間只是估計(jì)的穩(wěn)定時(shí)間的上限，而不是實(shí)際的收斂時(shí)間。因此，如何設(shè)計(jì)出具有預(yù)設(shè)收斂時(shí)間的有限時(shí)間控制器值得關(guān)注。在文獻(xiàn)［20］中，常規(guī)的有限時(shí)間控制建立在一個(gè)新穎的縮放函數(shù)上，從而產(chǎn)生了可預(yù)測(cè)的收斂時(shí)間。但當(dāng)執(zhí)行器出現(xiàn)故障時(shí)，在規(guī)定的穩(wěn)定時(shí)間控制框架內(nèi)快速補(bǔ)償故障并預(yù)設(shè)收斂時(shí)間仍是一個(gè)挑戰(zhàn)。

基于上述討論和反步設(shè)計(jì)法，針對(duì)具有不確定執(zhí)行器故障的非線性系統(tǒng)，本文提出了一種事件觸發(fā)的規(guī)定建立時(shí)間共識(shí)自適應(yīng)補(bǔ)償控制方法，主要內(nèi)容如下。

（1）基于反步技術(shù)，提出一種不確定非線性系統(tǒng)的事件觸發(fā)式有限時(shí)間自適應(yīng)控制策略，該策略可以快速彌補(bǔ)故障并有效節(jié)省網(wǎng)絡(luò)帶寬。

（2）利用故障補(bǔ)償策略，提出一種自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法來處理系統(tǒng)中未知的非線性項(xiàng)，可以保證系統(tǒng)狀態(tài)的穩(wěn)定性以及有限時(shí)間內(nèi)的全局有界收斂。

（3）引入非線性變換函數(shù)，以確保跟蹤誤差在規(guī)定的建立時(shí)間內(nèi)收斂到預(yù)定義的時(shí)間間隔內(nèi)，并且變換后的系統(tǒng)依舊是穩(wěn)定的，確保實(shí)際跟蹤誤差的有限時(shí)間收斂和規(guī)定的建立時(shí)間可以被調(diào)整；同時(shí)，可以統(tǒng)一預(yù)設(shè)有限收斂時(shí)間。

1 問題描述

1.1 模型和定義

考慮以下幾類不確定的非線性系統(tǒng)

式中：xi∈R（i= 1，2，…,n）為系統(tǒng)狀態(tài)；uj(t) ∈R（j= 1，2，…,m）為系統(tǒng)輸入；y∈R 為系統(tǒng)輸出；τj(x) ∈R為系統(tǒng)中已知的光滑非線性函數(shù)；fi(?) ∈R為系統(tǒng)中不確定的非線性函數(shù)；xˉi=[x1，x2，…，xi]T∈Ri；kj∈R為已知方向、未知大小的參數(shù)。

然后，考慮第j個(gè)執(zhí)行器可能在運(yùn)行期間失效，因此，在tr時(shí)刻的瞬時(shí)故障模型可以表示為

式中：uPj(t) 為系統(tǒng)的輸入；0 ≤σj＜1，tr和uTj均為不確定的常數(shù)。

本文考慮以下2 種程度的執(zhí)行器失效：一是執(zhí)行器部分失效，這就意味著執(zhí)行器輸出uj(t)在運(yùn)行時(shí)失去了一些性能，因此就有uj(t)=σjuPj(t) 和0 ＜σj＜1；另一個(gè)是執(zhí)行器完全失效，這就意味著執(zhí)行器輸出uj(t)不再受uPj(t) 的影響，但受uTj的影響，所以就有uj(t)=uTj和σj= 0。

因此，可實(shí)現(xiàn)以下帶有執(zhí)行器失效的系統(tǒng)模型

1.2 事件觸發(fā)控制設(shè)計(jì)

由于通信網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)資源有限，為了節(jié)省包括通信信道帶寬和計(jì)算能力在內(nèi)的網(wǎng)絡(luò)資源，可以考慮采用以下事件觸發(fā)方案

