補形在立體幾何問題中的應(yīng)用

李秀元 武 剛

(1.湖北省武穴市實驗高級中學(xué) 435400；2.湖北省武穴中學(xué) 435400)

直觀性是立體幾何問題的一個突出特點.借助幾何圖形，感知空間點、線、面的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運動規(guī)律.圖形殘缺不明是制約學(xué)生認知的一個關(guān)鍵因素.補全圖形是基于邏輯推理，發(fā)展學(xué)生空間想象能力的重要手段.下面從7個角度，展示補形為問題解決帶來的好處.

一、補形判斷位置關(guān)系

線面位置關(guān)系的判斷，是立體幾何發(fā)展空間想象能力的重要方式，主要涉及到線面平行和線面垂直.圖形殘缺會影響到學(xué)生對關(guān)系判斷依據(jù)的確認，補全圖形可以很好地解決直觀判斷這一問題.

例1 如圖1所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E、F分別是棱DD1、C1D1的中點.試判斷直線B1F與平面A1BE是否平行，如果不平行，說明理由；如果平行，請在平面內(nèi)作出一條與B1F平行的直線，并說明理由.

圖1 圖2

解析線面平行最直接的判斷方法是線線平行，用△A1BE表示平面，較難發(fā)現(xiàn)與B1F平行的直線.考慮將△A1BE延展成正方體的截面A1BME(M為CD的中點)，如圖2，問題便一目了然，與B1F平行的直線即為BM.

二、補形確定點的位置

例2如圖3所示，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點，F(xiàn)是側(cè)面CDD1C1內(nèi)的動點，且B1F∥平面A1BE，則點F在側(cè)面CDD1C1內(nèi)的軌跡長度是____.

圖3 圖4

解析由于直線B1F是過定點B1的動直線，要滿足B1F∥平面A1BE，則需要尋找過點B1且與平面A1BE平行的平面.平面平行的判定是由線面平行來完成的.直接過B1作平面A1BE的平行線，最多只找到一條A1E，無法確定平面.

三、補形確定平面的交線

例3 如圖5，點E、F在正方體ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1、BB1上(不是端點)，試畫出平面AEF與平面ABCD的交線.

圖5 圖6

解析確定兩個平面交線的理論依據(jù)在于公理3和公理1.由于平面AEF和平面ABCD有公共點A，故只需找到兩平面另外的一個公共點即可.過點E作EN⊥DC，交DC于點N，連接NB，則BF∥EN，而BF≠EN，所以EF和NB延長必相交，設(shè)交點為M，連接AM.因為M∈EF，所以M∈平面AEF.同理，M∈平面ABCD，即點M為平面AEF和平面ABCD的公共點.所以，直線AM為平面AEF與平面ABCD的交線.

四、補形求二面角的大小

圖7 圖8

(1)求證：平面PAC⊥平面ABC；

(2)分析4個條件，發(fā)現(xiàn)①和④是等價的.選兩個條件就只有2種組合：①②和①③.

五、補形求線段比

圖9 圖10

(1)求證：平面PBM⊥平面PAC；

(2)若以A為原點建立空間直角坐標系，則A、B、C、D、M的坐標可求，但點P坐標未知，既影響到平面PAB法向量的計算，也影響到N點坐標的確定，能不能確定，計算之前心里沒底.

由于點N存在性待定，即使存在，位置也是待定的.因此，考慮尋求過點O且與平面PAB平行的平面，此平面與PM相交，即得N點.

圖11

六、補形求點面距離

例6 如圖12所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEC1F所截而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.

圖12 圖13

(1)求BF的長；

(2)求點C到平面AEC1F的距離.

解析依題意，知四邊形AEC1F為平行四邊形.

七、補形求外接球的體積(表面積)

我們知道，任何三棱錐都有外接球.我們更知道，任何長方體都有外接球，且球心為對角線的中點.一般情形下三棱錐的外接球球心是不易確定的，如果能將三棱錐補形成長方體，解決問題也就輕而易舉了.

圖14