基于Levenberg-Marquardt法的中國大陸地區(qū)地震烈度分布快速評估的偏差特性分析

任 靜 張 丹 李志強(qiáng) 黃帥堂 譚專條 王尅豐 陳經(jīng)綸 陳宇星

1）中國北京 100045 中國地震臺網(wǎng)中心

2）中國鄭州 450000 中國地震局地球物理勘探中心

3）中國烏魯木齊 830011 新疆維吾爾自治區(qū)地震局

4）中國?？?570203 海南省地震局

0 引言

地震災(zāi)害發(fā)生之后，對地震成災(zāi)范圍、人員傷亡和經(jīng)濟(jì)損失等快速估計，統(tǒng)稱為地震災(zāi)害快速評估。地震災(zāi)害快速評估是地震應(yīng)急決策輔助建議的重要基礎(chǔ)和科學(xué)依據(jù)（楊天青等，2006）。

“九五”以來，中國先后有20 余個城市和地區(qū)開展了震害預(yù)測工作，并各自建立了防震減災(zāi)信息管理與輔助決策系統(tǒng)（GB/T 19428—2003 地震災(zāi)害預(yù)測及其信息管理系統(tǒng)技術(shù)規(guī)范）。“十五”期間，以震害預(yù)測研究成果為基礎(chǔ)，基本實(shí)現(xiàn)了覆蓋中國大陸的全國一體化地震應(yīng)急指揮技術(shù)系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)（帥向華等，2009），形成了國家、區(qū)域、城市三級地震應(yīng)急指揮體系。這些震害快速評估系統(tǒng)或震害預(yù)測系統(tǒng)的工作原理是，在觀測到地震發(fā)生時間、地點(diǎn)和震級后，未達(dá)地震現(xiàn)場調(diào)查前，利用對應(yīng)地區(qū)地震烈度衰減關(guān)系給出震區(qū)不同烈度分布及影響范圍，并快速估算地震災(zāi)害損失，提出地震應(yīng)急決策和救援方案，供抗震救災(zāi)指揮部決策使用。此烈度分布確定的偏差程度決定了整個系統(tǒng)的可靠程度（許衛(wèi)曉等，2012）。

中國幅員遼闊，歷史地震資料豐富，研究者對不同地區(qū)、不同地質(zhì)構(gòu)造環(huán)境的地震烈度衰減關(guān)系進(jìn)行了研究，得出了各研究區(qū)統(tǒng)計關(guān)系，例如：汪素云等（2000）將中國大陸以105°E 分為東部和西部2 個區(qū)，并確定兩區(qū)地震烈度衰減關(guān)系；崔鑫等（2010）使用20 世紀(jì)華南地區(qū)48 次中強(qiáng)地震事件96 條等震線數(shù)據(jù)，擬合得到華南地區(qū)地震烈度衰減關(guān)系；王繼等（2008）收集了1991—2006 年華中、華南25 次地震的烈度分布圖，配合l918—l989 年9 次地震烈度分布圖，重新擬合兩區(qū)地震烈度衰減關(guān)系。利用這些烈度衰減關(guān)系，可對相應(yīng)地區(qū)將來發(fā)生的某次地震進(jìn)行烈度分布評估，并對初評結(jié)果的偏差程度進(jìn)行深入研究。

通常，地震烈度衰減關(guān)系受震源特性、深部構(gòu)造、傳播介質(zhì)、場地條件、建筑物結(jié)構(gòu)類型和居民點(diǎn)分布、地形等因素的影響，存在較大地區(qū)差異（汪素云等，2000）。為此，選取我國大陸地區(qū)發(fā)生的中強(qiáng)地震，建立西部（西北地區(qū)、西南地區(qū)）、東部（華北、東北地區(qū)、華中、華南地區(qū)）地區(qū)的地震烈度衰減關(guān)系，并就某些強(qiáng)震震例進(jìn)行烈度分布評估，對其偏差特性和一般趨勢進(jìn)行分析，旨在研究利用烈度衰減關(guān)系進(jìn)行烈度分布評估的一般規(guī)律。