式中：tp(p∈R+)為控制器的更新時(shí)間；ωj(t)為要設(shè)計(jì)的觸發(fā)機(jī)制的函數(shù)；e(t) =ωj(t)?uPj(t)為測(cè)量誤差；F(uPj(t))為待設(shè)函數(shù)。

1.3 轉(zhuǎn)換函數(shù)概述

為了達(dá)到實(shí)際規(guī)定的建立時(shí)間跟蹤性能，可以引入以下轉(zhuǎn)換函數(shù)

（2）為了確保變量在轉(zhuǎn)換前后具有相同的初始值，它滿足c(0)= 1。

（3）c(t)是有界且可微的，同時(shí)c?(t)是有界的，這就意味著|c?(t)|≤cmax，其中，cmax＞0且cmax為常數(shù)。

（4）在自適應(yīng)控制方案的設(shè)計(jì)中，使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)近似未知的非線性函數(shù)。 明確φ(x)=[φ1(x)，φ2(x)，…，φn(x)]T為已知的基函數(shù)向量，η=[η1，η2，…，ηn]T為權(quán)重向量。

1.4 近似函數(shù)的研究

在自適應(yīng)控制方法的設(shè)計(jì)中，徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（RBFNNs）用于近似未知的非線性函數(shù)，因此，對(duì)于未知的連續(xù)非線性函數(shù)f(Y)，可以在緊湊集上近似

式中：φ(Y)=[φ1(Y)，φ2(Y)，…，φD(Y)]T為已知的基函數(shù)向量；D為神經(jīng)元的數(shù)量；η=[η1，η2，…ηD]T∈RD為最佳權(quán)重向量；ρ＞0 為近似誤差。

然后，高斯函數(shù)φi(Y)滿足

式中：D為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（NN）節(jié)點(diǎn)的編號(hào)，D＞1；υi=[υi1，υi2，…，υiM]T為高斯函數(shù)的中心；?i為高斯函數(shù)的寬度。

為了促進(jìn)自適應(yīng)控制器的設(shè)計(jì)和得到合適的自適應(yīng)控制器，提出了以下假設(shè)。

假設(shè)1［21］：在時(shí)間間隔[Tq，Tq+1)（q=0，1，…，F(xiàn))中設(shè)定M代表執(zhí)行器全部失效，設(shè)定MPj代表其他沒有全部失效的執(zhí)行器，明確MPj∪M={1，2，…，m}；F為自然數(shù)。

假設(shè)2［21］：全部失效執(zhí)行器的最大數(shù)量為m?1，但部分失效執(zhí)行器的數(shù)量最多可達(dá)m，剩余的驅(qū)動(dòng)力便可以達(dá)到控制目的；同時(shí)，任何執(zhí)行器都不能多次切換狀態(tài)。

設(shè)定T0= 0，假設(shè)在時(shí)間間隔[Tq，Tq+1)（q= 0，1，…，F(xiàn))中共有mj（0 ≤mj≤m）個(gè)執(zhí)行器失效且沒有出現(xiàn)新的執(zhí)行器失效。顯然，在時(shí)間間隔[T0，T1)中所有執(zhí)行器都可以正常工作，新的執(zhí)行器失效會(huì)出現(xiàn)在T1時(shí)刻之后。從假設(shè)2中可得，TF是有限的，TF+1是無限的。

假設(shè)3：r是有界且已知的期望信號(hào)；此外，r具有（n+ 1）階導(dǎo)數(shù)。

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 系統(tǒng)模型分析

為了補(bǔ)償執(zhí)行器失效，設(shè)計(jì)了基于相對(duì)閾值策略的事件觸發(fā)的自適應(yīng)補(bǔ)償控制器。值得一提的是，自適應(yīng)補(bǔ)償控制方法采用反步技術(shù)來跟蹤測(cè)量中的未知參數(shù)，其中設(shè)計(jì)n個(gè)遞歸步驟，具體計(jì)劃如下。

