淺談“雞兔同籠”問題的解決策略

曾家國

◆摘? 要：源于《九章算術(shù)》的雞兔同籠問題，可謂家喻戶曉。在新課程推進(jìn)的今天，雞兔同籠問題出現(xiàn)在數(shù)學(xué)教科書“解決問題的策略”這一章節(jié)，使解法條理化、系統(tǒng)化，更易于學(xué)生接受、理解和應(yīng)用。

◆關(guān)鍵詞：雞兔同籠;解決問題;策略

雞兔同籠問題是我國古代著名趣題之一，出自《孫子算經(jīng)》。原題為：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？雞兔同籠問題可以被贊譽(yù)為數(shù)學(xué)思維的“體操”，幫助學(xué)生主動構(gòu)建起解題的數(shù)學(xué)模型，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)?？鬃釉唬号e一隅不以三隅反，則不復(fù)也。雞兔同籠是典型而有趣的數(shù)學(xué)問題，曾經(jīng)是僅作為課外拓展內(nèi)容，現(xiàn)在已經(jīng)作為小學(xué)生必須掌握的知識，進(jìn)入小學(xué)數(shù)學(xué)教材，并且在小學(xué)低、中、高各年段都會遇到此類問題。從解決的角度而言，可以有一系列的方法，比如畫圖法、列表法、假設(shè)法方程法以及抬腿法等。雞兔同籠問題，也蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，比如劃歸的思想，枚舉的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，假設(shè)的思想，方程的思想以及建模的思想等。在我們的教學(xué)實踐中，教師的不同定位就帶來了不同教學(xué)設(shè)計的可能性，定位于不同的解題方法不是隨意的，而應(yīng)該將解法的難度與學(xué)生的認(rèn)知水平結(jié)合起來考慮。

一、小學(xué)低段學(xué)生如何解決雞兔同籠問題

在小學(xué)階段，低段（一二年級）的孩子活潑天真，他們對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)尚處于啟蒙階段。我們需要做的，不是教會學(xué)生解決問題的策略、解決問題的技巧，而是要如何激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，以此保護(hù)他們的求知欲，讓其感受數(shù)學(xué)的趣味性，讓他們感知數(shù)學(xué)不是枯燥的，而是非常好玩的。這才是低段教學(xué)“雞兔同籠”問題的側(cè)重點(diǎn)。教學(xué)時，我們可以這樣做：把那道經(jīng)典題的數(shù)字“小”化：已知共有雞和兔10只，共有28只腳，問雞和兔各有幾只？教學(xué)中，我們首先可以用故事的形式引人，再引領(lǐng)學(xué)生找出題目中隱含的條件（兔子有4條腿，雞有2條腿）。然后啟發(fā)學(xué)生;利用畫圖的方式來表達(dá)自己的想法，可以提示學(xué)生用Ο和[ΙΙ]分別表示頭和腿，讓其感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。先畫10個頭，雞免最少也有2條腿，就先給每個頭畫兩只腳，共20條，還剩8條，再每個頭加2條，可以加4個頭，畫完后，再讓學(xué)生數(shù)一數(shù)：4條腿的是兔，2條腿的是雞，各有多少，便一目了然。

除此之外，我們也可向?qū)W生介紹古人發(fā)明的抬腿法：假設(shè)雞和兔訓(xùn)練有素，吹一聲哨，抬起一條腿，剩下28-10=18條腿。再吹哨，又抬起一條，還剩18-10=8條，這時雞都一屁股坐地上了，兔子還兩只腳立著。所以，兔子有8+2=4只，雞有10- 4=6只。讓學(xué)生參與到真正的實踐操作中，體會數(shù)學(xué)真是有趣好玩！