1 我國大陸地區(qū)橢圓地震烈度衰減關(guān)系的建立

1.1 震例選取

可依據(jù)以下原則選取震例烈度資料：①震例數(shù)據(jù)來源可靠；②震例等震線分布圖清晰；③等震線圖中參考點(diǎn)較充分，可準(zhǔn)確地進(jìn)行地理坐標(biāo)配準(zhǔn)和數(shù)字化；④烈度I和震級MS獨(dú)立測定，以降低烈度I和震級MS之間相關(guān)性。

文中資料主要取自《中國近代地震目錄（公元1912—1990 年）》（中國地震局震害防御司，1999）、《中國地震災(zāi)害損失資料匯編（1966—1989）》（國家地震局震災(zāi)應(yīng)急救援司，2015）、《中國震例1966—2007》、（中國地震局監(jiān)測預(yù)報司，2001）、《中國大陸地震災(zāi)害損失匯編（2001—2005）》（中國地震局震災(zāi)應(yīng)急救援司，2010）、《中國大陸地震災(zāi)害損失匯編（2006—2010）》（中國地震局震災(zāi)應(yīng)急救援司，2015）、中國地震局網(wǎng)站及相關(guān)文獻(xiàn)等?；谝陨显瓌t，選取1900 年以來我國大陸西部地區(qū)4.0 級以上震例488 個，東部地區(qū)4.0級以上震例182 個，分區(qū)統(tǒng)計結(jié)果見表1。

表1 1900 年以來我國震例統(tǒng)計Table 1 The earthquakes on the Chinese mainland since 1900

1.2 研究區(qū)域劃分

沿用中國地震烈度區(qū)劃圖的做法，以105°E 為界，將中國大陸地區(qū)劃分為東部和西部2 個區(qū)（汪素云等，2000）。中國西部進(jìn)一步細(xì)分為西南及西北2 個子區(qū)域，其中：西南地區(qū)指中國西南部廣大腹地，包括青藏高原東南部、四川盆地、云貴高原等，研究區(qū)域包括：四川、貴州、云南、西藏、重慶、廣西；西北地區(qū)指大興安嶺以西，昆侖山—阿爾金山、祁連山以北廣大地區(qū)，研究區(qū)域包括：陜西、甘肅、青海、內(nèi)蒙古（105°E 以西）、寧夏、新疆。中國東部進(jìn)一步細(xì)分為華北、東北及華中、華南 2 個子區(qū)域（汪素云等，2000），其中華北、東北地區(qū)范圍大體包括華北、遼東地區(qū)以及渤海和黃海大部，北至大青山，西至六盤山，南至大別山，研究區(qū)域包括：北京、天津、河北、山西、遼寧、吉林、黑龍江、山東、河南、內(nèi)蒙古（105°E 以東）（崔鑫等，2010）；華中、華南地區(qū)包括：上海、江蘇、浙江、安徽、福建、江西、湖北、湖南、廣東、海南（王繼等，2008）。

1.3 地震烈度衰減模型

受發(fā)震構(gòu)造的影響，我國西部地區(qū)地震烈度圖多呈橢圓形（楊彥明等，2017），故本研究采用橢圓模型進(jìn)行烈度衰減關(guān)系擬合，公式如下

式中：I為地震烈度；R表示震中距；M為地震震級；R0為近場飽和因子；參數(shù)A、B、C1、C2、D1、D2為回歸常數(shù)，其中C1和C2表示幾何擴(kuò)散阻尼的影響，D1和D2表示介質(zhì)阻尼的影響；ε為回歸分析中表示不確定的隨機(jī)變量，通常假定為正態(tài)分布，其均值為零。

1.4 Levenberg-Marquardt 法

應(yīng)用非線性回歸理論，任何反演問題可以如下形式表達(dá)。

式中，m代表模型參數(shù)，d代表觀測數(shù)據(jù)，G為構(gòu)造算子，由向量m和d構(gòu)造而得。反演問題可以表述為給定觀測數(shù)據(jù)d，通過最優(yōu)算法尋找模型參數(shù)值m。文中采用Levenberg-Marquardt非線性反演方法（簡稱LM方法），尋找加權(quán)殘值范數(shù)f(m)最小時模型參數(shù)值A(chǔ)、B、C1、Ra0、C2、Rb0，公式如下

