蒙特卡洛模擬法在礦業(yè)項目凈現(xiàn)值計算中的應(yīng)用

盧皎旭，李角群，郭進平，程相琛，鄭冰,

(1.西安建筑科技大學(xué) 資源工程學(xué)院，陜西 西安 710055；2.山陽秦鼎礦業(yè)有限責(zé)任公司，陜西 商洛市 726000)

0 引言

凈現(xiàn)值（NPV）法是礦業(yè)項目經(jīng)濟評價中應(yīng)用最廣泛的方法之一，凈現(xiàn)值是進行項目投資決策的一項重要指標(biāo)[1-4]，其計算結(jié)果的準(zhǔn)確性直接影響項目的投資。凈現(xiàn)值計算受到礦石儲量、貧化率、損失率、礦石的入選品位等諸多可變因素的影響。因此如何提高凈現(xiàn)值的計算精度成了業(yè)內(nèi)亟待解決的主要問題[5]。21世紀(jì)初吳愛祥教授首次將蒙特卡洛模擬法引入礦業(yè)項目的凈現(xiàn)值計算中，并取得了良好的效果。但受制于當(dāng)時計算機和相關(guān)軟件功能的局限性，影響凈現(xiàn)值計算結(jié)果的隨機變量所服從的概率分布仍然是依靠歷史經(jīng)驗來判斷的[6-12]，模擬次數(shù)也是有限的，同時對于凈現(xiàn)值結(jié)果的分析也僅僅只是從直方圖中觀察到大致的結(jié)果，并沒有在一個確定的概率區(qū)間對其進行科學(xué)的分析[12]。為了解決上述問題，本文借助 Stata平臺首先確定影響凈現(xiàn)值計算的隨機變量所服從的概率，之后調(diào)用Stata中的隨機數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生服從特定分布的隨機數(shù)。最后實現(xiàn)對項目凈現(xiàn)值進行蒙特卡洛模擬實驗，并將計算結(jié)果以圖表的形式輸出；蒙特卡洛模擬法的引入解決了凈現(xiàn)值計算過程存在的若干影響因素的隨機性問題，實現(xiàn)了凈現(xiàn)值計算的高效、快速、準(zhǔn)確。

1 蒙特卡洛模擬法概述

蒙特卡洛模擬法也稱為隨機數(shù)模擬法，是一種基于已知隨機變量產(chǎn)生特定隨機數(shù)的模擬方法。其原理是利用影響目標(biāo)問題的隨機變量產(chǎn)生的若干隨機數(shù)來代替相關(guān)變量參與目標(biāo)問題的計算，因此需要首先確定相關(guān)隨機變量所服從的概率分布，并利用Stata中的隨機數(shù)發(fā)生器來產(chǎn)生相應(yīng)的隨機數(shù)。蒙特卡羅模擬法的步驟如下：建立相關(guān)問題的數(shù)學(xué)模型；產(chǎn)生若干特定的隨機數(shù)；進行蒙特卡洛模擬實驗并分析實驗結(jié)果。

1.1 建立凈現(xiàn)值（NPV）模型

礦業(yè)項目凈現(xiàn)值計算過程中，需要充分考慮項目受內(nèi)在因素以及外部條件等不確定因素的影響，如礦石的銷售收入、銷售成本、損失率、貧化率以及政府政策等，礦山的可服務(wù)年限、生產(chǎn)能力、銷售收入、成本費用和采礦技術(shù)參數(shù)等。在實際的礦山項目經(jīng)濟評價過程中，既需要充分考慮其目標(biāo)問題的影響因素，也要考慮計算的方便，因此建立數(shù)學(xué)模型如下。

式中，fNPV為凈現(xiàn)值；ANCF為凈現(xiàn)金流量；i為基準(zhǔn)收益率；BNII為項目初期投資額。

式中，X為礦產(chǎn)品銷售收入；B為礦產(chǎn)品銷售成本；D為折舊費；t為所得稅稅率。

式中，T為礦山的服務(wù)年限；A為礦山年產(chǎn)量；Q為礦床的工業(yè)儲量；ρ為貧化率；η為采礦回采率。

需要注意的是，在計算礦山的服務(wù)年限時應(yīng)該用廢石混入率，但是由于混入的廢石品位一般很低，而且具體數(shù)值不易確定，同時為了計算的簡便，這里直接采用貧化率來代替廢石混入率。同時礦產(chǎn)品的銷售收入主要與礦山的產(chǎn)量和礦產(chǎn)品的價格有關(guān)；礦產(chǎn)品的產(chǎn)量又是由礦石的品位、回采率、貧化率共同決定的，所以凈現(xiàn)值與上述影響因素密切相關(guān)。因此由公式（1）～（3）可得 NPV的計算模型如下：