引入以下虛擬誤差方程式

式 中：αi?1(i= 2，3，???，n) 為 虛 擬 控 制 律；zi(i=1，2，???，n)為可變誤差。

為了實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)和在規(guī)定的穩(wěn)定時(shí)間內(nèi)的實(shí)際跟蹤，引入非線性轉(zhuǎn)換函數(shù)c(t)來改變實(shí)際跟蹤誤差和虛擬誤差，轉(zhuǎn)化后的實(shí)際跟蹤誤差e和虛擬誤差zi可以定義為

2.2 自適應(yīng)事件觸發(fā)控制設(shè)計(jì)

在系統(tǒng)執(zhí)行器部分失效的情況下，可以通過更大的閾值獲得更長的更新間隔。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)趨于穩(wěn)定時(shí)，可以通過較小的閾值獲得較短的更新間隔，然后通過一個(gè)更精確的控制信號(hào)uPj(t)獲得更好的系統(tǒng)性能。因此，可以設(shè)計(jì)用于補(bǔ)償由觸發(fā)機(jī)制引起的測(cè)量誤差的控制器，建立以下事件觸發(fā)策略。

式中：γj為正定矩陣。

2.3 穩(wěn)定性分析

考慮帶有執(zhí)行器失效的系統(tǒng)（3），虛擬控制器（10），（12），自適應(yīng)律（11），（13），參數(shù)更新律（16）以及事件觸發(fā)的規(guī)定的穩(wěn)定時(shí)間共識(shí)控制器（14），可以保證以下結(jié)果［22］。

（1）所考慮系統(tǒng)的所有信號(hào)都是有界的。

（2）存在一段時(shí)間t?＞0，這樣，執(zhí)行間隔t?≤{tk+1?tk}都小于有界t?，?k∈z+，因此可以避免芝諾行為。

首先，選擇李雅普諾夫函數(shù)Vn為

通過分析規(guī)定的建立時(shí)間T可知，通過調(diào)整T，ζ和s，可以影響系統(tǒng)的跟蹤誤差和收斂速度。

3 仿真分析

通過實(shí)例仿真驗(yàn)證所提出的方案是否適用于帶有執(zhí)行器故障補(bǔ)償?shù)牟淮_定非線性系統(tǒng)。

考慮一種單連桿機(jī)械臂模型

式中：x1，x2分別為位移和速度；I為慣性；m為質(zhì)量；g為重力加速度；l為質(zhì)心到關(guān)節(jié)的長度；μD為黏性摩擦系數(shù)；設(shè)置障礙為dk= sint。

系統(tǒng)參數(shù)如下：已知和未知函數(shù)分別為f1(xˉ1)=x1(1 ?sin2x1)+ 0.1cosx1和f2(xˉ2)= ?3.5x2+x1x22+0.1sin(2x1x2)；kj= 1；函 數(shù)τj(x) = 2.4 + 0.1sinx1（j=1，2）；參考輸出信號(hào)為r= sint。

假設(shè)單連桿機(jī)械臂的執(zhí)行器1 在5 s 后發(fā)生部分失效，10 s 后完全失效，執(zhí)行器2 運(yùn)行正常，其參數(shù)設(shè)置為：σ= 0.5（輸入、輸出比為50%）。系統(tǒng)輸出和參考信號(hào)如圖1 所示，不具有上述控制方法的控制輸入如圖2 所示，具有事件觸發(fā)的控制輸入如圖3 所示，系統(tǒng)的跟蹤誤差如圖4 所示，事件觸發(fā)量及其間隔如圖5所示。

