調(diào)諧質(zhì)量阻尼器基于自適應(yīng)權(quán)重粒子群算法的優(yōu)化設(shè)計

張 雪,潘 超,韓 笑,柯永賢

(1. 煙臺大學(xué)土木工程學(xué)院,山東 煙臺264005;2.同濟大學(xué)結(jié)構(gòu)防災(zāi)減災(zāi)工程系,上海 200092)

大量研究表明,減震裝置[1]可以有效降低風(fēng)和地震作用引起的結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)[2-3]。其中,調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(Tuned Mass Damper, TMD)作為一種吸振減震裝置,因其結(jié)構(gòu)簡單、使用方便而受到較多的關(guān)注。TMD系統(tǒng)[4]主要是由質(zhì)量塊、彈簧和阻尼3個基本元件構(gòu)成,其作用機理是通過調(diào)整TMD系統(tǒng)的頻率使之與主結(jié)構(gòu)基本周期相近,使主結(jié)構(gòu)的振動能量向TMD轉(zhuǎn)移并由其耗散,從而降低主結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。

不少學(xué)者針對TMD系統(tǒng)參數(shù)的設(shè)計方法開展了研究工作。DEN提出了TMD基于定點理論的設(shè)計方法,但由于所需質(zhì)量比較大,減震裝置的質(zhì)量足夠大時才能達到理想的減震效果[5]。隨著TMD減震系統(tǒng)不斷應(yīng)用于結(jié)構(gòu)風(fēng)振控制,歐進萍等[6]根據(jù)風(fēng)荷載規(guī)范提出了設(shè)置TMD減震系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)風(fēng)振的實用方法;李春祥團隊[7]研究了TMD-高層鋼結(jié)構(gòu)系統(tǒng)風(fēng)振舒適度的設(shè)計方法;李創(chuàng)第等[8]基于復(fù)模態(tài)理論推導(dǎo)了TMD減震結(jié)構(gòu)的風(fēng)振、抗風(fēng)可靠度約束抗風(fēng)優(yōu)化設(shè)計公式。上述傳統(tǒng)設(shè)計方法主要是控制主結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng),未考慮附加減震裝置的響應(yīng)問題?；诖?汪正興等[9]提出了控制主結(jié)構(gòu)風(fēng)振響應(yīng)為主、兼顧TMD子系統(tǒng)相對位移響應(yīng)的參數(shù)優(yōu)化設(shè)計方法;李創(chuàng)第等[10]在結(jié)構(gòu)隨機振動響應(yīng)的基礎(chǔ)上,提出了TMD基于動力可靠性約束的優(yōu)化設(shè)計方法。上述方法保證了結(jié)構(gòu)在外激勵下的整體性,TMD子結(jié)構(gòu)對主結(jié)構(gòu)不一定有最大耗能效果。SADEK等[11]在TMD減震結(jié)構(gòu)前兩階模態(tài)阻尼比相等且最大的情況下,提出了確定TMD系統(tǒng)阻尼比和最優(yōu)頻率比的方法;卜國雄等[12]以主結(jié)構(gòu)吸收的能量最少為優(yōu)化目標,通過非線性規(guī)劃方法得到TMD系統(tǒng)的最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比;李祥秀等[13]從功率法角度出發(fā),以主結(jié)構(gòu)耗能功率最小為優(yōu)化目標獲得了TMD系統(tǒng)的最優(yōu)頻率比與阻尼比。然而,基于定點理論的設(shè)計方法只對主結(jié)構(gòu)為無阻尼的結(jié)構(gòu)體系有效;而且已有設(shè)計方法未明確給出質(zhì)量比的設(shè)計公式,設(shè)計過程中未考慮性能目標和控制成本等問題。

鑒于此,本文提出了TMD基于自適應(yīng)權(quán)重粒子群算法的參數(shù)優(yōu)化設(shè)計方法。根據(jù)隨機振動理論,推導(dǎo)了TMD有阻尼單自由度結(jié)構(gòu)在白噪聲激勵下的解析解,將TMD減震結(jié)構(gòu)的性能目標導(dǎo)向設(shè)計[14-15]問題等價為約束優(yōu)化問題,編制計算機程序在滿足結(jié)構(gòu)性能目標的前提下實現(xiàn)成本最小化，得到TMD的設(shè)計參數(shù)結(jié)果,目標性能指標選為隨機響應(yīng)減震比,減震裝置的制作成本會隨著建筑物重量的增加而增大,故將TMD的質(zhì)量比選定為成本控制指標,最后通過設(shè)計實例驗證了此方法的合理性和有效性。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 TMD的運動方程

