一種基于改進證據(jù)相似度的D-S融合算法

錢建波，王旭康，董 進，韓 偉，馮中存

(1.江蘇電子信息職業(yè)學院 現(xiàn)代教育技術中心，江蘇 淮安 223003；2. 中國電子科技集團公司第五十三研究所，天津 300000；3. 國網(wǎng)淮安供電公司，江蘇 淮安 223001；4.中國人民解放軍32703部隊，河北 石家莊 050081)

0 引言

證據(jù)理論(Dempster-Shafer，D-S)是由Dempster和Shafer對概率推理方法在有限域上進行一般化擴展得到的理論，能夠?qū)Σ煌燃壍木_度和不確定性進行描述，是一種處理不確定信息的有效方法[1-6]。在實際應用中存在沖突證據(jù)時，D-S合成規(guī)則有時會產(chǎn)生與常理相悖的結(jié)果，主要包括以下3種：‘1’信任悖論、‘0’信任悖論和信任偏移悖論[7-8]。此外，其聚焦特性會導致信度過度集中于元素較少的焦元，致使合成的準確性大幅降低。

解決D-S合成悖論的沖突證據(jù)方法有很多，主要包括修改合成規(guī)則和修改原始證據(jù)源兩大類。

(1) 基于合成規(guī)則修訂方法認為D-S證據(jù)理論合成規(guī)則存在不足，需要對其進行修改，主要方法如下：Yager合成規(guī)則[9]、孫全合成規(guī)則[10]和Smets合成規(guī)則[8]等，總體來說，此類方法的優(yōu)點在于一定程度解決悖論問題和提高算法的魯棒性；缺點在于算法復雜度隨之增加，且缺失D-S合成規(guī)則的交換性、結(jié)合性等優(yōu)良特性。具體來說，Yager合成規(guī)則認為沖突證據(jù)不能提供有用信息，將證據(jù)沖突部分的基本概率分配全部分給不確定性的焦元全集，導致可提取的實際信息較少。孫全合成規(guī)則認為證據(jù)具有同樣的可信度，即使證據(jù)間存在著沖突，也是部分可用的，通過計算證據(jù)中兩兩沖突的平均值定義證據(jù)集的有效性系數(shù)，將總沖突按照一定比例分配給各個合成命題。Smets合成規(guī)則認為證據(jù)提供的信息是可靠的，將沖突出現(xiàn)的原因歸為辨識框架的不完備，將沖突部分賦予空集，沒有遵循空集賦值為 0 標準的原則。

(2) 基于修改原始證據(jù)源的方法認為其合成規(guī)則不存在問題，但是應對高度沖突證據(jù)信息進行預處理，再使用D-S證據(jù)合成規(guī)則，主要方法如下：Murphy合成規(guī)則[11]、鄧勇合成規(guī)則[12]等，總體來說，此類方法的優(yōu)點在于很好地解決了悖論問題，也提升了聚焦效果；缺點在于證據(jù)間獨立性受到一定程度的破壞。具體來說，Murphy合成規(guī)則只是將多組證據(jù)進行簡單的平均，沒考慮到各個證據(jù)之間的相關性，沒有對證據(jù)進行實質(zhì)的分析，未區(qū)分證據(jù)的可靠程度，然而在實際運用中，復雜的環(huán)境以及個別干擾會對融合產(chǎn)生很大干擾。鄧勇合成規(guī)則是一種基于證據(jù)距離的方法，求出各證據(jù)被其他證據(jù)支持的程度，充分利用證據(jù)間的相關性，可以處理由于證據(jù)不可靠造成的沖突證據(jù)合成問題，但它不能很好地合成由于知識不完備而導致的證據(jù)間的較大沖突問題。

綜上所述，現(xiàn)有沖突證據(jù)合成方法各有其優(yōu)缺點，對于規(guī)則的修改往往會破壞D-S合成規(guī)則本身的一些優(yōu)良性質(zhì)，不利于工程應用[13-20]。本文通過構(gòu)造參考證據(jù)體、判定異常證據(jù)體，再通過D-S合成規(guī)則對數(shù)據(jù)進行融合，提出了一種基于改進證據(jù)相似度的證據(jù)合成規(guī)則方法，較其他幾種改進方法而言，本文所提合成規(guī)則在識別速度和精度方面具有明顯優(yōu)勢。

