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    音律是纏綿的數(shù)學(xué)運(yùn)算

    2023-12-18 13:43:27張?zhí)衤?tīng)
    文學(xué)藝術(shù)周刊 2023年20期
    關(guān)鍵詞:振動(dòng)頻率音樂(lè)

    張?zhí)衤?tīng)

    雖然音樂(lè)通常被用來(lái)放松身心,但音律研究絕非如此,即便“如何確定一個(gè)音階”這樣最基礎(chǔ)的問(wèn)題,也要涉及纏綿的數(shù)學(xué)運(yùn)算。坦率地說(shuō),這是一個(gè)非常簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題:所謂音樂(lè),就是按照某種節(jié)奏依次連接不同頻率的聲音,而人耳是一種非常靈敏的機(jī)械波感受器,并不是隨便兩個(gè)聲音連在一起就能覺(jué)得好聽(tīng)——在絕大多數(shù)情況下,如果兩個(gè)聲音的頻率接近簡(jiǎn)單的整數(shù)比,那么它們接連奏響就比較好聽(tīng), 最簡(jiǎn)單的比例當(dāng)然是1︰1和1︰2,但這未免太單調(diào)了,需要在兩者之間找到更廣 闊的天地。幸虧聲音的頻率直接反比于弦樂(lè)器的弦長(zhǎng),或者管樂(lè)器的氣柱長(zhǎng),所以通過(guò)打孔或者改弦便可實(shí)現(xiàn)。而人類(lèi)很早就開(kāi)始研究聲律法了。

    一、音律是在理性思維下的一場(chǎng)數(shù)字游戲

    偉大的作曲家伊戈?duì)枴し频侣寰S奇·斯特

    拉文斯基曾說(shuō): “音樂(lè)這種形式和數(shù)學(xué)較為接近——也許不是和數(shù)學(xué)本身相關(guān),但肯定與數(shù)學(xué)思維和關(guān)系式有關(guān)?!惫畔ED時(shí)期關(guān)于音樂(lè)和比例之間的關(guān)系就是依據(jù)數(shù)學(xué)的等比劃分,早期音樂(lè)中時(shí)值最開(kāi)始是以三等分來(lái)劃分,后來(lái)才發(fā)展出兩等分;比如各個(gè)模仿聲部之間的比例的確定;比如早期對(duì)八度、五度的運(yùn)用,到逐漸加入三度和六度的過(guò)程,以及一直避免三全音的觀念;比如將音樂(lè)高潮放在黃金分割點(diǎn)上的創(chuàng)作技法,無(wú)一不是在數(shù)學(xué)思維下進(jìn)行的音樂(lè)創(chuàng)作。

    譬如畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的五度相生律,首先考慮了2/3的情況:先取某個(gè)長(zhǎng)度的琴弦為基準(zhǔn),當(dāng)作C;剪掉C的1/3,得到了G;然后延長(zhǎng)G的1/3,得到了D;再剪掉D的1/3,得到了A;再延長(zhǎng)A的1/3,得到了E;再剪掉E的1/3,就得到了B。這樣每次剪短都是純五度, 而每次延長(zhǎng)都是純四度,新生成的5個(gè)音,連同最初的C,相鄰兩個(gè)的頻率比例都是9/8,而且B和下一個(gè)C的頻率比例是256/243,相當(dāng) 于預(yù)期的9/8的一半,但是E和G之間缺一個(gè)音,那就給下一個(gè)C延長(zhǎng)一半,就得到了F,F(xiàn)與G的比例也是9/8,與E的比例也是256/243,可以說(shuō)很不簡(jiǎn)單了。就這樣西方人得到了最初 的七個(gè)音階,也就是鋼琴上的白鍵。