承受地面運動激勵的單自由度結(jié)構(gòu),設(shè)置TMD后(圖1),其動力平衡方程為

圖1 TMD單自由度減震結(jié)構(gòu)力學(xué)模型

(1)

式(1)中,m、k、c分別為主結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、剛度和阻尼系數(shù),mt、kt、ct分別為TMD系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度和阻尼系數(shù),u表示為主結(jié)構(gòu)相對于地面的位移,ut表示為TMD相對于地面的位移,ag為地面運動加速度。

對于單自由度TMD結(jié)構(gòu)而言,其在白噪聲激勵下的均方響應(yīng)可以表達為關(guān)于質(zhì)量比μ、剛度比κ、阻尼比ξ和結(jié)構(gòu)固有阻尼比ζ的解析表達式。定義如式(2)所示的無量綱參數(shù):

(2)

則式(1)的無量綱形式可表示為

1.2 設(shè)置TMD有阻尼單自由度結(jié)構(gòu)的隨機振動響應(yīng)

通過拉普拉斯變換,式(3)可以轉(zhuǎn)化為方程:

(4)

其中,Ag,U,Ut為ag,u,ut的拉普拉斯變換形式。

線性方程組關(guān)于U,Ut的解如下:

(5)

(6)

則結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的傳遞函數(shù)為

(7)

令s=iω,位移響應(yīng)傳遞函數(shù)的幅值為

(8)

假設(shè)地面運動激勵為白噪聲過程,其功率譜密度為S0,則結(jié)構(gòu)均方響應(yīng)可表示為

(9)

將式(7)代入式(9),可得設(shè)置TMD單自由度結(jié)構(gòu)的位移均方響應(yīng)解析表達式為[15]

(10)

式(10)中,

A=4ξ2+4μ3ξ(ξ+ζ)+4μξ(3ξ+ζ)+μ2(1+12ξ2+8ξζ) ,

(11)

B=4ξ2ζ+μ4(ξ+ζ)+4μ3ξζ(ξ+ζ)+

2μξ(-1+6ξζ+2ζ2)+μ2ξ(-3+12ξζ+8ζ2),

(12)

C=ξ2+(1+κ2)ξζ+κ2ζ2,

(13)

D=κ2+2ξ(ξ+ζ)+κ(-1+2ξζ+2ζ2) 。

(14)

2 TMD的性能導(dǎo)向設(shè)計

單自由度TMD結(jié)構(gòu)設(shè)計的核心任務(wù)是確定3個關(guān)鍵參數(shù):質(zhì)量比μ、剛度比κ、阻尼比ξ。本文采取性能需求為導(dǎo)向的設(shè)計思想,即在滿足性能需求的前提下,尋找一組設(shè)計參數(shù)使減震控制的成本最小。性能需求指標選為隨機響應(yīng)減震比,成本控制指標為TMD的質(zhì)量比。設(shè)計過程中結(jié)構(gòu)響應(yīng)通過隨機振動分析求得。

將設(shè)置TMD結(jié)構(gòu)的減震比定義如下:

(15)

設(shè)計過程中需確立一個期望達到的減震比作為設(shè)計目標,目標減震比可通過對原結(jié)構(gòu)進行初步分析并結(jié)合性能需求和安全裕度確定[16]:

(16)

對于設(shè)置TMD的單自由度結(jié)構(gòu),基于隨機振動均方響應(yīng)的減震比可表示為式(17):

(17)

將式(10)代入式(17),可得設(shè)置TMD系統(tǒng)的單自由度結(jié)構(gòu)在白噪聲激勵下隨機響應(yīng)減震比的解析表達式

γ=

(18)

上述單自由度TMD結(jié)構(gòu)設(shè)計問題的數(shù)學(xué)表達式可以表示為如下形式:

(19)

式(19)中,f(μ,ξ,κ)為優(yōu)化目標函數(shù),γt為目標減震比。

可用懲罰函數(shù)法將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束問題形式為

(20)

其中,h為懲罰權(quán)重。

由于減震比解析表達式較繁瑣,式(19)或(20)所述優(yōu)化問題難以用解析的方式得到顯式的表達式。而采用經(jīng)典數(shù)值優(yōu)化方法一般需要目標函數(shù)對優(yōu)化變量的偏導(dǎo)數(shù)表達式,且需要對初始解有較好的估計, 求解過程繁瑣,效果不夠理想。故本文選擇概念簡單、便于實現(xiàn)、魯棒性好的粒子群算法進行設(shè)置TMD的單自由度結(jié)構(gòu)的參數(shù)優(yōu)化設(shè)計。

