探究課本習(xí)題、提高復(fù)習(xí)效率

摘要：眾所周知，每年各地的中考試題大都源于教材，但高于教材，所以對(duì)課本習(xí)題的研究就成為必然，同時(shí)也是教師的責(zé)任和義務(wù)，體現(xiàn)了教師的基本功. 同時(shí)通過(guò)題目變化，滲透數(shù)學(xué)思想方法，積累解題經(jīng)驗(yàn)，提高復(fù)習(xí)效率，下面就一道課本習(xí)題作為中考復(fù)習(xí)中的探究談點(diǎn)做法，以期拋磚引玉。

關(guān)鍵詞：中考;證法;探究

人民教育出版社2013年6月版八年級(jí)下冊(cè)69頁(yè)第14題，題目：四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∠AEF=90°，且EF交正方形ABCD外角平分線CF于點(diǎn)F. 求證：AE=EF.（圖1）

一、證法探究

分析：思路1，抓住∠BAE和∠CEF相等，構(gòu)造與△ECF全等的三角形，從而會(huì)想到AB的中點(diǎn)G，連接EG，（如圖2），證△AGE≌△ECF，問(wèn)題得到解決。

思路2，構(gòu)造與△ABE全等的三角形，從而會(huì)想到過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，（圖3）直接證△ABE與△EHF全等較困難，觀察可知這兩個(gè)三角形相似，又有CH=FH，設(shè)EC=a，則AB=2a，BE=a，設(shè)CH=b，則FH=b.由△ABE∽△EHF得 ，整理得2ab=a2+ab，a=b， ，問(wèn)題得到解決。

思路3，連接AF，將AE、EF放在△AEF中，將證明線段相等轉(zhuǎn)化為證明角相等。連接AC，（圖4）易證∠ACF=90°，又∠AEF=90°，所以A、E、C、F四點(diǎn)共圓，所以∠EAF=∠FCH=45°，問(wèn)題得到解決。

二、題目中其余線段之間或角與角之間結(jié)論探究

結(jié)論1.設(shè)EF交DC于點(diǎn)M，由相似可知CM= AB，從而可以求AB的長(zhǎng)，求CM的長(zhǎng)。

結(jié)論2.連接DF，由原題結(jié)論易知△DCF是等腰直角三角形，從而可設(shè)置為：連接DF，試確定△DEF的形狀并說(shuō)明理由。

結(jié)論3.探究CF與正方形的邊長(zhǎng)之間的數(shù)量關(guān)系，由證明方法1知，CF=EG= .

三、變靜為動(dòng)

1.點(diǎn)E不是BC的中點(diǎn)，為BC上一動(dòng)點(diǎn)，且不與B、C重合，（圖5）原題中的結(jié)論還成立嗎？

由探究知，證法中的1、3可推廣到一般，那么證法2也是否可以推廣到一般呢？

設(shè)FH=x，EC=y，正方形的邊長(zhǎng)為a.由?ABE∽?EHF。所以 ，即ay=xy+y2，a=x+y.問(wèn)題解決，從而給學(xué)生一種類(lèi)比，從特殊找一般的 證明思路。

2.當(dāng)E從B向C運(yùn)動(dòng)變化時(shí)，直線EF與DC的交點(diǎn)M與點(diǎn)C之間的線段CM有一個(gè)由短到長(zhǎng)，由長(zhǎng)到短的變化過(guò)程，從而CM存在一個(gè)最大值。從而可設(shè)置為問(wèn)題一：當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，EF交CD于點(diǎn)M，求CM的最大值。

分析：由△ABE∽△ECM，設(shè)CM=y，CE=x，則BE=a-x.則 ，當(dāng)x= ?= ? 時(shí)，ymax= ?，由此可以復(fù)習(xí)建立二次函數(shù)模型求最值，滲透函數(shù)思想。

繼續(xù)延伸，當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)論如何？（圖6）證法探究，類(lèi)比原題證法1，在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)M（圖7），使AM=CE，連接ME，易證∠EMA=∠ECF=450，∠MAE=∠CEF=1350，問(wèn)題可證。原題中的方法2、3仍可證，當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，AE=EF仍然成立。

通過(guò)以上探究，在復(fù)習(xí)中，利用圖形變化，可滲透類(lèi)比、函數(shù)、由特殊到一般、運(yùn)動(dòng)變化等數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生更加靈活地掌握解題方法，使復(fù)習(xí)變得高效、高能。

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作者簡(jiǎn)介：陳健，男，出生于1978年1月29日，漢族，籍貫，貴州省遵義市正安縣，大學(xué)本科，現(xiàn)任教于正安縣第三中學(xué) ，中學(xué)數(shù)學(xué)一級(jí)教師，任本校的數(shù)學(xué)教研組組長(zhǎng)，主要研究初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)。