    無(wú)獨(dú)有偶,中國(guó)人也給竹管加 1/3或者減 1/3,即所謂的“三分損益法”:從宮調(diào)開(kāi)始 得到商、角、徵、羽四個(gè)音,而放棄了最后兩個(gè)有些叛逆的B和F。但是在古代,西方數(shù)學(xué) 長(zhǎng)于幾何,而東方數(shù)學(xué)長(zhǎng)于算數(shù),中國(guó)人嘗試 了更加極端的三分損益,據(jù)《史記》記載:取 九九八十一為基本長(zhǎng)度,定名為黃鐘,也就是C,由此開(kāi)始連環(huán)三分損益,得到了應(yīng)鐘,也就是B,仍不停下,而后得到了蕤賓,也就是#F,繼續(xù) 損益,最終產(chǎn)生的清黃鐘長(zhǎng)度,約39.9548, 這比理想的半個(gè)黃鐘即40.5還差一點(diǎn),但也無(wú) 可奈何。同時(shí),這也產(chǎn)生了5個(gè)變化的音。當(dāng) 西方人在文藝復(fù)興時(shí)期做出同樣的計(jì)算時(shí),就 把這幾個(gè)音制成了小鍵琴和大鍵琴的黑鍵。但 五度相生律畢竟古老,它的缺陷非常嚴(yán)重:七 個(gè)基本音只有純五度和純四度一種和諧關(guān)系,其余大三度是81/64(C—E),小三度是32/27 (E—G),都不是簡(jiǎn)單的整數(shù)比,嚴(yán)重限制了 音樂(lè)的可能。歐洲人嘗試了很多修正法,一種 叫作純律的做法是給E的弦長(zhǎng)做了些微小的調(diào) 整,乘上了80/81這個(gè)很接近1的數(shù)字,使得C— E大三度成了5/4,E—G小三度成了6/5——用 類(lèi)似的方法修改A和B——但這也無(wú)非是拆東墻補(bǔ)西墻,不和諧仍然顯著。另一類(lèi)稍好的做 法稱(chēng)為中庸律,就是讓五度變得平均,把這些 不和諧分?jǐn)偟簦@樣純五度的變化不甚劇烈, 而大三度和小三度都將變得和諧——這類(lèi)實(shí)踐在16世紀(jì)以后的歐洲豐富起來(lái),和聲樂(lè)理因此 迅速發(fā)展,效果華麗講究對(duì)位的復(fù)調(diào)音樂(lè)漸入 佳境。

    與此同時(shí),中國(guó)人算數(shù)的功力更加精湛出眾:既然五度相生律讓人們養(yǎng)成了將二倍的 頻率分成十二份的習(xí)慣,那么在最理想的條件下,就應(yīng)該將這十二份構(gòu)成等比數(shù)列,這個(gè)比值顯然是2的12次方根,一個(gè)無(wú)理數(shù),本來(lái)就不能以簡(jiǎn)單整數(shù)表示,這就是五度相生律和純律那些瑕疵的來(lái)源,而中庸律已然摸到了門(mén)道,所以好用很多,只是算數(shù)不夠強(qiáng)大。于是在明萬(wàn)歷十二年(1584),東方藝術(shù)百科全書(shū)式的人物朱載堉(1536—1610)用算盤(pán)硬生生精確計(jì)算出了2的12次方根的25位小數(shù),推出了全新的“十二平均律”。2的12次方根雖然是個(gè)無(wú)理數(shù),但它們的兩兩比值卻非常接近五度相生律的簡(jiǎn)單整數(shù)比,讓人耳難以察覺(jué),同時(shí)排除了五度相生的瑕疵,這種無(wú)懈可擊的生律法經(jīng)意大利傳教士利瑪竇介紹給了法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家梅森,寫(xiě)進(jìn)《宇宙和諧》(HarmonieUniverselle),這或許給歐洲音樂(lè)帶來(lái)了至關(guān)重 要的啟發(fā),研究如何將無(wú)理數(shù)的不和諧均攤在所有的音上。巴赫因此創(chuàng)作了精湛的賦格與卡農(nóng),將巴洛克音樂(lè)推上了空前的高峰,再后來(lái)有了更加準(zhǔn)確的鋼琴,歐洲的音樂(lè)才漸漸有了今天的模樣。