3 自適應(yīng)權(quán)重粒子群優(yōu)化算法

粒子群算法源于對鳥群捕食行為的研究,是一種基于迭代的優(yōu)化工具,適用于求解大量非線性的復(fù)雜優(yōu)化問題。因粒子群算法需要調(diào)整的參數(shù)較少,且易于程序編程,已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于多個科學(xué)和工程領(lǐng)域。與傳統(tǒng)算法不同,粒子群算法不用對函數(shù)求導(dǎo),可直接將目標函數(shù)值作為搜索信息[17],進而解決許多較復(fù)雜目標函數(shù)的優(yōu)化問題。

粒子群算法[18]首先初始化一群隨機粒子(隨機解),然后粒子們追隨當(dāng)前的最優(yōu)粒子在解空間中搜索,即通過迭代找到最優(yōu)解。假設(shè)d維搜索空間中的第i個粒子的位置和速度分別為Xi,Vi,在每次迭代過程中,粒子通過跟蹤兩個最優(yōu)解來更新自己,即個體極值pbest和全局最優(yōu)解gbest。在找到這兩個最優(yōu)值時,粒子根據(jù)如下的公式來更新自己的速度和位置:

(21)

式(21)中,c1和c2為正的學(xué)習(xí)因子,r1和r2為0到1之間均勻分布的隨機數(shù),w(t)為慣性權(quán)重。

粒子群算法在隨機搜索中存在易陷入局部最優(yōu)的問題。慣性權(quán)重越大,越有利于提高算法的全局搜索能力,反之,則會增強算法的局部搜索能力。因此,可通過改變慣性權(quán)重來動態(tài)地平衡全局和局部搜索能力,進而加速算法的收斂速度。

本文所采用自適應(yīng)慣性權(quán)重系數(shù)的表達式為

w(t)=(wmax-wmin)Ps(t)+wmin,

(22)

式(22)中,Ps(t)為成功例子比例,即每次迭代后搜索到更優(yōu)解的粒子數(shù)量占粒子總數(shù)量的比值,其表達式為

(23)

式(23)中,Si(t)為粒子成功函數(shù),表達式為

(24)

進化算法作為模擬自然進化過程的優(yōu)化方法,其本質(zhì)是一種無約束搜索技術(shù),故將粒子群算法用于求解本文的約束優(yōu)化問題時,使用懲罰函數(shù)法[19]進行約束優(yōu)化。懲罰權(quán)重的引入可以將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題,對適應(yīng)度函數(shù)添加懲罰項可以剔除不滿足約束條件的個體。如果懲罰權(quán)重選取過大,會遠離目標函數(shù)的最優(yōu)點,需要增加迭代次數(shù)長時間搜索,若懲罰權(quán)重選取過小,則會導(dǎo)致算法穩(wěn)定性、可靠性變差。鑒于此,本文算法使用自適應(yīng)約束懲罰權(quán)重進行算法約束,其表達式為

(25)

式(25)中,t為飛行時間步。

4 設(shè)計算例

本節(jié)將運用上文提出的基于自適應(yīng)權(quán)重粒子群算法的優(yōu)化設(shè)計方法對某單自由度TMD結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化設(shè)計。與基于定點理論的參數(shù)設(shè)計方法比較可知,本文提出的方法考慮了主結(jié)構(gòu)的固有阻尼比。本文設(shè)定單自由度結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵參數(shù):質(zhì)量m0=200 t,剛度k0=19 980 kN/m,固有阻尼比ζ=0.05。由此得到結(jié)構(gòu)的自振頻率及自振周期分別為

考慮固有阻尼比ζ和目標減震比γt不同的4個設(shè)計工況,基于Python語言編寫自適應(yīng)粒子群算法的程序PSO,對表 1所列工況進行參數(shù)優(yōu)化求解。

表1 基于自適應(yīng)權(quán)重粒子群算法的TMD參數(shù)優(yōu)化設(shè)計結(jié)果

觀察表1數(shù)據(jù)可知,基于自適應(yīng)權(quán)重粒子群算法設(shè)計得到的TMD減震結(jié)構(gòu)的實際減震比基本與目標減震比保持一致;在目標減震比相同的前提下,質(zhì)量比隨結(jié)構(gòu)固有阻尼比的增加而增加。