圖1 系統(tǒng)輸出和參考信號(hào)Fig.1 System output and reference output

圖2 不具有控制方法的控制輸入Fig.2 Control inputs with no control methods

圖3 具有事件觸發(fā)的控制輸入Fig.3 Event-triggered control inputs

圖4 系統(tǒng)跟蹤誤差Fig.4 Tracking error of the system

圖5 事件觸發(fā)時(shí)間間隔Fig.5 Inter-execution intervals

仿真結(jié)果表明：?jiǎn)芜B桿機(jī)械臂的執(zhí)行器1 在5 s后發(fā)生50%的故障，輸入輸出比為50%，10 s 后完全失效，預(yù)設(shè)穩(wěn)定時(shí)間為0.4 s。從圖1 可以看出，執(zhí)行器2 正常工作的情況下，本文提出的方法確保了單連桿機(jī)械臂的跟蹤控制，并且系統(tǒng)的所有信號(hào)都是有界的。從圖2 可以看出，沒有加入控制方法的執(zhí)行器1 在5 s 后發(fā)生部分失效的情況下系統(tǒng)狀態(tài)受到了很大的影響，在10 s 后完全失效的情況下進(jìn)入了卡死狀態(tài)，輸出不再受輸入的影響。從圖3可以看出，采用本文提出的控制方法，與執(zhí)行器正常運(yùn)行時(shí)相比，執(zhí)行器1 在5 s 后發(fā)生部分失效的情況下系統(tǒng)波動(dòng)幅度較小，在10 s 后完全失效的情況下受到了一定的影響。圖4 的結(jié)果顯示，跟蹤誤差在5 s后出現(xiàn)了輕微的波動(dòng)，10 s后出現(xiàn)了較大的波動(dòng)，但波動(dòng)范圍在預(yù)期誤差范圍內(nèi)，系統(tǒng)在0.2 s 后誤差就穩(wěn)定在了5%內(nèi)，證明系統(tǒng)在設(shè)定的時(shí)間0.4 s內(nèi)達(dá)到了預(yù)設(shè)目標(biāo)狀態(tài)。

從圖5可統(tǒng)計(jì)得出觸發(fā)量數(shù)據(jù)，見表1。

表1 觸發(fā)量數(shù)據(jù)Tab.1 Number of trigger

從圖5 可以看出，該方法最少可節(jié)省帶寬0.02 s，最多可節(jié)省0.18 s。結(jié)合表1中的觸發(fā)量數(shù)據(jù)，執(zhí)行器1在5 s后發(fā)生部分失效，10 s后完全失效，執(zhí)行器2 正常運(yùn)行的情況下，在每2 s 的時(shí)間間隔內(nèi)，觸發(fā)事件的數(shù)量隨控制輸出的變化而變化，以減少帶寬資源的消耗。在傳統(tǒng)的時(shí)間觸發(fā)中，每2 s的觸發(fā)次數(shù)為200，而在本文涉及事件觸發(fā)中，每2 s 的平均觸發(fā)次數(shù)為46，相比之下，帶寬資源節(jié)省率達(dá)77%。

4 結(jié)束語

本文針對(duì)具有執(zhí)行器故障的不確定非線性系統(tǒng)，提出了一種基于事件觸發(fā)的規(guī)定建立時(shí)間共識(shí)自適應(yīng)補(bǔ)償控制方法。為了有效節(jié)省網(wǎng)絡(luò)帶寬，通過反推技術(shù)，提出了一種事件觸發(fā)的有限時(shí)間補(bǔ)償控制策略；同時(shí)，對(duì)于具有執(zhí)行器故障的不確定非線性系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了一種有限時(shí)間自適應(yīng)補(bǔ)償控制器，該控制器可以確保發(fā)生故障時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)快速收斂。引入非線性變換函數(shù)以確保跟蹤誤差在規(guī)定的建立時(shí)間內(nèi)收斂到預(yù)定間隔；同時(shí)，提出了一種基于事件觸發(fā)的規(guī)定建立時(shí)間共識(shí)自適應(yīng)補(bǔ)償控制方法，該方法可以統(tǒng)一預(yù)設(shè)有限時(shí)間，并且系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)收斂。仿真結(jié)果表明，該方法可以保證系統(tǒng)的跟蹤性能，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)的全局一致性和穩(wěn)定性，同時(shí)避免了芝諾行為。