擴散Beddington-DeAngelis捕食食餌模型的行波解

劉欣然,肖海濱

(寧波大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,浙江 寧波 315211)

1 引言

有界行波解是演化PDE一類描述空間狀態(tài)平移過程的不變解,具有形式

行波解在諸多領(lǐng)域,比如生態(tài)種群動力學(xué),燃燒理論,生化反應(yīng),疾病傳播等,具有廣泛的應(yīng)用.擴散捕食-食餌生態(tài)系統(tǒng)的行波解是生物數(shù)學(xué)研究的一個非常重要的主題,近幾十年來一直吸引國內(nèi)外眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注,已有大量的研究成果[1-6].當(dāng)捕食者與食餌間的功能反應(yīng)函數(shù)不依賴捕食者的種群密度時,擴散捕食食餌模型的非負行波解的研究框架較為完整.一般的功能反應(yīng)的擴散捕食食餌模型可描述為拋物型方程組:

其中u(x,t),v(x,t)分別為食餌和捕食者的種群密度,Δ是Laplace算子,正數(shù)d1,d2分別為食餌和捕食者在空間上各自的擴散系數(shù),B(u),?H(v)v分別稱為食餌和捕食者的增長函數(shù),f(u,v)稱為捕食者對食餌的功能反應(yīng)函數(shù),而常數(shù)β稱為二者相互作用的轉(zhuǎn)化系數(shù).

當(dāng)系統(tǒng)(1)的功能反應(yīng)函數(shù)不依賴捕食者種群密度時,其行波解的研究相對比較完整,Dunbar是研究捕食-食餌擴散系統(tǒng)行波解的先鋒.在忽視食餌擴散和考慮食餌擴散的情況下,基于 Wazewski原理和LaSalle不變原理,文獻[7-8]應(yīng)用拓撲打靶方法分別證明:LotKa-Volterra微分方程模型存在連結(jié)邊界平衡點到共存平衡點的非負行波解.文獻[9]又進一步研究了功能反應(yīng)函數(shù)為Holling-Ⅱ型的擴散捕食食餌模型,結(jié)合Hopf分支理論,證明了連結(jié)邊界平衡點到周期軌道的非負行波解的存在性.與此同時,文獻[10]應(yīng)用連結(jié)指標(biāo)理論研究捕食系統(tǒng)的行波解.文獻[11]進而綜合應(yīng)用Conley指標(biāo),連續(xù)性理論和連結(jié)矩陣理論,對一類抽象捕食系統(tǒng)建立了各種不同類型的行波解.后來,文獻[12-13]基于Dunbar的研究方法和Hopf分支理論分別研究了Holling-Ⅱ型和Holling-III型的捕食系統(tǒng)連結(jié)兩個平衡點的行波解和小振幅周期波鏈的存在性.最近十年來,捕食生態(tài)系統(tǒng)的行波解仍為應(yīng)用數(shù)學(xué)研究工作者的熱點主題,涌現(xiàn)出不少重要的研究成果.如有別于眾多文獻的不同之處,基于有界Wazewski集的構(gòu)造,文獻[14]研究了Sigmoidal型的捕食系統(tǒng)的連結(jié)邊界平衡點到共存平衡點和原點到共存平衡點的行波解,推廣了相關(guān)文獻的結(jié)果.文獻[15]應(yīng)用文獻[8]的思想方法研究了具有一般增長函數(shù)的擴散Gauss型的捕食系統(tǒng)的行波解,推廣了眾多文獻的相關(guān)結(jié)論.文獻[16]借助于獨特的Wazewski集的構(gòu)造,在忽視食餌擴散和功能反應(yīng)函數(shù)缺少單調(diào)性假設(shè)的情形下,研究了擴散捕食模型

連結(jié)邊界平衡點到共存平衡點的行波解.據(jù)筆者目前所知,文獻[16]的結(jié)果是對較為一般的上述系統(tǒng)在較為弱的且具有生態(tài)意義條件下獲得的最優(yōu)結(jié)果.最近,文獻[17]進一步考慮了捕食種群具有非線性密度限制的捕食模型,指出文獻[16]的結(jié)果在這種密度制約下可以保持.

當(dāng)系統(tǒng) (1)的功能反應(yīng)函數(shù)依賴捕食者種群密度時,現(xiàn)有文獻對其行波解的研究相對比較零散,反應(yīng)函數(shù)主要集中為 Beddington-DeAngelis型.文獻 [18]考察了食餌具有 Logistic增長,捕食者具有常死亡率的擴散Beddington-DeAngelis模型,應(yīng)用文獻[7-8]的思想方法給出系統(tǒng)存在連結(jié)邊界平衡點到共存平衡點的非負行波解的充分條件及臨界波速.后來,文獻 [19]又進一步利用文獻 [16]的方法,把建立半連結(jié)軌道的方法推廣到功能反應(yīng)函數(shù)依賴捕食種群密度的情形,并應(yīng)用到具有線性密度制約的 Beddington-DeAngelis模型.接著,文獻 [20]總結(jié)文獻 [16],文獻 [19]的思想,把方法推廣到考慮食餌擴散的情形,即四維的行波系統(tǒng),并應(yīng)用到線性密度制約的Beddington-DeAngelis模型.

