脈沖Beddington-DeAngelis數(shù)學模型的穩(wěn)定性和持久性

金浩城， 郭俊榮

(浙江農(nóng)林大學 理學院，浙江 杭州 311300)

引言

我國作為擁有幾千年歷史的農(nóng)業(yè)大國，在過去靠天吃飯的日子里，各朝各代都對農(nóng)業(yè)生產(chǎn)極為關(guān)注[1]。過去對農(nóng)業(yè)生產(chǎn)威脅最大的害蟲當屬蝗蟲，據(jù)《春秋》記載，公元前710年，周桓王十三年就發(fā)生過蝗災，致使民不聊生。現(xiàn)在，隨著科技的發(fā)展，農(nóng)作物的產(chǎn)量得到了質(zhì)的提升，但在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，病蟲害仍然是一個極大的隱患，若不加以防治，會對我國的經(jīng)濟發(fā)展、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)造成重大的損失。

病蟲害防治是一個復雜的問題，較為常見且有效的方法主要有化學防治和生物防治，化學防治，顧名思義是指利用化學農(nóng)藥或天然產(chǎn)物或模擬天然產(chǎn)物合成的化合物控制農(nóng)業(yè)害蟲的理論與技術(shù)體系，見效快，使用方便，在二十世紀四十年代以后普遍使用。缺點是廣泛的使用會使害蟲產(chǎn)生抗藥性，同時對生態(tài)環(huán)境也造成一定的污染[2-3]。生物防治，是指利用害蟲天敵、菌類和外來物種等限制害蟲生存的理論和技術(shù)體系，也就是人們常說的“以蟲治蟲”，生物防治對于環(huán)境的危害很小，是一種綠色環(huán)保的治理方法，但由于一般害蟲的天敵都要成熟期才能捕食害蟲，見效沒有化學防治快，需要一定的生長周期，且能夠用于生物防治的害蟲種類不多[4-5]。

在具體實踐中，常?？紤]的是生物防治和化學防治相結(jié)合的害蟲綜合治理，既要考慮資源的合理配置，也要考慮防治的效率等問題[6]。為此，從生物數(shù)學角度出發(fā)，對害蟲治理進行數(shù)學模擬具有重大的意義。本文討論的脈沖控制數(shù)學模型，將天敵的釋放和化學藥劑的噴灑視為一種脈沖，從數(shù)學的角度分析害蟲的綜合防治。

1 脈沖微分方程模型的建立

脈沖微分方程理論，作為微分方程理論的重要分支，在生活上有很大的作用[7]。它從數(shù)學的角度，將生活現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為一個個數(shù)學模型，通過分析研究數(shù)學模型的各種動力學性質(zhì)，將得到的數(shù)學結(jié)果應用于生活當中，從而實現(xiàn)對其有目的的控制。脈沖微分方程在各個領(lǐng)域都有廣泛的應用，例如生物學中的捕食模型[8]。在害蟲治理方面，建立脈沖微分方程數(shù)學模型，我們可以運用數(shù)學方法，可以確定最佳的滅蟲周期和天敵投放，為農(nóng)業(yè)生產(chǎn)提供一定的指導意義[9]。

本文研究的主要內(nèi)容是系統(tǒng)的有界性定理、害蟲滅絕周期解的局部穩(wěn)定性，分析系統(tǒng)的全局吸引性以及整個系統(tǒng)的持久性定理。

(1)植物用x(t)表示，以γ為植物種群的增長率且呈指數(shù)增長，環(huán)境的承載量為k；

(2)幼蟲用y1(t)表示，對植物種群x(t)的取食率用α1x(t)y1(t)來表示，δ1表示幼蟲的死亡率；

(3)成蟲用y2(t)表示，對植物種群x(t)的蟲均取食率用α2x(t)y1(t)來表示，δ2表示成蟲的死亡率；

(4)天敵用z(t)表示，對幼蟲、成蟲的吸收效率分別為ε1，ε2，天敵的死亡率為δ3。

因此，我們可以得到如下脈沖微分方程：

(1)

2 預備知識

在這一部分，我們將給出一些經(jīng)常使用的數(shù)學定義、引理和定理[10]。

定義2.1若脈沖微分方程：

(2)

滿足以下條件：

(H1)A(*)∈PC(R,Cn×n),A(t+T)=A(t),t∈R;

(H2)Bk∈Cn×n,det(E+Bk)≠0,tk

(H3)?q∈N,Bk+q=Bk,tk+q=tk+T,k∈Z。

則我們稱該系統(tǒng)為線性的T-周期脈沖微分方程。

設Φ(t)是上述脈沖微分方程的基解矩陣，且存在唯一的非奇異矩陣M∈Cn×n，使得

Φ(t+T)=Φ(t)M,t∈R。

(3)