1.2 產(chǎn)生特定概率分布的隨機數(shù)

蒙特卡洛模擬的思想是：首先確定計算模型中若干隨機變量的概率分布，其次通過 Stata中的隨機數(shù)發(fā)生器來產(chǎn)生特定概率的隨機數(shù)，參與 NPV的計算，最后通過調(diào)用相應(yīng)的程序使得 NPV循環(huán)計算，并對實驗?zāi)M結(jié)果進行統(tǒng)計分析。

蒙特卡洛模擬的前提是產(chǎn)生相當(dāng)數(shù)量的“隨機數(shù)”，之后對模型中的隨機變量建立抽樣方法，實現(xiàn)從已知的概率分布抽樣；由于各種概率模型都可以看成是由已知的概率分布構(gòu)成的，因此產(chǎn)生特定概率分布的隨機變量就成了實現(xiàn)蒙特卡洛模擬的重要方法。其中最簡單、最直接的分布就是（0,1）分布，其他分布都可以看成是由（0,1）分布通過某種特定的方法轉(zhuǎn)化而來，如利用“逆轉(zhuǎn)方法”和“拒絕——接受法”來產(chǎn)生隨機數(shù)[12]。

在實際應(yīng)用中產(chǎn)生均勻隨機分布隨機數(shù)的方法有很多，但應(yīng)用最廣泛的是線性同余法生成隨機數(shù)，公式如下：

式中，a為乘子；函數(shù)mod為求余函數(shù)；m為足夠大的一個正整數(shù)。

使用該方法時必須給定一個初始值x0，也稱種子值（Seed），而且種子值的選取須在1和最大值m之間。原則上參數(shù)可以根據(jù)自身需要設(shè)定，但是為了避免出現(xiàn)全周期情況，參數(shù)應(yīng)按規(guī)則選取，才能使得生成的隨機數(shù)滿足問題的需要[8-9]。

生成相關(guān)隨機數(shù)之后通過調(diào)用相關(guān)程序，將會對若干隨機數(shù)進行統(tǒng)計分析，得出其平均值、標(biāo)準(zhǔn)偏差、最大值和最小值。之后采用“逆轉(zhuǎn)方法”產(chǎn)生目標(biāo)問題的隨機數(shù)即可。

1.3 蒙特卡洛模擬實驗

在產(chǎn)生相應(yīng)的隨機數(shù)之后進行蒙特卡洛模擬實驗，通過編制相應(yīng)的程序?qū)椖績衄F(xiàn)值進行1000次的蒙特卡洛模擬實驗。需要注意的是在模擬過程中是用“偽隨機數(shù)”來代替隨機數(shù)，最終將產(chǎn)生的偽隨機數(shù)代入 NPV的表達式中進行計算，求解出1000次模擬實驗的NPV值，最后對其進行統(tǒng)計分析。通過分析結(jié)果對項目凈現(xiàn)值做出科學(xué)的判斷，進而為項目的投資提供科學(xué)的支撐。蒙特卡洛模擬凈現(xiàn)值計算過程如圖1所示。

圖1 基于蒙特卡洛模擬的NPV計算過程

2 工程實例

山陽秦鼎礦業(yè)公司設(shè)計前期露天開采，后期地下開采。項目預(yù)計 2025年全面建成，達產(chǎn)后黃金產(chǎn)量有望達到5 t以上。該礦山為國家級綠色礦山（試點）單位。截至 2019年底，礦山項目保有黃金資源儲量為172 t，平均品位為1.99 g/t。礦山的詳細資料見表1。

表1 秦鼎礦業(yè)公司相關(guān)地質(zhì)資料

根據(jù)礦山相關(guān)資料，利用蒙特卡洛模擬法對項目凈現(xiàn)值進行計算。

凈現(xiàn)值法判斷的依據(jù)是：若最終計算NPV≥0，則說明該項目風(fēng)險較小，是可以接受的；若NPV＜0，則說明該項目風(fēng)險較大，是不可以接受的。

