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    淺談“雞兔同籠”問題的解決策略

    2021-10-14 00:05:52曾家國
    速讀·中旬 2021年10期
    關(guān)鍵詞:雞兔同籠解決問題策略

    曾家國

    ◆摘? 要:源于《九章算術(shù)》的雞兔同籠問題,可謂家喻戶曉。在新課程推進(jìn)的今天,雞兔同籠問題出現(xiàn)在數(shù)學(xué)教科書“解決問題的策略”這一章節(jié),使解法條理化、系統(tǒng)化,更易于學(xué)生接受、理解和應(yīng)用。

    ◆關(guān)鍵詞:雞兔同籠;解決問題;策略

    雞兔同籠問題是我國古代著名趣題之一,出自《孫子算經(jīng)》。原題為:今有雉兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足,問雞兔各幾何?雞兔同籠問題可以被贊譽(yù)為數(shù)學(xué)思維的“體操”,幫助學(xué)生主動構(gòu)建起解題的數(shù)學(xué)模型,有利于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)??鬃釉唬号e一隅不以三隅反,則不復(fù)也。雞兔同籠是典型而有趣的數(shù)學(xué)問題,曾經(jīng)是僅作為課外拓展內(nèi)容,現(xiàn)在已經(jīng)作為小學(xué)生必須掌握的知識,進(jìn)入小學(xué)數(shù)學(xué)教材,并且在小學(xué)低、中、高各年段都會遇到此類問題。從解決的角度而言,可以有一系列的方法,比如畫圖法、列表法、假設(shè)法方程法以及抬腿法等。雞兔同籠問題,也蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法,比如劃歸的思想,枚舉的思想,數(shù)形結(jié)合的思想,假設(shè)的思想,方程的思想以及建模的思想等。在我們的教學(xué)實踐中,教師的不同定位就帶來了不同教學(xué)設(shè)計的可能性,定位于不同的解題方法不是隨意的,而應(yīng)該將解法的難度與學(xué)生的認(rèn)知水平結(jié)合起來考慮。

    一、小學(xué)低段學(xué)生如何解決雞兔同籠問題

    在小學(xué)階段,低段(一二年級)的孩子活潑天真,他們對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)尚處于啟蒙階段。我們需要做的,不是教會學(xué)生解決問題的策略、解決問題的技巧,而是要如何激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,以此保護(hù)他們的求知欲,讓其感受數(shù)學(xué)的趣味性,讓他們感知數(shù)學(xué)不是枯燥的,而是非常好玩的。這才是低段教學(xué)“雞兔同籠”問題的側(cè)重點(diǎn)。教學(xué)時,我們可以這樣做:把那道經(jīng)典題的數(shù)字“小”化:已知共有雞和兔10只,共有28只腳,問雞和兔各有幾只?教學(xué)中,我們首先可以用故事的形式引人,再引領(lǐng)學(xué)生找出題目中隱含的條件(兔子有4條腿,雞有2條腿)。然后啟發(fā)學(xué)生;利用畫圖的方式來表達(dá)自己的想法,可以提示學(xué)生用Ο和[ΙΙ]分別表示頭和腿,讓其感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。先畫10個頭,雞免最少也有2條腿,就先給每個頭畫兩只腳,共20條,還剩8條,再每個頭加2條,可以加4個頭,畫完后,再讓學(xué)生數(shù)一數(shù):4條腿的是兔,2條腿的是雞,各有多少,便一目了然。

    除此之外,我們也可向?qū)W生介紹古人發(fā)明的抬腿法:假設(shè)雞和兔訓(xùn)練有素,吹一聲哨,抬起一條腿,剩下28-10=18條腿。再吹哨,又抬起一條,還剩18-10=8條,這時雞都一屁股坐地上了,兔子還兩只腳立著。所以,兔子有8+2=4只,雞有10- 4=6只。讓學(xué)生參與到真正的實踐操作中,體會數(shù)學(xué)真是有趣好玩!

    二、小學(xué)中段學(xué)生如何解決雞兔同籠問題

    到中段后(三四年級),學(xué)生對數(shù)學(xué)知識已經(jīng)有了一定的積累和了解,在學(xué)習(xí)方法上也增加了更多接受的可能性。對他們而言,能夠用自己的方式挑戰(zhàn)一個難題,其成功的自豪感將無以言表。所以,讓這一階段的學(xué)生在自主學(xué)習(xí)的過程中對列表法進(jìn)行學(xué)習(xí)和優(yōu)化,應(yīng)是我們該重點(diǎn)關(guān)注的。此時,我們可以直接用《孫子算經(jīng)》的原題引入:今有雞兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足,問雞兔各幾何?甚至還可以把數(shù)字變大,讓學(xué)生自行探雞索,為什么要將數(shù)字變大呢?數(shù)字的大化可以迫使他們?nèi)ふ倚碌姆椒?、?guī)律,去化繁為簡,化難為易。在已有畫圖方法的基礎(chǔ)感受在數(shù)字大的情況畫圖方法的不適用。于是出現(xiàn)列表枚舉。下面我將以上面小化過的例題為例。

