“線性代數(shù)”線上教學(xué)的實(shí)踐與探索

沈嚇妹

（寧德師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，福建 寧德 352100）

2020年的上半年是一個特殊的時期，教師陸續(xù)開展線上教學(xué)，學(xué)生也在家自主學(xué)習(xí).在教師與學(xué)生的相互配合下，這種“空中課程”如火如荼，雙方都收獲頗豐.“線性代數(shù)”是高校非數(shù)學(xué)專業(yè)的公共基礎(chǔ)課.它以線性方程組為主線，將行列式理論、矩陣?yán)碚?，向量空間理論等知識串聯(lián)起來，既培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)計(jì)算能力，又訓(xùn)練學(xué)生的抽象思維能力，為學(xué)習(xí)后續(xù)課程奠定堅(jiān)實(shí)的代數(shù)基礎(chǔ).

隨著信息技術(shù)的不斷發(fā)展，線上教學(xué)也成為了教育工作者推崇的教學(xué)模式.學(xué)習(xí)通是基于微服務(wù)架構(gòu)打造的課程學(xué)習(xí)與管理分享平臺，可通過手機(jī)端和瀏覽器訪問.它是利用超星20 多年來創(chuàng)造的圖書、期刊、視頻、原創(chuàng)等資源，為師生提供一站式工作與學(xué)習(xí)平臺.教師可以在學(xué)習(xí)通上進(jìn)行建課與授課.建課包括門戶編輯、資料云盤上傳與課程建設(shè).授課包括班級名單添加、考核方式權(quán)重設(shè)定、課堂教學(xué)、督學(xué)、結(jié)課與成績導(dǎo)出.

針對“線性代數(shù)”中存在概念抽象、性質(zhì)繁多、計(jì)算煩瑣的特點(diǎn)，筆者按照“課前準(zhǔn)備—課中實(shí)施—課后反思—課程考核”的教學(xué)模式進(jìn)行系統(tǒng)性教學(xué)，以最大化提升教學(xué)質(zhì)量.運(yùn)行方式見思維導(dǎo)圖（圖1）.

圖1 “線性代數(shù)”線上教學(xué)思維導(dǎo)圖

1 課前準(zhǔn)備

課前準(zhǔn)備是實(shí)踐好線上教學(xué)的重要前提.除了上傳視頻與課件外，還要提前開放教學(xué)視頻，并精心制定學(xué)習(xí)任務(wù)預(yù)告與設(shè)計(jì)提問，為后續(xù)線上教學(xué)工作正常運(yùn)行做好充分準(zhǔn)備.

1.1 開放教學(xué)視頻

首先，由于網(wǎng)格平臺教學(xué)資源豐富，根據(jù)本課程的教學(xué)大綱選擇合適的教學(xué)視頻；其次，結(jié)合教學(xué)進(jìn)度，提前開放即將學(xué)習(xí)的教學(xué)視頻，設(shè)置隱藏后續(xù)的教學(xué)視頻.

1.2 制定學(xué)習(xí)任務(wù)預(yù)告

學(xué)習(xí)任務(wù)預(yù)告是課前準(zhǔn)備的一個重要環(huán)節(jié)，包括教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)、作業(yè)布置、提問時間、簽到時間以及其他需要注意的事項(xiàng).通過制定并發(fā)布學(xué)習(xí)任務(wù)預(yù)告，不僅使學(xué)生事先明白本節(jié)課將要學(xué)習(xí)的重要知識，也縮小了師生間的距離，學(xué)生不是孤軍奮戰(zhàn)，而是教師一起并肩作戰(zhàn)，使學(xué)生更有信心戰(zhàn)勝困難，達(dá)到學(xué)習(xí)效果.

比如，在教授“矩陣的初等變換”[1]時，提前預(yù)告學(xué)習(xí)任務(wù)，提示學(xué)生首先要理解視頻中引例的“高斯消元法”，同時輔助課件學(xué)習(xí)，進(jìn)而讓學(xué)生掌握矩陣初等行變換與初等列變換的定義.長此以往，學(xué)生會期待著學(xué)習(xí)預(yù)告的到來，這極大程度地調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.