1 Dempster-Shafer證據(jù)理論

基本概率分配函數(shù)(Basic Probability Assignment，BPA)：假定Θ是辨識框架，映射m:2Θ→[0,1]被稱為Θ上一個BPA，如果滿足

(1)

式中，m(A)為事件A的信度，體現(xiàn)對事件A的支持程度；?為空集。

信任函數(shù)(Bel)：假定m是Θ上的基本概率分配函數(shù)，A為Θ的子集，稱函數(shù)Bel:2Θ→[0,1]為信任函數(shù)，若滿足

(2)

式中，Bel(A)為信任函數(shù)，表示證據(jù)對事件A為真的信任程度。

似然函數(shù)(Pl)：假定m為Θ上的基本概率分配函數(shù)，滿足式(3)的前提下，即Pl為A的似然函數(shù)，即

(3)

式中，Pl(A)為似然函數(shù)，表示證據(jù)對事件A為非假的信任程度。

Pl(A)與Bel(A)分別從不同的角度描述對事件A的信任程度，由于：

(4)

Pl(A)≥Bel(A)。

(5)

事件的不確定區(qū)間如圖1所示。

圖1 事件的不確定區(qū)間Fig.1 Uncertainty interval of events

由圖1可知，[Pl(A),1]為拒絕區(qū)間，[0,Pl(A)]為擬信區(qū)間，而[Bel(A),Pl(A)]為不確定區(qū)間。

D-S規(guī)則：假定m1和m2為同一辨識框架Θ下的2個證據(jù)，其Dempster合成規(guī)則表示為

(6)

式中，證據(jù)m1和m2均為Θ上對應的BPA；Ai和Bj分別為焦元，同時X，Ai，Bj∈2Θ；K為證據(jù)m1和m2的沖突系數(shù)，表征證據(jù)間的沖突程度，定義為：

(7)

由于D-S合成規(guī)則具有結(jié)合性，因此可以得到多個證據(jù)的合成計算公式為：

(8)

式中，

(9)

2 基于改進證據(jù)相似度的證據(jù)合成方法

2.1 構(gòu)造參考證據(jù)體

假定m1和m2表征同一辨識框架Θ={A1,A2,…,AH}上2個BPA函數(shù)，其相容系數(shù)為：

(10)

式中，證據(jù)mi(i=1,2,…,I)支持度表征如下：

(11)

進行歸一化后，可得到證據(jù)mi相應的權(quán)重系數(shù)為：

(12)

用加權(quán)平均證據(jù)作為參考證據(jù)體，即參考證據(jù)體為：

(13)

2.2 判定異常證據(jù)體

假定原證據(jù)向量與參考證據(jù)體夾角的余弦表示為cos(mi,mΜΑΕ)，并將其作為證據(jù)相似度Simi，可知：

(14)

則平均相似度為：

(15)

設置閾值為Simavg，若Simi≤Simavg，用mMAE替換該證據(jù)體，則有：

(16)

2.3 數(shù)據(jù)融合

一方面基于參考證據(jù)和證據(jù)相似度，綜合判定異常證據(jù)；另一方面處理異常證據(jù)；最后運用所提出的D-S合成規(guī)則對證據(jù)進行融合。

3 算例分析

為驗證上述基于改進證據(jù)相似度合成規(guī)則的有效性，分別選取D-S方法[2]、Yager方法[9]、孫全方法[10]、Murphy方法[11]和鄧勇方法[12]進行對比研究。經(jīng)多組證據(jù)體數(shù)據(jù)的驗證，本文所提出算法具有識別速度快和融合準確度高等優(yōu)勢。下面著重給出其中一組數(shù)據(jù)的驗證結(jié)果。