    在此方法中,學(xué)生會感受到它的繁瑣,但在這里使用列表法的重點(diǎn)還在于發(fā)現(xiàn)其規(guī)律(每增加一只雞就減少一只兔,腿也就減少2條),由此他們可以將逐一優(yōu)化為跳躍列表法或取中列表法。讓學(xué)生在實踐操作的過程中先進(jìn)行有序思考,完整列表,再進(jìn)行表格優(yōu)化,從而理解優(yōu)化表格的作用和意義,實現(xiàn)跳躍性思考。在此過程中充分感受數(shù)學(xué)邏輯的嚴(yán)密性和推理性。在使用列表法時,我們不僅僅只停留在找出答案即止,要懂得回顧兔增加雞減少及腿數(shù)的變化規(guī)律,即發(fā)現(xiàn)增加1只雞就減少2條腿,那要減少多少條腿才是28條呢?40-28=12(條),而12條腿則需要增加多少只雞呢?12÷2=6(只),所以雞有6只。這不這是假設(shè)法嗎?反之,我們從表格右邊往左邊看,則相當(dāng)于先假設(shè)全是雞,有10×2=20條腿,每增加1只兔就增加2條腿,總共需要增加28 -20=8條腿,8÷2=4(只),所以兔有4只。學(xué)生在使用列表法可能會顯得繁瑣,但它卻是假設(shè)法的過渡,學(xué)生能在枚舉與假設(shè)中充分感受到數(shù)形結(jié)合的形象性、便捷性,感受數(shù)學(xué)的魅力和趣味。

    三、小學(xué)高段學(xué)生如何解決雞兔同籠問題

    高段(五六年級)的學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上已經(jīng)接觸了不少的數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)思想。雞兔同籠的知識對他們來說已經(jīng)不再陌生和新奇。這時在讓學(xué)生用畫圖法和假設(shè)法解題后,可以要求學(xué)生用方程進(jìn)行解題。根據(jù)“雞+兔=10只”和“雞腿數(shù)+兔腿數(shù)=28條”兩個數(shù)量關(guān)系,于是可以列出如下方程:

    解:設(shè)雞有X只,免有(10-X)只。

    2X+4(10-X)=28

    在高段學(xué)生的教學(xué)中,我們需要做的不再是針對一道兩道題的具體講解,而是應(yīng)幫助學(xué)生進(jìn)行梳理和總結(jié),歸納畫圖法,列表法,假設(shè)法,方程法以及抬腿法之間的內(nèi)在聯(lián)系,讓學(xué)生建立起雞兔同籠問題的數(shù)學(xué)模型,并在利用模型解決同類問題的過程中得到新的啟示和收獲,學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維解決生活遇到的問題,真正達(dá)到學(xué)以致用的目的。

    看似復(fù)雜的題目解答起來卻是如此地巧妙,這就是神奇的數(shù)學(xué)。葉圣陶曾說:“教師之主導(dǎo)作用,益在于善于引導(dǎo)啟迪,俾學(xué)生自奮其力,自致其知,非為教師之滔滔講說,學(xué)生默默聆聽?!薄皩W(xué)無定法”,教師在教學(xué)中應(yīng)該關(guān)注于對學(xué)生的學(xué)習(xí)方法的考量,讓學(xué)生自己去探尋數(shù)學(xué)知識間的聯(lián)系才是教學(xué)之道。解決數(shù)學(xué)問題有時并沒有固定的解題模式可以套用,唯有切實培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力,能夠?qū)⒁褜W(xué)的數(shù)學(xué)知識“舉一反三”甚至于“舉一反百”,做到數(shù)學(xué)知識之間的融會貫通,活學(xué)活用,這才是學(xué)之道的真諦。

    參考文獻(xiàn)

    [1]基礎(chǔ)教育考試評價中心.小學(xué)畢業(yè)升學(xué)真題詳解.數(shù)學(xué)[M].西安:西安出版社,2016.

    [2]秦和平,肖定堂.“雞兔同籠”問題中的思想方法及其滲透策略[J].湖北教育,2009(11).

    [3]熊明.在實數(shù)教學(xué)中滲透極限思想[J].課程教育研究(中),2012(6).

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