二、小學(xué)中段學(xué)生如何解決雞兔同籠問題

到中段后（三四年級），學(xué)生對數(shù)學(xué)知識已經(jīng)有了一定的積累和了解，在學(xué)習(xí)方法上也增加了更多接受的可能性。對他們而言，能夠用自己的方式挑戰(zhàn)一個難題，其成功的自豪感將無以言表。所以，讓這一階段的學(xué)生在自主學(xué)習(xí)的過程中對列表法進(jìn)行學(xué)習(xí)和優(yōu)化，應(yīng)是我們該重點(diǎn)關(guān)注的。此時，我們可以直接用《孫子算經(jīng)》的原題引入：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？甚至還可以把數(shù)字變大，讓學(xué)生自行探雞索，為什么要將數(shù)字變大呢？數(shù)字的大化可以迫使他們?nèi)ふ倚碌姆椒?、?guī)律，去化繁為簡，化難為易。在已有畫圖方法的基礎(chǔ)感受在數(shù)字大的情況畫圖方法的不適用。于是出現(xiàn)列表枚舉。下面我將以上面小化過的例題為例。

在此方法中，學(xué)生會感受到它的繁瑣，但在這里使用列表法的重點(diǎn)還在于發(fā)現(xiàn)其規(guī)律（每增加一只雞就減少一只兔，腿也就減少2條），由此他們可以將逐一優(yōu)化為跳躍列表法或取中列表法。讓學(xué)生在實踐操作的過程中先進(jìn)行有序思考，完整列表，再進(jìn)行表格優(yōu)化，從而理解優(yōu)化表格的作用和意義，實現(xiàn)跳躍性思考。在此過程中充分感受數(shù)學(xué)邏輯的嚴(yán)密性和推理性。在使用列表法時，我們不僅僅只停留在找出答案即止，要懂得回顧兔增加雞減少及腿數(shù)的變化規(guī)律，即發(fā)現(xiàn)增加1只雞就減少2條腿，那要減少多少條腿才是28條呢？40-28=12（條），而12條腿則需要增加多少只雞呢？12÷2=6（只），所以雞有6只。這不這是假設(shè)法嗎？反之，我們從表格右邊往左邊看，則相當(dāng)于先假設(shè)全是雞，有10×2=20條腿，每增加1只兔就增加2條腿，總共需要增加28 -20=8條腿，8÷2=4（只），所以兔有4只。學(xué)生在使用列表法可能會顯得繁瑣，但它卻是假設(shè)法的過渡，學(xué)生能在枚舉與假設(shè)中充分感受到數(shù)形結(jié)合的形象性、便捷性，感受數(shù)學(xué)的魅力和趣味。

三、小學(xué)高段學(xué)生如何解決雞兔同籠問題

高段（五六年級）的學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上已經(jīng)接觸了不少的數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)思想。雞兔同籠的知識對他們來說已經(jīng)不再陌生和新奇。這時在讓學(xué)生用畫圖法和假設(shè)法解題后，可以要求學(xué)生用方程進(jìn)行解題。根據(jù)“雞+兔=10只”和“雞腿數(shù)+兔腿數(shù)=28條”兩個數(shù)量關(guān)系，于是可以列出如下方程：

解：設(shè)雞有X只，免有（10-X）只。

2X+4（10-X）=28

在高段學(xué)生的教學(xué)中，我們需要做的不再是針對一道兩道題的具體講解，而是應(yīng)幫助學(xué)生進(jìn)行梳理和總結(jié)，歸納畫圖法，列表法，假設(shè)法，方程法以及抬腿法之間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生建立起雞兔同籠問題的數(shù)學(xué)模型，并在利用模型解決同類問題的過程中得到新的啟示和收獲，學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維解決生活遇到的問題，真正達(dá)到學(xué)以致用的目的。

看似復(fù)雜的題目解答起來卻是如此地巧妙，這就是神奇的數(shù)學(xué)。葉圣陶曾說：“教師之主導(dǎo)作用，益在于善于引導(dǎo)啟迪，俾學(xué)生自奮其力，自致其知，非為教師之滔滔講說，學(xué)生默默聆聽?！薄皩W(xué)無定法”，教師在教學(xué)中應(yīng)該關(guān)注于對學(xué)生的學(xué)習(xí)方法的考量，讓學(xué)生自己去探尋數(shù)學(xué)知識間的聯(lián)系才是教學(xué)之道。解決數(shù)學(xué)問題有時并沒有固定的解題模式可以套用，唯有切實培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，能夠?qū)⒁褜W(xué)的數(shù)學(xué)知識“舉一反三”甚至于“舉一反百”，做到數(shù)學(xué)知識之間的融會貫通，活學(xué)活用，這才是學(xué)之道的真諦。

參考文獻(xiàn)

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