1.3 巧設(shè)提問

啟發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵詞有：定向、架橋、置疑、揭曉[2].教師首先要明確希望學(xué)生解決什么問題，其次要考慮希望學(xué)生解決的問題與現(xiàn)實(shí)差距之間的距離，應(yīng)該設(shè)計(jì)哪些問題或進(jìn)行哪些活動架橋鋪路來化解難題[2].因此，課前精心設(shè)計(jì)提問非常必要.提問內(nèi)容包括定義、性質(zhì)、公式、計(jì)算等，還可以準(zhǔn)備較高難度的問題，以便考查學(xué)生的學(xué)習(xí)掌握情況.

比如，在教授“矩陣的運(yùn)算”時，學(xué)生需要掌握兩個矩陣乘積的計(jì)算.此時可以首先提問兩個矩陣相乘的條件、怎樣運(yùn)算、結(jié)果是什么等.還可以提問“矩陣乘法滿足哪些運(yùn)算律、不滿足哪些運(yùn)算律”，引領(lǐng)學(xué)生對已有知識結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)向更高層次的思考.

2 課中實(shí)施

在課前充分的準(zhǔn)備下，課中實(shí)施過程按照“簽到—跟蹤—提問”的形式有效地進(jìn)行.

首先，發(fā)布簽到“預(yù)備鈴”.在上課前半小時發(fā)布簽到，通過簽到提醒學(xué)生做好線上上課準(zhǔn)備.

其次，“現(xiàn)場”跟蹤.第一節(jié)課是學(xué)生自學(xué)教學(xué)視頻與課件.同時，通過學(xué)習(xí)通平臺，跟蹤學(xué)生在線學(xué)習(xí)進(jìn)度，提醒學(xué)生做好筆記，解答學(xué)生在學(xué)習(xí)時遇到的問題.

然后，推送提問、解疑釋難.第二節(jié)課是師生互動.把事先精心設(shè)計(jì)好的問題依次推送給學(xué)生.互動過程中，可以鼓勵學(xué)生適當(dāng)查閱筆記，耐心思考.在學(xué)生提交作答后，認(rèn)真給予一一批改與明確的評價.同時，學(xué)生也會提出相關(guān)問題，比如“行列式兩行或兩列相同，為什么行列式等于0？”“逆矩陣的應(yīng)用有哪些？”“什么時候使用初等列變換？”等，教師要及時給予答復(fù).

最后，推送總結(jié)性知識.臨近下課給出本節(jié)課的總結(jié).比如“計(jì)算行列式的基本方法”“矩陣乘法不滿足的運(yùn)算律”“向量組線性表示的判定方法”等，還可以做些簡明分析圖（圖2），讓知識系統(tǒng)化，幫助學(xué)生理解，并提醒學(xué)生注意一些容易出錯的地方.

圖2 向量組線性表示判定方法的分析圖

著名教師沈大安說過：“課堂教學(xué)要給學(xué)生自主學(xué)習(xí)的空間，將‘預(yù)設(shè)’與‘生成’結(jié)合起來，好的課堂效果只有在師生互動中才能生成.”課中實(shí)施是線上教學(xué)的核心部分，通過學(xué)生的學(xué)、師生的互動，高效圓滿地完成課中實(shí)施.

3 課后反思

課后反思包括“存在問題反思”與“改進(jìn)措施反思”.其目的在于改進(jìn)線上教學(xué)，促進(jìn)教師自我教育和學(xué)生全面發(fā)展.課后反思不但可以促進(jìn)教師由經(jīng)驗(yàn)型教師轉(zhuǎn)向反思型教師，而且可以檢查是否達(dá)到教學(xué)目標(biāo)、學(xué)生是否主動學(xué)習(xí)、學(xué)習(xí)質(zhì)量是否有提高、提問的設(shè)計(jì)是否科學(xué)、提問時間安排是否合適、某種教育行為是否會對學(xué)生造成傷害等.

3.1 存在問題反思

存在問題反思指的是對課前準(zhǔn)備、課中實(shí)施和課后批改作業(yè)中各方面存在的問題逐一回顧與深思.主要存在如下問題：①個性化問題不容易得到解決；②學(xué)生沒有養(yǎng)成做學(xué)習(xí)筆記的習(xí)慣；③小部分學(xué)生學(xué)習(xí)不主動，不及時改正作業(yè)中的錯誤；④師生互動存在局限性.

3.2 改進(jìn)措施反思

針對“存在問題反思”映出的問題，逐一思考解決問題的方法.

