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    如何讓紙飛機(jī)飛得更遠(yuǎn)

    2021-10-15 17:43:43何芳
    關(guān)鍵詞:伯努利紙飛機(jī)升力

    何芳

    我們從小就喜歡玩紙飛機(jī)這個(gè)游戲,并不由自主得發(fā)起與同伴之間的紙飛機(jī)大賽,那么怎樣才能讓紙飛機(jī)飛得更高更遠(yuǎn)呢?今天就從數(shù)學(xué)角度來分析這個(gè)問題:假定紙飛機(jī)的機(jī)翼是平面,通過建立合理的數(shù)學(xué)模型,計(jì)算出使紙飛機(jī)盡可能飛得遠(yuǎn)的最佳投擲角度。

    1問題表述

    紙飛機(jī)飛行的動力來自于出手時(shí)的動能,在投出后,若是飛機(jī)的高度保持不變,而空氣阻力又會逐漸減緩飛機(jī)的速度,此時(shí)紙飛機(jī)便會用犧牲重力勢能的方式換取繼續(xù)向前運(yùn)動的動能,因此我們看到的紙飛機(jī)多成一條滑翔軌跡。機(jī)翼與機(jī)身的比例是否恰當(dāng),投擲力度是否合理,紙飛機(jī)的重心是否合理、投擲角度是否科學(xué)等因素都是紙飛機(jī)飛的高,飛得遠(yuǎn)的關(guān)鍵。

    2.問題分析

    通過對紙飛機(jī)受力分析,研究紙飛機(jī)的拋出角度

    紙飛機(jī)自身沒有動力,在拋出瞬間獲得一定初速度,飛行時(shí),機(jī)翼使空氣分流,形成上下壓力差,產(chǎn)生機(jī)翼的升力,升力與阻力合成為空氣動力,維持紙飛機(jī)的飛行。因此需要根據(jù)伯努利定律,對紙飛機(jī)進(jìn)行受力分析,研究紙飛機(jī)的受力情況,討論氣流遇到紙飛機(jī)時(shí),如何被機(jī)翼分成上下兩股氣流,形成壓力差從而產(chǎn)生升力。

    3問題的求解

    (1)氣壓與氣流對機(jī)翼的作用

    根據(jù)高一物理的學(xué)習(xí),我們可以知道空氣流速越快,壓強(qiáng)越小;反之空氣流速越慢,壓強(qiáng)越大。氣流遇到紙飛機(jī)時(shí),被分為兩股氣流,部分從機(jī)翼的上表面流走,部分從機(jī)翼的下部分流走。由于機(jī)翼的上表面比下表面凸出,所以上表面的氣體流速比下表面的流速快,機(jī)翼的上表面壓力比機(jī)翼的下表面壓力小,產(chǎn)生壓力差。兩邊相互較力,產(chǎn)生向上的推力,推動紙飛機(jī)飛行。這個(gè)原理簡單的數(shù)字表達(dá)式就是伯努利定律,以下式表示,其中p表示壓力。

    P+1/2pv2=常數(shù)

    (2)紙飛機(jī)受力原理

    a動力來源:紙飛機(jī)自身是沒有動力的,它只能依靠被拋出時(shí)所受的瞬間推力,上升到一定高度時(shí)依靠自身重力向前滑行。

    b阻力原理:空氣會對機(jī)身產(chǎn)生摩擦力,因此為增進(jìn)飛行效率,機(jī)型應(yīng)盡量設(shè)計(jì)得接近流線型,以減少阻力。

    c升力原理:升力來源于前進(jìn)時(shí)在主翼上產(chǎn)生的向上的力,而空氣浮力會影響升力:流體對物體的浮力是由上下壓力差而產(chǎn)生的。對于紙飛機(jī)來說,它的機(jī)翼很薄,機(jī)翼的上、下面與空氣的接觸面幾乎在同一高度,因此壓力差不大,假設(shè)可忽略不計(jì)。

    d牛頓第三定律(作用力與反作用力定律):對紙飛機(jī)的機(jī)翼進(jìn)行受力分析:拋出紙飛機(jī)時(shí),會與水平面成一定的夾角,斜向上投擲。此時(shí)機(jī)身與水平線的夾角稱為攻角。空氣會給紙飛機(jī)一個(gè)垂直于機(jī)翼的的力量,相對的機(jī)翼也會給空氣一個(gè)反作用力,這個(gè)力量的垂直分力即為飛機(jī)的升力,水平分力成為阻力的一部分。

    (4)紙飛機(jī)的受力分析

    受力分析方程:

    F2= Fsinθ

    F升= F2cosθ = Fsinθcosθ= 1/2Fsin2θ

    F阻= F2sinθ= Fsinθsinθ= 1/2Fsin2θ

    由上述方程解得當(dāng)θ=45°可求得F升有最大值,當(dāng)θ=90°時(shí)F阻有最大值,F(xiàn)升此時(shí)為0。

    且此時(shí)F升=F阻

    1/2Fsin2θ= Fsin2θ

    1/2F2sinθcosθ= 1/2Fsinθcosθ

    sinθ=cosθ所以θ=45°

    (5)用運(yùn)動學(xué)知識建立最基礎(chǔ)的紙飛機(jī)運(yùn)動模型

    若t=0時(shí)刻,紙飛機(jī)被拋出,拋出時(shí)的速度為v,拋出角為θ,紙飛機(jī)的飛行軌跡如圖4所示,分析過程如下:

    x(t)= vtcosθ

    y(t)= vtsinθ-(gt2/2)

    y/x=【vtsinθ-(gt2/2)】/vtcosθ

    y/x=tanθ-(gt/2vcosθ)

    可得紙飛機(jī)的運(yùn)動軌跡方程:

    y= xtanθ-(x2g/2v2cos2θ)

    問題可轉(zhuǎn)化為求(式1)式的極值問題:

    對y=xtanθ-(x2g/2v2cos2θ),求導(dǎo)得:

    y'= tanθ-(xg/v2cos2θ)

    當(dāng)y'=0時(shí),x=sin2θv2/2g。 當(dāng)θ=π/4時(shí),x能達(dá)到最值xmax =v2/2g,我們得到最佳拋出角為:θ=π/4

    考慮升力,阻力與機(jī)翼仰角的關(guān)系,如圖所示

    結(jié)論:當(dāng)拋出角度為45°時(shí),紙飛機(jī)的升力達(dá)到最大值,所以,拋出角為45度時(shí),飛行距離會提高

    4總結(jié)

    因此投擲紙飛機(jī)的最佳角度約45度,同時(shí)應(yīng)設(shè)計(jì)流線型機(jī)型,選擇最佳的紙飛機(jī)結(jié)構(gòu)以及選擇硬度較大的紙等。同時(shí)猜想這個(gè)角度可以適用于投擲類項(xiàng)目,如鉛球,鏈球等。

    5. 文獻(xiàn)參考:伯努利定律

    在一個(gè)流體系統(tǒng),比如氣流、水流中,流速越快,流體產(chǎn)生的壓力就越小,這就是被稱為“流體力學(xué)之父”的丹尼爾·伯努利1738年發(fā)現(xiàn)的“伯努利定律”。

    這個(gè)壓力產(chǎn)生的力量是巨大的,空氣能夠托起沉重的飛機(jī),就是利用了伯努利定律。飛機(jī)機(jī)翼的上表面是流 暢的曲面,下表面則是平面。這樣,機(jī)翼上表面的氣流速度就大于下表面的氣流速度,所以機(jī)翼下方氣流產(chǎn)生的壓力就大于上方氣流的壓力,飛機(jī)就被這巨大的壓力差“托浮”住了。

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