假定Θ={A,B,C}上有5個證據(jù)體，其BPA值分別分布如下：

m1:m1(A)=0.5,m1(B)=0.2,m1(C)=0.3;

m2:m2(A)=0,m2(B)=0.9,m2(C)=0.1;

m3:m3(A)=0.55,m3(B)=0.1,m3(C)=0.35;

m4:m4(A)=0.55,m4(B)=0.1,m4(C)=0.35;

m5:m5(A)=0.55,m5(B)=0.1,m5(C)=0.35。

由上述證據(jù)體可知，m2與實際情況有較大的偏差，與其他證據(jù)產(chǎn)生較大沖突，究其原因可能存在外界因素干擾、傳感器本身數(shù)據(jù)信息不可靠或是BPA模型輸出不精確等原因。

采用上述幾種方法，對相關證據(jù)體進行合成，其結(jié)果如表1所示。

表1 證據(jù)合成方法融合結(jié)果比較Tab.1 Comparison results of evidence synthesis methods

由表1可以看出，對證據(jù)體m1～m5分別采用D-S方法和Yager方法進行組合規(guī)則融合，2種方法均得出一票否決的結(jié)果。換言之，如果證據(jù)源中有一條證據(jù)完全否決焦元A，不論其他證據(jù)對焦元A的支持程度如何，上述2種方法所得m(A)值始終為0，這顯然與常理相悖。

此外，對Yager方法進一步分析可知，該方法將沖突證據(jù)的BPA函數(shù)值大部分歸入不確定項m(?)。若忽略沖突本身的信息量，將其全部指派給不確定項，雖可以解決D-S合成規(guī)則中歸一化問題，但進一步提高決策的難度。隨著后續(xù)支持焦元A的證據(jù)數(shù)目不斷增加，m(A)值仍為0，m(?)值卻在不斷增加，這顯然也與常理相悖。

孫全方法是對Yager方法的進一步改進，可解決D-S方法、Yager方法中一票否決的弊端。然而由表1可知，后續(xù)證據(jù)體m3～m5對焦元A支持度越來越多，m(A)值卻沒有得到明顯增加，而不確定項m(?)值也沒有明顯降低，根據(jù)上述融合結(jié)果系統(tǒng)仍然無法做出正確決策。

Murphy方法采用平均證據(jù)組合方法合成證據(jù)源，而鄧勇方法采用加權(quán)平均證據(jù)組合方法合成證據(jù)源，2種方法均能正確識別目標焦元A。由于Murphy方法僅對各證據(jù)進行簡單平均，未能考慮各證據(jù)間實際支持程度，使得支持程度低的證據(jù)對合成結(jié)果的影響較大；此外，該方法直到對第4個證據(jù)m4進行融合時才能正確識別目標。盡管鄧勇方法在對第3個證據(jù)m3進行融合時能夠識別出目標，但證據(jù)可信度不高。

在對第3個證據(jù)m3進行融合時，本文所提方法即可準確識別出目標；隨著后續(xù)證據(jù)體m4～m5對焦元A支持度越來越多，m(A)值明顯增加，而且本文方法中不含不確定項m(?)。該方法具有較高數(shù)據(jù)融合準確度的原因有兩方面：一方面，利用加權(quán)平均證據(jù)代替沖突證據(jù)，有效解決一票否決弊端；另一方面，為使證據(jù)更接近一致性證據(jù)，對異常證據(jù)采用加權(quán)平均證據(jù)進行替換，因而融合準確度提高。

4 結(jié)束語

針對現(xiàn)有D-S證據(jù)理論在處理沖突證據(jù)時存在的不足，提出了一種基于改進證據(jù)相似度的證據(jù)合成規(guī)則方法。仿真計算結(jié)果表明，較其他幾種改進方法而言，上述的改進方法能有效地處理含有沖突的證據(jù)組合，解決了一票否決問題，滿足了識別結(jié)果BPA函數(shù)值和為1的要求；上述方法具有更快的識別速度，能夠更好地降低識別結(jié)果的不確定性，且保留了D-S理論滿足交換律、結(jié)合律的良好特性。