定義標(biāo)量值函數(shù)（sclar-valued functions）為

定義向量值函數(shù)（vector-valued function）為

通過下式計算梯度值，即

LM 方法是一種迭代算法，根據(jù)式（6）計算Δm的值，并按照下式對模型參數(shù)進(jìn)行更新，進(jìn)入下一次迭代過程。

式中，I為單位矩陣，J(m)代表雅克比（Jacobian）行列式，定義為

當(dāng)滿足下式時，模型參數(shù)收斂，即加權(quán)值范數(shù)為最小，此時模型參數(shù)即為所求結(jié)果。

根據(jù)式（1）和（3），得到本研究烈度衰減模型的標(biāo)量值函數(shù)，有

根據(jù)式（8），得到雅克比行列式，公式如下

將式（5）、（11）、（12）帶入式（7），得出Δm，進(jìn)入迭代過程，直至滿足條件式（10）時的m值，即為所求模型參數(shù)值，進(jìn)而得出烈度衰減關(guān)系式。

當(dāng)Rb=0 時，代入式（1），得到沿長軸方向的地震烈度橢圓衰減關(guān)系，即

當(dāng)Ra=0 時，代入式（1），得到沿短軸方向的地震烈度橢圓衰減關(guān)系，即

1.5 回歸系數(shù)

基于已選震例和中國大陸分區(qū)原則，應(yīng)用LM 迭代算法進(jìn)行線性回歸，得到各分區(qū)地震烈度衰減關(guān)系模型，回歸系數(shù)結(jié)果見表2。

表2 中國大陸地區(qū)各分區(qū)地震烈度衰減系數(shù)Table 2 Regional attenuation coefficients of seismic intensity in Chinese mainland

2 地震烈度衰減關(guān)系研究成果

2.1 文獻(xiàn)統(tǒng)計

我國大陸地區(qū)幅員遼闊，歷史地震烈度資料豐富，相關(guān)地震烈度衰減關(guān)系研究成果較多，如：①西部地區(qū)：汪素云等（2000）采用橢圓長、短軸聯(lián)合衰減模型，選用云川藏、甘青寧、新疆發(fā)生的190 個震例，統(tǒng)計得出中國西部地區(qū)烈度衰減關(guān)系；在此基礎(chǔ)上，肖亮等（2015）選取新疆和川藏2 個統(tǒng)計單元區(qū)247 次震例烈度等震線資料，重新擬合西部地區(qū)地震烈度衰減關(guān)系；②東部地區(qū)：汪素云等（2000）采用橢圓長、短軸聯(lián)合衰減模型，統(tǒng)計得出中國東部地區(qū)烈度衰減關(guān)系；崔鑫等（2010）利用華南地區(qū)20 世紀(jì)48 次中強(qiáng)地震事件96 條等震線數(shù)據(jù)，擬合得到該區(qū)地震烈度衰減關(guān)系；王繼等（2010）收集華中、華南地區(qū)1991—2006 年25 次中強(qiáng)地震烈度分布圖，配合l9l8—l989 年9 次地震烈度分布圖，擬合得到兩區(qū)地震烈度衰減關(guān)系。以上文獻(xiàn)所得烈度衰減系數(shù)見表3。

表3 我國大陸地區(qū)已有文獻(xiàn)中地震烈度衰減系數(shù)Table 3 Attenuation coefficients of seismic intensity in Chinese mainland from previous researches

2.2 衰減關(guān)系分區(qū)域?qū)Ρ?/h3>

重新整理1900 年以來，MS≥4.0 震例的烈度等震線資料，在前人研究基礎(chǔ)上，增加2010 年以來各研究區(qū)發(fā)生的顯著有感和破壞性地震，采用線性最小二乘法進(jìn)行回歸擬合，得到我國大陸西部、東部地區(qū)及其細(xì)分地區(qū)的地震烈度衰減關(guān)系，并與汪素云等（2000）的研究結(jié)果進(jìn)行對比，結(jié)果見圖1—圖6。