由公式（4）可知隨機變量有A、Q、ρ、α等。對該礦山相關(guān)變量進行統(tǒng)計，結(jié)果見表2。

對表2中礦床工業(yè)儲量Q進行統(tǒng)計分析和正態(tài)性檢驗，如圖2所示。由圖2可知，礦床的工業(yè)儲量隨時間變化的曲線服從N（172，5.22）的正態(tài)分布。對該礦山礦石入選品位α進行統(tǒng)計分析和正態(tài)性檢驗，如圖3所示。由圖3可知，礦石入選品位隨時間變化的曲線服從N(1.99，0.012)的正態(tài)分布。對該礦山的礦石銷售價格γ進行統(tǒng)計分析和正態(tài)性檢驗，如圖4所示。由圖4可知，礦石的銷售價格隨時間變化的曲線服從 N（362.34，5.22）的正態(tài)分布。對礦石的銷售成本c進行統(tǒng)計分析和正態(tài)性檢驗，如圖5所示。由圖5可知，礦石的銷售成本隨時間變化曲線服從N(176，3.22)的正態(tài)分布。并對折舊費、所得稅率、礦山的年產(chǎn)量、采礦回采率、礦石回采率等進行統(tǒng)計分析和正態(tài)性檢驗，結(jié)果均不服從正態(tài)分布。

圖2 礦床工業(yè)儲量變化規(guī)律

圖3 礦石入選品位變化規(guī)律

圖4 礦石銷售價格變化規(guī)律

圖5 礦石銷售成本變化規(guī)律

表2 秦鼎礦業(yè)2000-2020年相關(guān)參數(shù)

在 Stata中通過編制相應(yīng)的程序計算基于若干隨機數(shù)變量的NPV，之后再對蒙特卡洛模擬得到的1000個凈現(xiàn)值進行統(tǒng)計分析，從總體上對項目凈現(xiàn)值做出判斷，為項目的評價提供科學(xué)的支撐。

其原理如下：對于模型中的每一個隨機變量進行一次模擬計算需要一個隨機數(shù)參與；而每產(chǎn)生一個隨機數(shù)，對應(yīng)就產(chǎn)生一個凈現(xiàn)值，本次模擬實驗進行1000次，也就產(chǎn)生了1000個對應(yīng)的隨機數(shù)和1000個凈現(xiàn)值。最后對模擬結(jié)果進行統(tǒng)計分析，如圖6所示。

由圖6可知，該項目的NPV均值為3 756 799元，最大值為3 800 265元，最小值為253 456元，均大于 0，說明該項目在理論上是可行的；之后基于這1000次模擬的凈現(xiàn)值樣本在98% 的置信區(qū)間對其進行分析，結(jié)果見表3。由表3可知，該項目凈現(xiàn)值均值分布范圍為（3 712 543, 4 001 055），也就是說凈現(xiàn)值均值落在（3 712 543, 4 001 055）上的概率為 98%，再次驗證該礦山項目的投資是可行的。

圖6 蒙特卡洛模擬1000次的凈現(xiàn)值頻率分布直方圖

表3 模擬1000次的凈現(xiàn)值在98%置信區(qū)間分析結(jié)果

3 結(jié)論

（1）在Stata中既可以確定隨機變量服從的概率分布，也可以直接對 NPV進行蒙特卡洛模擬實驗，并將計算結(jié)果以圖表的形式輸出，從圖表中可以直觀看出凈現(xiàn)值的相關(guān)情況，為項目經(jīng)濟性評價提供科學(xué)的支撐，具有較強的可操作性和實用性。

（2）基于蒙特卡洛模擬的凈現(xiàn)值NPV計算，充分考慮了“隨機變量”對 NPV的影響，完善了以往在其計算過程中對變量的處理方法，同時在98%置信區(qū)間對模擬結(jié)果進行統(tǒng)計分析，使得結(jié)果更加合理可靠。

（3）蒙特卡洛模擬法的實質(zhì)是基于已知隨機變量產(chǎn)生特定隨機數(shù)的前提下進行的，因此實驗的可靠性與相關(guān)隨機變量服從的概率分布準(zhǔn)確與否有關(guān)，若隨機變量服從的概率分布有偏差，則可能導(dǎo)致實驗結(jié)果存在較大誤差。