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    例析實(shí)際應(yīng)用中與球相關(guān)的最值問題

    2021-10-20 09:21:30謝新華
    數(shù)理化解題研究 2021年28期
    關(guān)鍵詞:榫卯接球評析

    謝新華

    (福建省莆田第二中學(xué) 351100)

    圖1

    例1 (2020·湖北襄陽模擬)魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具,起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu),這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分(即榫卯結(jié)構(gòu))嚙合,十分巧妙.從外觀上看,是嚴(yán)絲合縫的十字立方體,其上下、左右、前后完全對稱;六根等長的正四棱柱分成三組,經(jīng)90°榫卯起來.如圖所示,正四棱柱的高為8,底面正方形的邊長為1,將這個(gè)魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器內(nèi),則該球形容器半徑的最小值為(容器壁的厚度忽略不計(jì))( ).

    評析本題以數(shù)學(xué)文化為背景,考查多面體與外接球球的計(jì)算,需要根據(jù)幾何體的對稱性確定一組長方體的外接球也就是整體的外接球.

    例2 (2020 ·河南省模擬)在棱長為8的正方體空盒內(nèi),有4個(gè)半徑為r的小球在盒底四角,分別與正方體底面處交于某一頂點(diǎn)的三個(gè)面相切,另有一個(gè)半徑為R的大球放在四個(gè)小球之上,與四個(gè)小球相切,并與正方體盒蓋相切,無論怎樣翻轉(zhuǎn)盒子,五球相切不松動(dòng),則小球半徑r的最大值為____,大球半徑R的最小值為____.

    解析當(dāng)正方體盒內(nèi)四個(gè)小球中相鄰小球均相切時(shí),小球半徑r最大,大球半徑R最小,由2r·2=8可得r的最大值為2,下面分析r=2時(shí)R的取值. 如圖所示,由對稱性知,大球球心O與四個(gè)小球球心O1,O2,O3,O4均為一個(gè)正四棱錐的頂點(diǎn),且OO1=R+r=R+2,O1O2=2r=4.

    圖2

    評析本題通過數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題相結(jié)合,考查球與球,球與多面體的切接問題,一題兩空是新高考特色題型,分析球與球之間切接可得r的最大值,剖析球與多面體切接問題,結(jié)合對稱性計(jì)算出R的最小值.

    例3(2020·福建莆田市質(zhì)檢)有一根高為30厘米,底面半徑為5厘米的圓柱體原木(圖3).某工藝廠欲將該原木加工成一工藝品,該工藝品由兩部分組成,其上部分為一個(gè)球體,下部分為一個(gè)正四棱柱(圖4).問該工藝品體積的最大值是____立方厘米.

    圖3 圖4

    當(dāng)x變化時(shí),f(x),f′(x)變化情況如下表:

    x(0,25π)25π(25π,5)f′(x)-0+f(x)↘極小值↗

    評析本小題以勞動(dòng)技術(shù)、生活實(shí)踐為背景,考查立體幾何中與球有關(guān)的最值問題,是一類既富思考性,又融眾多知識和技巧于一體,綜合性強(qiáng)、靈活性高的問題.解答時(shí),需仔細(xì)分析題設(shè)中的所有條件,在充分審清題目意思的基礎(chǔ)上,從問題的幾何特征入手,充分利用其幾何性質(zhì)去解決;找出問題中的代數(shù)關(guān)系,建立目標(biāo)函數(shù),利用求函數(shù)最值的方法加以解決.

    圖5

    解析根據(jù)三視圖知原工件形狀為圓錐,如圖.

    圖6 圖7

    當(dāng)x變化時(shí),V(x),V′(x)變化情況如下表:

    x(0,23)23(23,2)V′(x)+0-V(x)↗極大值↘

    評析本題融合多個(gè)知識點(diǎn),考查立體幾何中球的切接問題,考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題,考查概率的計(jì)算,綜合性較強(qiáng).

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