2.2.1 東西部地區(qū)綜合對比。采用式（2）、（3），計算得到我國大陸西部、東部地區(qū)地震烈度衰減關(guān)系，并與汪素云等（2000）的研究結(jié)果進(jìn)行對比，見圖1、圖2，可見大陸東西部地區(qū)地震烈度衰減關(guān)系趨勢一致。

圖1 西部地區(qū)不同文獻(xiàn)中烈度衰減關(guān)系對比Fig.1 Comparison of intensity attenuation relations in western China from different studies

圖2 東部地區(qū)不同文獻(xiàn)中烈度衰減關(guān)系對比Fig.2 Comparison of intensity attenuation relations in eastern China from different studies

與汪素云等（2000）的研究結(jié)果相比，地震烈度衰減關(guān)系具有以下特點(diǎn)：①在近場半徑R＜ 50 km 范圍內(nèi)：當(dāng)MS震級為5.0、6.0 時，兩研究結(jié)果相近，當(dāng)震級MS≥7.0 時，本研究結(jié)果偏小；②在中遠(yuǎn)場R≥50 km 范圍內(nèi)，本研究結(jié)果衰減更慢。

究其原因可能是：①二者參與研究的震例樣本地震強(qiáng)度組成不同，本研究中MS≤4.0震例樣本比例較高，而在汪素云等（2000）的研究中，MS≥5.0 震例樣本比例存在較高；②在實(shí)際工作中，對于震級5.0 以下的較小地震，低烈度區(qū)現(xiàn)場評估烈度值存在過大傾向；③在我國大陸東部地區(qū)地震烈度衰減關(guān)系分析中，本研究使用了少量海域地震資料。

2.2.2 西部分區(qū)地震烈度回歸分析。采用式（2）、（3），計算我國大陸西南和西北地區(qū)的地震烈度衰減關(guān)系，并與汪素云等（2000）、肖亮等（2015）的研究結(jié)果進(jìn)行對比，結(jié)果見圖3、圖4，可見不同文獻(xiàn)中地震烈度衰減關(guān)系具有相似性。

圖3 我國西南地區(qū)不同文獻(xiàn)中地震烈度衰減關(guān)系對比Fig.3 Comparison of seismic intensity attenuation relationships in Southwest China from different studies

圖4 我國西北地區(qū)不同文獻(xiàn)中地震烈度衰減關(guān)系對比Fig.4 Comparison of seismic intensity attenuation relationships in Northwest China from different studies

與汪素云等（2000）、肖亮等（2015）研究結(jié)果相比，在我國西南地區(qū)和西北地區(qū)，地震烈度衰減關(guān)系具有以下特點(diǎn)：①在R＜ 50 km 近場范圍內(nèi)，當(dāng)震級MS≥ 6.0 時，本文的擬合曲線略低于肖亮等（2015）和汪素云等（2000）研究者的擬合曲線，在烈度值上，沿長、短軸方向烈度估計值與兩者相差0.1—0.5 度左右。當(dāng)震級MS=5.0 時，本研究擬合曲線和肖亮等（2015）和汪素云等（2000）研究者的擬合曲線一致；②在R＞100 km遠(yuǎn)場范圍內(nèi)，本文的擬合曲線高于肖亮等（2015）和汪素云等（2000）研究者的擬合曲線，但長、短軸的“擬合曲線”比其他條曲線整體衰減緩慢。

在西南地區(qū)和西北2 個區(qū)域內(nèi)，造成本研究與肖亮等（2015）和汪素云等（2000）研究結(jié)果有所不同的原因可能是：①研究區(qū)域劃分范圍：本研究與肖亮等（2015）和汪素云等（2000）稍有不同；②震例樣本：在回歸分析中，肖亮等（2015）和汪素云等（2000）選取MS≤5.0 震例樣本較少，而在西南地區(qū)和西北地區(qū)的地震烈度衰減關(guān)系研究中，本研究MS≤5.0 震例樣本占比較高；③烈度估值：在實(shí)際工作中，對于震級5.0 以下的較小地震，低烈度區(qū)現(xiàn)場評估烈度值結(jié)果往往有過大傾向。