正如文獻[21-22]指出的那樣,不少種群特別是能量級別高的捕食種群的死亡因素不僅僅包括自然死亡,還存在種內(nèi)競爭,人為破壞等.為此,為方便起見,本文將研究捕食者和食餌都具有一般非線性密度制約的一維擴散Beddington-DeAngelis模型

的非負行波解,其中B(u),?H(v)v分別稱為食餌和捕食者的增長函數(shù),a,m,n均為正常數(shù),正數(shù)d為捕食者的擴散系數(shù),Δ是Laplace算子.具體的結(jié)構(gòu)性假設(shè)將在下面給出.當(dāng)B(u)=ru(1?u),H(v)=μ+δv時,系統(tǒng)(3)即為文獻[19]中討論的線性密度制約模型.

2 模型假設(shè)及主要結(jié)果

系統(tǒng)(3)的ODE系統(tǒng)如下:

2 基本準備

令u(x,t)=U(x+ct)=U(ξ),v(x,t)=V(x+ct)=V(ξ),代入系統(tǒng) (3)得其行波系統(tǒng)

易知,(U(ξ),V(ξ))是系統(tǒng) (5)的解當(dāng)且僅當(dāng) (U(x+ct),V(x+ct))是系統(tǒng) (3)的解.令cW=cV?dV′,將系統(tǒng)(5)轉(zhuǎn)化為與之等價的一階方程組

因此,(U(x+ct),V(x+ct))為系統(tǒng)(3)存在連結(jié)平衡點EK和E?的非負行波解當(dāng)且僅當(dāng) (U(ξ),V(ξ),W(ξ)) 是系統(tǒng) (6) 滿足U(ξ)≥0,V(ξ)≥0,?∞<ξ<+∞和邊界條件

的解,即連結(jié) (K,0,0)到 (u?,v?,v?)的軌道.由于數(shù)學(xué)符號表示的習(xí)慣,系統(tǒng) (6)的時間ξ仍記為t.系統(tǒng)(6)在(K,0,0)處的線性化系統(tǒng)為

經(jīng)過計算得到,其系數(shù)矩陣有三個特征值

3 定理1.1的證明

通過構(gòu)造一個Wazewski集來獲得系統(tǒng)(6)以邊界平衡點(K,0,0)為α極限點的非負半軌道,并利用拓撲打靶法證明此半軌道以共存平衡點(u?,v?,v?)為ω極限點,來證得它即為系統(tǒng)(6)的連結(jié)(K,0,0)到(u?,v?,v?)的非負完全軌道.

3.1 Wazewski集的構(gòu)造

3.2 不變軌道的存在性

本節(jié)研究系統(tǒng)(6)在Σ內(nèi)的以平衡點(K,0,0)為α極限點的不變軌道的存在性.為此考慮研究系統(tǒng)(6)在(K,0,0)處的不穩(wěn)定流形.系統(tǒng)(6)在(K,0,0)處的線性化系統(tǒng)(7)的特征值λ2,λ3,對應(yīng)的特征向量分別為

3.3 連結(jié)軌道的存在性

對引理3.2.2所建立的Σ內(nèi)的軌道γ0,本文通過引入它的Lyapunov函數(shù)來獲得它的V,W分量的一致正有界性,進而證明γ0是連結(jié)平衡點 (K,0,0)和 (u?,v?,v?)的非負軌道.

4 總結(jié)與展望

基于國內(nèi)外研究和生態(tài)學(xué)意義,本論文研究捕食者和食餌皆具有一般非線性密度制約的一維擴散Beddington-DeAngelis模型的行波解,把文獻[18]的捕食者和食餌皆具有線性密度制約的Beddington-DeAngelis模型的連結(jié)邊界平衡點到共存平衡點的行波解的存在性結(jié)果推廣到了一般非線性密度制約情形.盡管如此,系統(tǒng)(1)功能反應(yīng)函數(shù)依賴捕食種群密度但非Beddington-DeAngelis型時,其行波解的研究仍面臨挑戰(zhàn),國內(nèi)外文獻涉足甚少.此外,當(dāng)不能忽視食餌種群的擴散時,此時的行波系統(tǒng)是四維ODE系統(tǒng),對于高維的行波系統(tǒng),如何應(yīng)用拓撲打靶法,建立系統(tǒng)的行波解有些難度,仍有待研究.