定義2.2我們將常數(shù)矩陣M稱為基解矩陣Φ(t)的單值矩陣。

注：相同系統(tǒng)的所有單值矩陣都相似，從而有相同的特征值。

定義2.3稱定義2.1中的脈沖系統(tǒng)的單值矩陣的特征值M1,M2,…,Mn為其Floquet乘子。

引理2.1(Floquet乘子理論)

設條件(H1)(H2)(H3)成立，則線性T-周期脈沖系統(tǒng)是：

(1)穩(wěn)定的，當且僅當它的所有乘子Mj(j=1,2,…,n)的模小于等于1，而且模等于1的乘子Mj有相應的單重初等因子；

(2)漸近穩(wěn)定的，當且僅當它的所有乘子Mj(j=1,2,…,n)的模小于1；

(3)不穩(wěn)定的，如果存在某個乘子Mj，使得Mj的模大于1。

定義2.4設V:R+×Rn→R+,如果

(2)V關(guān)于x是局部Lipschitz的。

那么稱V是屬于V0類的。

定義2.5設V∈V0,則對于(t,x)∈(tk-1,tk]×Rn,脈沖微分方程(2)的V(t,x)的右上導數(shù)定義為：

定義2.6如果存在不依賴于系統(tǒng)初值的常數(shù)M≥m>0，使得對于系統(tǒng)(1)的所有初值大于零的解(x(t),y1(t),y2(t),z(t))，能找到一個有限時間T0，在t>T0時，都有m≤x(t),y1(t),y2(t),z(t)≤M，那么我們就稱系統(tǒng)(1)是持續(xù)生存的，即系統(tǒng)(1)具有持久性。

引理2.2設X(t)是系統(tǒng)(2)的解，并且滿足初值條件X(0+)≥0,那么對所有的t≥0均有X(t)≥0。若X(0+)>0,則當t>0時，有X(t)>0。

下面我們來介紹幾個常見的定理,在后續(xù)的證明中會經(jīng)常使用：

(4)

又設r(t)=r(t,t0,u0),t∈[t0,∞)是下列標量脈沖微分方程：

(5)

的最大解，那么當V(t0+,x0)≤u0時，有

V(t,x(t))≤r(t),t≥t0,

其中x(t)是系統(tǒng)(2)存在于[t0,∞)的任意解。

引理2.2對下面的脈沖微分方程：

我們有此方程的正周期解:

由于：

可得：

現(xiàn)在我們回到系統(tǒng)(1)，當害蟲滅絕時(即y1(t)=y2(t)=0)，我們有以下脈沖微分方程：

(6)

對方程(6)使用引理2.3，可得：

3 主要結(jié)果

定理3.1對于上述系統(tǒng)(1)的解(x(t),y1(t),y2(t),z(t))，存在一個常數(shù)M>0，使得對充分大的t，有x(t)≤M,y1(t)≤M,y2(t)≤M,z(t)≤M。

證明：

令V(t)=Kx(t)+ε1y1(t)+ε2y2(t)+z(t)

我們選取的K滿足以下條件：

+(L-δ1)ε1y1+[(δε1α2-Kα2)x-ε2δ2+Lε2]y2+(L-δ3)z

當t=nT時，V(t+)=V(t)+p，因此，對于t∈(nT,(n+1)T]，有：

其中φi(t),i=1,2,3,4為相應的小振幅擾動，系統(tǒng)(1)可以擴展為如下的線性形式：

令φ(t)=(φ1(t),φ2(t),φ3(t),φ4(t))T，則上述線性形式可記為：

其中：

λ1=exp(-γT)<1，

λ2=exp(-δ3T)<1，

λ3,λ4是下列矩陣的特征值：

其中：

證明：由于(x(t),y1(t),y2(t),z(t))為系統(tǒng)(1)的任意解，滿足下面的條件：

我們考慮如下的比較系統(tǒng)：

對于u(t)，顯然具有不穩(wěn)定解u(t)=0和穩(wěn)定解u(t)=k。

對于z(t)，有：

考慮如下的比較系統(tǒng)：

對于剩下的y1(t)和y2(t)，我們考慮它們和的微分：

分兩種情況討論：

1)如果δα2x-δ2<0，必定有y1(t)+y2(t)趨向于0。

2)如果δα2x-δ2>0，則有

其中β=min{β1,β2}。令

可得y1(t)+y2(t)→0,t→∞。由于y1(t)和y2(t)為非負函數(shù)，故有y1(t)→0，y2(t)→0，當t→∞時。

考慮下面的比較系統(tǒng)：

因為我們已得到y(tǒng)1(t)→0，y2(t)→0，當t→∞時，故存在N4>0，對t>N4，有：

考慮如下比較系統(tǒng)：

運用定理2.1可得：z(t)≤v(t)。

v(t)可由引理2.3解出：

定理3.4系統(tǒng)(1)具有持久性的，如果T>Tmax。

證明：首先，由定理3.1可知，對充分大的t,有x(t),y1(t),y2(t),z(t)≤M成立。z(t)滿足：

下面我們證明：

y1(t)≥m2>0,對充分大的t；

y2(t)≥m3>0,對充分大的t；

x(t)≥m1>0,對充分大的t。

先從x(t)出發(fā)。

Step1我們選取充分小的m0和ε0，使得

我們將證明存在t1∈(0,∞)，使得x(t1)≥m0。如若不然，則對?t∈(0,∞)，有x(t)