2.2.3 東部分區(qū)地震烈度回歸分析。采用式（2）、（3），計算我國大陸華北、東北地區(qū)和和華中、華南地區(qū)的地震烈度衰減關(guān)系，并與崔鑫（2010）、汪素云等（2000）和王繼等（2010）的研究結(jié)果進(jìn)行對比，結(jié)果見圖5—圖6，可見不同文獻(xiàn)中地震烈度衰減關(guān)系具有相似性。

（1）華北、東北地區(qū)。由圖5 可見，地震烈度衰減關(guān)系具有以下特點(diǎn)：①在R＜10 km 近場范圍內(nèi)，當(dāng)震級MS=5.0 時，本研究的擬合曲線略高于崔鑫（2010）和汪素云等（2000）研究者的擬合曲線，沿長、短軸方向烈度估計值與其他二者相差0.3 度左右。當(dāng)震級MS≥ 7.0 時，本研究的擬合曲線要略低于崔鑫（2010）和汪素云等（2000）研究者的擬合曲線；②在遠(yuǎn)場，本研究的擬合曲線在崔鑫（2010）和汪素云等（2000）研究者的擬合曲線之間。在統(tǒng)計回歸中，本研究選用震例為震級MS≥4.0，長、短軸擬合曲線比崔鑫（2010）和汪素云等（2000）的擬合曲線整體衰減緩慢。

圖5 我國華北、東北地區(qū)不同文獻(xiàn)中地震烈度衰減關(guān)系對比Fig.5 Comparison of seismic intensity attenuation relationships in North China and Northeast China from different studies

（2）華中、華南地區(qū)。由圖6 可見，地震烈度衰減關(guān)系具有以下特點(diǎn)：①在R＜10 km 近場范圍內(nèi)，當(dāng)MS≤7.0 時，本研究擬合曲線的斜率，從MS=5.0 到MS=8.0，具有從大到小的變化過程；②在遠(yuǎn)場，與王繼等（2010）、崔鑫（2010）和汪素云等（2000）的擬合曲線相對比可知，本研究擬合曲線較高，且長、短軸擬合曲線衰減緩慢。

圖6 我國華中、華南地區(qū)不同文獻(xiàn)中地震烈度衰減關(guān)系對比Fig.6 Comparison of seismic intensity attenuation relationships in Central China and South China from different studies

在華北、東北和華南、華中2 個區(qū)域內(nèi)，造成本研究與王繼等（2010）、崔鑫（2010）和汪素云等（2000）研究者結(jié)果有所不同的原因可能是：①研究區(qū)域劃分范圍：本研究與王繼等（2010）、崔鑫（2010）和汪素云等（2000）研究者稍有不同；②震例樣本：在回歸分析中，肖亮等（2015）和汪素云等（2000）選取MS≤5.0震例樣本較少，而在華北、東北地區(qū)和華南、華中地區(qū)的地震烈度衰減關(guān)系研究中，本研究MS≤5.0 震例樣本占比較高；此外，在華中、華南地區(qū)，本研究使用了少量海域地震資料；③烈度估值：在實(shí)際工作中，對于震級5.0以下的較小地震，低烈度區(qū)現(xiàn)場評估烈度值結(jié)果往往有過大傾向。

3 災(zāi)情評估

根據(jù)上述分析，得出我國根據(jù)各分區(qū)地震烈度衰減關(guān)系，公式如下。

（1）西南地區(qū)烈度衰減關(guān)系，即

（2）西北地區(qū)烈度衰減關(guān)系，即

（3）西部地區(qū)烈度衰減關(guān)系，即

（4）我國華北、東北地區(qū)的烈度衰減關(guān)系，即

（5）我國華中、華南地區(qū)的烈度衰減關(guān)系，即

（6）東部地區(qū)的烈度衰減關(guān)系，即

選取1990—2007 年23 次MS≥6.0 地震事件及2008 年以來88 次MS≥5.0 地震事件，以實(shí)際震害面積與烈度衰減經(jīng)驗(yàn)統(tǒng)計模型所得面積之比為指標(biāo)，驗(yàn)證模型與實(shí)際震害的吻合程度，結(jié)果見表4。地震烈度10 度、11 度區(qū)震害資料有限，未在表4 列出。因涉及震例較多，表4 僅給出部分典型震例結(jié)果。