為了驗證自適應(yīng)權(quán)重粒子群算法的性能,各參數(shù)設(shè)置如下:粒子數(shù)量設(shè)置為100,最大迭代次數(shù)設(shè)置為100,自適應(yīng)慣性權(quán)重中wmax=1.0,wmin=0.3。各進行100次尋優(yōu)運算并對比平均迭代次數(shù),選取首次收斂到目標值時的次數(shù)作為迭代次數(shù)的判定標準。分別作如下對比:首先將自適應(yīng)慣性權(quán)重粒子群算法(APSO)與固定慣性權(quán)重、自適應(yīng)懲罰權(quán)重粒子群算法(FPSO,慣性權(quán)重設(shè)為1.0)進行迭代次數(shù)對比;其次,對比使用自適應(yīng)慣性權(quán)重、固定懲罰權(quán)重粒子群算法(GPSO，懲罰權(quán)重設(shè)為50)的迭代次數(shù)。對比結(jié)果如表2。最后,為了驗證結(jié)果的正確性,將自適應(yīng)權(quán)重粒子群算法與隨機給定初始解的“二次規(guī)劃法”對比成功率,成功率為多次運算后收斂到正確解的次數(shù)與總實驗次數(shù)的比值,算法運行30次,對比結(jié)果見表3。

觀察表2、表3數(shù)據(jù)可知,本文提出的自適應(yīng)慣性權(quán)重和自適應(yīng)懲罰權(quán)重算法所需迭代次數(shù)更少一些,收斂速度更快一些,與二次規(guī)劃法對比發(fā)現(xiàn)自適應(yīng)權(quán)重粒子群算法成功率可高達90%～100%,自適應(yīng)權(quán)重粒子群算法避免了算法陷入局部最優(yōu)運算,可動態(tài)平衡全局和局部搜索能力進而加速收斂速度,而且成功率更高。

表2 不同策略粒子群算法迭代次數(shù)對比

表3 自適應(yīng)權(quán)重粒子群算法優(yōu)化求解成功率對比

根據(jù)定點理論,可得到不同工況下TMD系統(tǒng)的設(shè)計參數(shù)數(shù)值,結(jié)果如表4。與表1中數(shù)據(jù)對比可知,在目標隨機響應(yīng)減震比一致的情況下,基于自適應(yīng)權(quán)重粒子群算法得到的TMD質(zhì)量比μ的數(shù)值更小一些,即制作阻尼器的成本較低一些,這說明本文提出的方法可以在保證結(jié)構(gòu)性能需求的前提下將減震控制的成本控制在較低水平。

表4 基于定點理論的參數(shù)設(shè)計結(jié)果

表1、表4中參數(shù)分別代入位移響應(yīng)頻響函數(shù)解析表達式中,可得到基于2種不同方法的頻響曲線如圖2。從傳遞函數(shù)曲線可看出,在目標隨機響應(yīng)比一致時,隨著等效阻尼比增大,結(jié)構(gòu)的共振峰值隨之降低;而且等效阻尼比相同時,共振峰值則隨著隨機響應(yīng)減震比的增加而增加。

圖2 單自由度TMD結(jié)構(gòu)的頻響曲線

為了驗證自適應(yīng)權(quán)重粒子群算法所求得參數(shù)的減震效果， 以工況3為例， 分別對原結(jié)構(gòu)、減震結(jié)構(gòu)進行時程分析，輸入不同頻譜特性的地震動：白噪聲、人造地震動[20-21]、天然地震動(選自美國太平洋地震工程研究中心的強震觀測數(shù)據(jù)庫https://peer.berkeley.edu/)，得到各自對應(yīng)的位移響應(yīng)曲線(圖 3)。由圖 3可知，時程響應(yīng)結(jié)果計算得到的均方響應(yīng)減震比均接近目標減震比0.5，這說明本文方法設(shè)計的TMD系統(tǒng)可以有效控制結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)，即在滿足結(jié)構(gòu)性能目標需求的前提下得到的調(diào)諧質(zhì)量阻尼器參數(shù)是正確的。

圖3 不同地震激勵下的原結(jié)構(gòu)與TMD減震結(jié)構(gòu)的時程曲線(γt=5)

5 小 結(jié)

本文將自適應(yīng)權(quán)重粒子群算法用于TMD減震結(jié)構(gòu)的性能導(dǎo)向優(yōu)化設(shè)計,并通過設(shè)計算例驗證了設(shè)計原則與算法的可行性與有效性。

(1) 自適應(yīng)權(quán)重粒子群算法能有效求解TMD減震結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計問題,易于編程實現(xiàn)且魯棒性好。

(2) 性能目標導(dǎo)向設(shè)計原則可以同時兼顧TMD減震結(jié)構(gòu)的減震性能與控制成本。

(3) 在目標減震比相同的前提下,與經(jīng)典的定點理論相比,按本文方法計算所需的TMD的調(diào)諧質(zhì)量更小。