由系統(tǒng)(1)可得：

考慮如下比較系統(tǒng)：

由定理2.1和引理2.3，我們得：

對于y2(t)，同樣有：

考慮下面的比較系統(tǒng)：

由定理2.1和引理2.3，我們得：對充分大的t，有

回到x(t)，滿足：

(7)

令N1∈N，N1T>max{T1,T1′}，積分(7)于(nT,(n+1)T],n≥N1，

我們有：

=x(nT)exp(σ)。

于是，x(N1T+kT)≥x(N1T)exp(kσ)→∞,k→∞時。

這與x(t)的有界性相矛盾，于是存在t1∈(0,∞)，使得x(t1)≥m0。

Step2如果x(t)≥m0,?t≥t1，則x(t)的持久性定理證明就完成了。而對一般情況，我們假設存在某些t>t1，有x(t)t1|x(t)

假設t*∈[n1T,(n1+1)T),n1∈N，選擇n2,n3∈N使得:

假設s1((n1+1)T+)=y1((n1+1)T+)，考慮如下系統(tǒng)：

我們有：

于是：

同樣的，對于s2(t),假設s2((n1+1)T+)=y2((n1+1)T+)，有

由前面的假設條件可知：

由Step1的結(jié)果我們有：

x((n1+1+n2+n3)T)≥x((n1+1+n2)T)exp(n3σ)。

對于區(qū)間(t*,(n1+1)T]，有以下兩種情況：

情況1如果x(t)

x(t)

于是可推出：在t∈(t*,(n1+1)T+n2T]時，下式成立。

(8)

積分(8)于區(qū)間(t*,(n1+1)T+n2T]，得到：

x((n1+1+n2)T)≥m0exp((n2+1)σ1T)。

于是整理可得：

x((n1+1+n2+n3)T)≥m0exp((n2+1)σ1T)exp(n3σ)>m0。

x(t)≥x(t*)exp((t-t*)σ1)≥m0exp((1+n2+n3)Tσ1)

情況2如果存在t′∈(t*,(n1+1)T]，使得x(t′)≥m0。

x(t)≥x(t*)exp((t-t*)σ1)≥m0exp(σ1T)>m*。

整理可得：x(t)≥m*,?t>t1。

于是，我們證明了x(t)的持久性。

最后，我們來證明y1(t)和y2(t)的持久性。

積分上式于區(qū)間(nT,(n+1)T]，得到：

于是我們證明了y1(t)和y2(t)的持久性。

綜上所述，我們證明了系統(tǒng)(1)具有持久性的，如果T>Tmax。

4 討論

鑒于以上討論，本文所討論的幾類脈沖微分方程數(shù)學模型，通過將釋放害蟲天敵或噴灑化學藥劑等行為當作一種脈沖，考慮化學防治和生物防治相結(jié)合的害蟲綜合防治方法，目的就在于減少害蟲的數(shù)量，使之保持在經(jīng)濟危害水平之下。通過研究這些數(shù)學模型的各種動力學性質(zhì)，包括系統(tǒng)的一般解的有界性、害蟲滅絕周期解的局部漸近穩(wěn)定性和全局吸引性以及系統(tǒng)具有持久性的充分條件，并且給出上述結(jié)果的嚴格數(shù)學證明，從數(shù)學的角度給出了農(nóng)業(yè)中運用害蟲治理控制病蟲害數(shù)量的理論依據(jù)，為農(nóng)業(yè)生產(chǎn)提供重要的參考意義。

本章通過考慮作物、害蟲幼蟲、害蟲成蟲和害蟲天敵，建立一個更加符合現(xiàn)實情況的四維脈沖微分模型，研究了該脈沖微分模型解的有界性、害蟲滅絕周期解的局部漸近穩(wěn)定性、全局吸引性和系統(tǒng)具有持久性的充分條件。我們得到：當我們添加的脈沖(即釋放天敵和噴灑農(nóng)藥)周期小于一定時間時，系統(tǒng)存在全局漸近穩(wěn)定的害蟲滅絕周期解，而當脈沖釋放周期大于一定的值時，整個系統(tǒng)將具有持久性，這符合實際的生物學現(xiàn)象。雖然害蟲和農(nóng)作物之間的關(guān)系非常復雜，但是在一定條件下，它們可以共存，是可控的。本文討論的病蟲害治理采用的方法是控制添加脈沖的時間T，而其他的變量，比如每次添加的脈沖的數(shù)值都是固定量，我們也可以考慮基于固定的添加脈沖的周期，通過控制每次添加脈沖的量，也可以達到病蟲害治理的效果，而這方面的研究還較少。這些都值得后續(xù)進一步的研究。