①提供一題多解進(jìn)行對比

比如，在教授“行列式的性質(zhì)”時，學(xué)生在應(yīng)用行列性質(zhì)計(jì)算行列式時經(jīng)常出錯.這時，可以采取“一題多解”的方法進(jìn)行對比，讓學(xué)生進(jìn)一步理解：r3+2r1表示把第一行的2 倍加到第三行，行列式不變；2r3+r1表示把第一行加到第三行的2倍，行列式擴(kuò)大2 倍，因此原行列式要乘以1/2，才能保持左右相等.

②提醒學(xué)生做好學(xué)習(xí)筆記

提醒學(xué)生對有關(guān)課前給出的注意點(diǎn)、課中遇到的重要知識點(diǎn)一一做好記錄.比如：余子式與代數(shù)余子式的定義以及它們兩者間的關(guān)系.溫馨提示學(xué)生，把每次課上所做的小筆記看作是“微記”，期末累加起來，就是一筆大的收獲，便于隨時查閱.

③提醒學(xué)生在提問時積極發(fā)言，做到當(dāng)天任務(wù)當(dāng)天清，或是當(dāng)周任務(wù)當(dāng)周清.必要時，可以進(jìn)行選人發(fā)言.

④鼓勵學(xué)生在各種網(wǎng)絡(luò)平臺隨時提問，堅(jiān)持“打破沙鍋問到底”的學(xué)習(xí)精神.

4 課程考核

目前，課程考核有過程性考核和形成性考核.

4.1 過程性考核

過程性考核指的是課后推送針對性測試.結(jié)合教學(xué)目標(biāo)、學(xué)生掌握情況，精心設(shè)計(jì)一些難易適中的客觀題，比如填空題、選擇題、判斷題，提前導(dǎo)入學(xué)習(xí)通.選擇合適時間開放，并提醒學(xué)生按時參加測試.

同時，及時查看學(xué)生的作答情況，并做好答案解析（圖3）.在習(xí)題課時，對出錯率較高的題目進(jìn)行師生互動，課后把答案解析發(fā)布到學(xué)習(xí)通資料模塊，供學(xué)生們查閱.

圖3 答案解析

4.2 形成性考核形

形成性考核指的是對某一個專題給出測試方案，由學(xué)生現(xiàn)場作答，在規(guī)定時間內(nèi)提交.這樣的考核可以開展多次.

比如，完成第一章和第二章教學(xué)內(nèi)容后，開展知識點(diǎn)總結(jié)考核.在規(guī)定時間內(nèi)，學(xué)生把總結(jié)的知識點(diǎn)拍照提交.其目的在于讓學(xué)生復(fù)習(xí)相關(guān)知識，以便今后能輕松自如地運(yùn)用它們.這種考核不會對學(xué)生心理造成太大的壓力.如果學(xué)生提前完成作品，提醒學(xué)生前往學(xué)習(xí)通資料模塊閱讀“線性代數(shù)發(fā)展簡史”，拓展視野.由于知識點(diǎn)總結(jié)是主觀題，需要教師評分，因此需要制定一份評分參考標(biāo)準(zhǔn)（表1）.

表1 第一、二章知識點(diǎn)總結(jié)評分參考標(biāo)準(zhǔn)

批改作業(yè)發(fā)現(xiàn)：一方面，大部分學(xué)生都非常用心地完成作業(yè)（圖4-圖5）；另一方面，失分率較高的是“計(jì)算行列式的基本方法”“矩陣乘法不滿足的運(yùn)算律”“分塊對角矩陣的性質(zhì)”.

圖4 第一章行列式知識點(diǎn)總結(jié)

圖5 第二章矩陣及其運(yùn)算知識點(diǎn)總結(jié)

5 結(jié)束語

在學(xué)校的優(yōu)化管理、教師的循循善誘與學(xué)生的有力配合下，線上教學(xué)取得了良好的教學(xué)效果.但也存在不足，比如：對學(xué)生的管控不到位、師生互動不方便[4]、課堂學(xué)習(xí)氛圍不足、對師生視力影響大，等.線上與線下混合式教學(xué)是一種趨勢.在教學(xué)改革的過程中，提倡教師不斷提升信息化教學(xué)能力，開展形式多樣化的混合式教學(xué)，不斷提升教學(xué)質(zhì)量.