表4 統(tǒng)計地震的實(shí)際震害面積與模型面積之比Table 4 Statistics of the ratio of actual earthquake-damaged area to model area

續(xù)表4

對于不同烈度區(qū)實(shí)際震害與模型面積比結(jié)果，由表4 可見：9 度區(qū)面積比最大值為40.00%，最小值為6.07%，中位值為7.25%，剔除奇異點(diǎn)后平均值為6.62%；8 度區(qū)面積比最大值為52.31%，最小值為0.39%，中位值為3.00%，剔除奇異點(diǎn)后平均值為3.70%；7度區(qū)面積比最大值為70.00%，最小值為0.09%，中位值為1.15%，剔除奇異點(diǎn)后平均值為1.75%；6 度區(qū)面積比最大值為24.10%，最小值為0.01%，中位值為1.28%，剔除奇異點(diǎn)后平均值為2.22%。

通過以上數(shù)據(jù)對比發(fā)現(xiàn)，震害面積比最大值與最小值的比值可達(dá)數(shù)百倍以上，說明地震作用的離散性大，但中位值與平均值的變化趨勢基本一致，說明利用地震烈度衰減關(guān)系評估震害面積有一定規(guī)律可循，具體體現(xiàn)在：與模型面積相比，高烈度區(qū)實(shí)際震害面積往往偏大，而低烈度區(qū)實(shí)際震害面積往往偏小。究其原因是可能是：①在橢圓烈度衰減關(guān)系模型中，烈度隨震中距呈對數(shù)關(guān)系衰減，而實(shí)際烈度衰減關(guān)系受震源特性、深部構(gòu)造、傳播介質(zhì)、場地條件、建筑物結(jié)構(gòu)類型和居民點(diǎn)分布、地形等因素的影響；②采用LM 算法進(jìn)行回歸分析，等震線僅由式（1）中的6 個系數(shù)確定，忽略了各影響因素彼此之間的耦合作用，故造成本研究結(jié)果與真實(shí)烈度數(shù)據(jù)有所偏差。

4 結(jié)果與建議

收集整理1900—2019 年，我國大陸西部地區(qū)488 個地震和東部地區(qū)182 個地震的烈度等震線資料，采用長、短軸橢圓模型，應(yīng)用LM 算法，擬合得到東、西部地區(qū)及各分區(qū)地震烈度衰減關(guān)系。將研究結(jié)果應(yīng)用到：1990—2007 年MS≥6.0 地震震例和2008—2019 年MS≥5.0 地震事件的烈度評估計算，以實(shí)際震害面積與烈度衰減經(jīng)驗(yàn)統(tǒng)計模型所得面積之比為指標(biāo)，驗(yàn)證模型與實(shí)際震害的吻合程度，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：利用本研究所得地震烈度衰減關(guān)系，對實(shí)際震害面積進(jìn)行預(yù)判和評估時，與模型面積相比，高烈度區(qū)實(shí)際震害面積往往偏大，而低烈度區(qū)實(shí)際震害面積往往偏小。

建議按照本研究所得烈度衰減關(guān)系估計實(shí)際震害面積時，將8 度區(qū)模型面積放大約1.5—2.0 倍，7 度區(qū)模型面積縮小約1.5—1.6 倍，6 度區(qū)模型面積縮小約1.8—2.0 倍。

在進(jìn)行烈度分布評估工作時，為了避免烈度衰減關(guān)系標(biāo)定的等震線彼此之間產(chǎn)生耦合作用，可以分別統(tǒng)計不同震級下各烈度圈的長、短軸半徑，與烈度衰減關(guān)系模型相結(jié)合進(jìn)行判斷。