    此后歐洲音樂(lè)創(chuàng)作的技法和觀念,從巴洛克時(shí)期發(fā)展成熟的各種復(fù)調(diào)手法伊始,從某種程度上來(lái)說(shuō)更是一場(chǎng)數(shù)字的游戲,比如各種對(duì)主題的倒影、逆行和倒影逆行技法的運(yùn)用。整個(gè)巴洛克時(shí)期、古典時(shí)期和浪漫主義時(shí)期通用的功能和聲,也是和數(shù)學(xué)模式緊密相關(guān)的。比如V—I就能確立一個(gè)新調(diào),或者傳統(tǒng)的轉(zhuǎn)調(diào)都?? 是在近關(guān)系調(diào)之間轉(zhuǎn),或者模進(jìn)中的“首調(diào)模進(jìn)”和“變調(diào)模進(jìn)”,本質(zhì)上都是長(zhǎng)久以來(lái)從數(shù)學(xué)的邏輯推導(dǎo)出來(lái)的。

    到了20世紀(jì)初,勛伯格打破傳統(tǒng)調(diào)性體系后,不論是自由無(wú)調(diào)性還是序列音樂(lè),都是建立在“音集”理論上的。這個(gè)“音集”,就是把一個(gè)音高組合的材料數(shù)字化,然后再用各種方式進(jìn)行變形和變奏。再到后來(lái),當(dāng)電子音樂(lè)發(fā)展起來(lái)以后,很多電子音樂(lè)“創(chuàng)作”的軟件或程序,其本身就是一種編程行為而不是傳統(tǒng)的音樂(lè)創(chuàng)作思維了。也就是說(shuō),只要是以音程和音階及其移位作為基本的音樂(lè)理論基礎(chǔ)和創(chuàng)作素材的音樂(lè)作品,都是和數(shù)學(xué)思維緊密相關(guān)的。

    二、聲音的藝術(shù)與耳朵的特性

    關(guān)于音樂(lè)和數(shù)學(xué)的討論,最經(jīng)典的聯(lián)系就是傅里葉變換,從我們?nèi)粘?duì)聲音的感知,到樂(lè)曲的寫(xiě)作編排,它們的本質(zhì)都離不開(kāi)這五個(gè)字;但是我們的耳朵并不需要拿起筆去做微積分來(lái)計(jì)算傅里葉變換,因?yàn)榇笞匀坏倪M(jìn)化,讓我們的耳朵擁有著更為微妙的方式去感受這個(gè)世界。

    在19世紀(jì),數(shù)學(xué)家傅里葉證明了任何周期函數(shù)都可以寫(xiě)作正弦函數(shù)的和,而聲波正是一種周期函數(shù), 聲音的三種品質(zhì):音量、音調(diào)、音色分別對(duì)應(yīng)該函數(shù)的振幅、頻率和分解得到的正弦函數(shù)序列。簡(jiǎn)單來(lái)講,傅里葉變換就是把“隨著時(shí)間變化的波動(dòng)”變成“固定數(shù)值的頻率”來(lái)表示。再具體到聲音上面,聲音是由振動(dòng)產(chǎn)生的,而振動(dòng)則是隨著時(shí)間往返重復(fù)變化的位移,那么最簡(jiǎn)單直接的感受振動(dòng)的方式,就是感受每一個(gè)時(shí)刻對(duì)應(yīng)的位移。但是,如果這個(gè)振動(dòng)的位移變化的規(guī)律是固定不變的呢?比如,是按照相同的時(shí)間間隔持續(xù)往返的變化?如果老老實(shí)實(shí)去描述它每一個(gè)時(shí)刻的位移,就會(huì)產(chǎn)生大量重復(fù)的信息。因此我們可以重新定義一個(gè)物理量,即“頻率”,來(lái)概括這些冗余的信息。頻率描述的就是一個(gè)振動(dòng)的快慢。這就是傅里葉變換所做的事情,而我們的耳朵則無(wú)時(shí)無(wú)刻不在做這樣的事情——把振動(dòng)變換成頻率的描述,然后傳遞給大腦。因此我們的一切有關(guān)聲音的藝術(shù)也圍繞著我們耳朵的這個(gè)特性而展開(kāi)。

    聲音通過(guò)外耳被收集,在中耳,也就是鼓膜和三個(gè)聽(tīng)小骨,被放大,最后傳遞到內(nèi)耳被轉(zhuǎn)換成神經(jīng)信號(hào)。在內(nèi)耳,最主要的感受聲音的器官叫作耳蝸,它像蝸牛殼一樣,是一個(gè)螺 旋形的結(jié)構(gòu);而耳蝸內(nèi)部分布著大量的聽(tīng)覺(jué)毛細(xì)胞,當(dāng)有聲音進(jìn)入耳朵里的時(shí)候,耳蝸就會(huì) 接收到聲音的振動(dòng);耳蝸有一個(gè)特性,就是由于基底膜的材質(zhì)、毛細(xì)胞的形態(tài)等不同,特定的位置只對(duì)特定的頻率敏感。耳蝸的最中心處對(duì)最低的頻率敏感,對(duì)人類(lèi)來(lái)說(shuō),這個(gè)頻率大 概是20Hz,而越往外則對(duì)高頻越敏感。這樣一 來(lái),在耳蝸里,聲音就按照不同的頻率被分開(kāi)了。不同位置的毛細(xì)胞,在受到其對(duì)應(yīng)的特定頻率 的振動(dòng)的刺激后就會(huì)產(chǎn)生神經(jīng)沖動(dòng);不同位置的毛細(xì)胞產(chǎn)生的神經(jīng)沖動(dòng)傳遞到大腦,大腦就可以分辨出不同頻率的聲音了。這就完成了人 耳內(nèi)部的傅里葉變換。

    由此我們把持續(xù)的振動(dòng)轉(zhuǎn)換為固定的頻率去感受聲音。比如在樂(lè)譜中,一個(gè)音符可以傳達(dá)出兩個(gè)信息:頻率(音高)和持續(xù)的時(shí)長(zhǎng)。實(shí)際上,當(dāng)我們奏響音符的時(shí)候,發(fā)出來(lái)的是 持續(xù)的振動(dòng)。然而,對(duì)于同樣頻率的振動(dòng),我們只需要用某個(gè)特定位置的小黑點(diǎn)來(lái)代表就可以了。這個(gè)小黑點(diǎn)的上下位置,在音樂(lè)里,我們稱(chēng)為音高;而在物理上,我們就把它稱(chēng)為振動(dòng)的頻率。樂(lè)譜這樣的特性為音樂(lè)的發(fā)展帶來(lái)了極大的便利,否則如果我們需要依賴(lài)一系列變化的波動(dòng)來(lái)記錄音樂(lè),那么我們的樂(lè)譜將會(huì)復(fù)雜到無(wú)法辨認(rèn)。

    三、音樂(lè)是無(wú)法量化的美感和意境

    關(guān)于這一結(jié)論,來(lái)源于筆者近期看到的將神經(jīng)科學(xué)引入音樂(lè)研究的課題。研究音樂(lè)本質(zhì)上是研究我們自己,音樂(lè)、聲音本身不產(chǎn)生美,它們只是美的誘餌。這又可以聯(lián)想到一個(gè)問(wèn)題——為什么大眾會(huì)覺(jué)得現(xiàn)代派的音樂(lè)難以入耳,而莫扎特的音樂(lè)大眾會(huì)覺(jué)得好聽(tīng)?筆者認(rèn)為這也可以從神經(jīng)科學(xué)的角度來(lái)回答。首先莫扎特的音樂(lè)和聲很樸素,更接近數(shù)學(xué)的和諧,這種好聽(tīng)是屬于自然科學(xué)的;但后期比如斯特拉文斯基,大概就很難有大眾能聽(tīng)得進(jìn)去了,但搞音樂(lè)的人,水平越高,越是能“聽(tīng)懂”,反而會(huì)覺(jué)得好聽(tīng)。這就是一個(gè)類(lèi)似“墻上的污點(diǎn)”的道理,盯得時(shí)間久了,污點(diǎn)之間就會(huì)在腦中生發(fā)出某種聯(lián)系,最后變成一副有意義的供欣賞的畫(huà)。同理,搞音樂(lè)的人對(duì)和聲的欣賞需求遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了莫扎特時(shí)期,他們會(huì)無(wú)限細(xì)分和聲排列組合的可能性,這樣一來(lái)他們欣賞音樂(lè)的需求就從莫扎特到貝多芬,從柴可夫斯基到瓦格納,從拉赫瑪尼諾夫到斯特拉文斯基,再到最后無(wú)調(diào)性音樂(lè),一路下來(lái)他們不斷地在腦海中無(wú)限細(xì)分“不協(xié)和到協(xié)和解決”的原理。

    所以整個(gè)過(guò)程就是人腦自己跟自己玩的一 個(gè)無(wú)限拆分游戲,大腦不斷渴望尋求更新鮮的聲音。聽(tīng)音樂(lè)的美感跟看小說(shuō)、電影其實(shí)是一樣的,讓大腦興奮的永遠(yuǎn)是劇情矛盾的升級(jí)到矛盾解決后的暢快淋漓,一部電影僅有單純的和諧肯定是索然無(wú)味的,音樂(lè)也一樣,從頭到尾C大三和弦重復(fù)五分鐘不叫美感,而G屬七和弦到C大三才產(chǎn)生美感,實(shí)際上就是和電影一樣注重矛盾沖突的解決過(guò)程。

    筆者對(duì)于用神經(jīng)科學(xué)來(lái)回答音樂(lè)“悅耳” 的問(wèn)題并不專(zhuān)業(yè),只能給出淺顯的理解,即由于人腦的獎(jiǎng)勵(lì)機(jī)制并不平滑可導(dǎo),所以用音樂(lè)試錯(cuò)成本低。音樂(lè),或者說(shuō)藝術(shù),之所以觸及靈魂,是因?yàn)樽饔糜谏窠?jīng)柱級(jí)的獎(jiǎng)勵(lì)機(jī)制,其目的在于幫助大腦開(kāi)發(fā)新功能的神經(jīng)柱;而數(shù)學(xué),是系統(tǒng)提升無(wú)法構(gòu)建某種功能神經(jīng)柱的環(huán)境,所以無(wú)法觸發(fā)獎(jiǎng)勵(lì)機(jī)制,普遍指多巴胺。

    回到音樂(lè)與數(shù)學(xué)的關(guān)系,既然音樂(lè)的本質(zhì)是數(shù)學(xué),但數(shù)字化的東西卻始終缺一點(diǎn)點(diǎn),即感情。感情表達(dá)不是寫(xiě)一個(gè)記號(hào)就能清晰完成的,每一個(gè)失誤都可能造就經(jīng)典,每一根沒(méi)調(diào)準(zhǔn)的弦也有可能形成鮮明的風(fēng)格,每一次演奏者腦子里形成的畫(huà)面也會(huì)被接受者重新理解,所以感情是不可量化的。所以, 對(duì)比錄音錄像,大家可能會(huì)更喜歡聽(tīng)現(xiàn)場(chǎng)演唱;對(duì)比完美無(wú)瑕的midi(樂(lè)器數(shù)字化接口)制品(可理解為計(jì)算機(jī)合成的音樂(lè)),大家更喜歡有錯(cuò)誤和不穩(wěn)定發(fā)揮的bigband(大樂(lè)團(tuán))。類(lèi)比來(lái)說(shuō),正是因?yàn)橐魳?lè)有其不確定性,以及無(wú)法量化的美感和意境,才使它成為數(shù)學(xué)可以解釋、可以評(píng)論,但無(wú)法替代的藝術(shù)。

    四、結(jié)語(yǔ)

    萊布尼茲有一句話(huà), “音樂(lè)是數(shù)學(xué)在靈魂 中無(wú)意識(shí)的運(yùn)算”,音樂(lè)正如有情緒的數(shù)學(xué),而數(shù)學(xué)則像最純粹的音樂(lè),樂(lè)音激蕩,而數(shù)字翩躚,音樂(lè)與數(shù)學(xué)恰似人類(lèi)心智開(kāi)出的兩朵玫瑰。雖然樂(lè)律是音樂(lè)樂(lè)音體系的基石,但樂(lè)律 與音樂(lè)就像軟件編程與軟件操作之間的關(guān)系,前者需要精密的計(jì)算邏輯,而后者只需要把軟件當(dāng)作工具來(lái)運(yùn)用即可,無(wú)須關(guān)心這個(gè)軟件是如何編寫(xiě)的。而音樂(lè)與數(shù)理之間的關(guān)系,也并 非一定要牽扯到理性與感性之間的矛盾與平衡。

    [作者簡(jiǎn)介]張?zhí)耜?,女,漢族,湖北黃石人,南京藝術(shù)學(xué)院碩士研究生在讀,研究方向?yàn)槊褡逡魳?lè)學(xué)。

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