零件曲線擬合不確定度的評估與降低方法

韋進(jìn)文

(廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,530004,南寧)

曲線擬合廣泛應(yīng)用于逆向工程、產(chǎn)品檢測與加工質(zhì)量控制等許多領(lǐng)域[1]。在應(yīng)用傳統(tǒng)的最小二乘法(LSM)擬合時,需要給出所用直線、圓弧等幾何元素類型(以下簡稱元素)的目標(biāo)函數(shù),以及分割點(diǎn)(邊界)處的約束條件,力求使元素盡可能逼近待擬合數(shù)據(jù)序列[2]。但是,數(shù)據(jù)序列所包含的元素種類、數(shù)量等通常是不可知的,也就無法預(yù)先給出分割點(diǎn)處的約束條件,甚至正確的目標(biāo)函數(shù)。很多情況下,元素類型、數(shù)量及各自的數(shù)據(jù)范圍是主觀指定的,這顯然不合理。在很多情況下,需要揭示數(shù)據(jù)對象的內(nèi)在信息比單純的數(shù)據(jù)逼近更有用[3]。所以,待擬合數(shù)據(jù)序列的辨識、分割是一種重要技術(shù)[4]。

以霍夫變換為代表的一類傳統(tǒng)數(shù)據(jù)分割方法主要用于直線與圓等簡單元素識別[5]。把數(shù)據(jù)序列的點(diǎn)映射到某元素參數(shù)空間,若多個映射交匯于一點(diǎn),則對應(yīng)數(shù)據(jù)點(diǎn)屬于相同元素。這種用點(diǎn)映射“投票”來決定其所屬元素的方法受噪聲或誤差影響時,在參數(shù)空間中可能由于“票數(shù)分散”引起識別誤差[6],表明其鑒別能力有限。此外,霍夫變換用二維參數(shù)空間一個點(diǎn)來表示數(shù)據(jù)序列的參數(shù)恒定性,不適于其他高維參數(shù)元素的辨識與分割;簡單元素如直線或圓弧的數(shù)據(jù)分割方法還包括遺傳算法[7]、曲率分析[8]等。曲率分析涉及微分運(yùn)算,受數(shù)據(jù)噪聲影響較大;而遺傳算法的分割精度不高。較復(fù)雜的其他元素如樣條曲線,可以用模板匹配(廣義霍夫變換)[9]、粒子群優(yōu)化或杜鵑搜索算法[10]等分割方法,但精度有限;也有人采用曲線二階導(dǎo)數(shù)符號變化來判斷元素分割點(diǎn)[11],但受噪聲影響很大。

擬合中的數(shù)據(jù)分割是一個隨機(jī)事件。傳統(tǒng)擬合只考慮減小數(shù)據(jù)噪聲與誤差的影響,使元素盡量逼近所擬合的數(shù)據(jù)序列,而對正確元素選用以及數(shù)據(jù)分割準(zhǔn)確性對擬合的影響重視不夠;分割方法一般存在適用特征維數(shù)低、受噪聲影響大且分割點(diǎn)的隨機(jī)偏移量大等不足。本文探討數(shù)據(jù)分割誤差與用錯元素等因素對擬合的影響,據(jù)此提出一種幾何元素辨識及其數(shù)據(jù)分割方法。

1 不確定度評估

根據(jù)JJF1059.1—2012,測量不確定度評估方法有指南法(GUM)與蒙特卡羅法(MCM)[12]等,其中GUM用于線性、對稱或正態(tài)測量模型,而MCM用于非線性模型[13]。曲線擬合不確定度來源主要有:數(shù)據(jù)噪聲與誤差、數(shù)據(jù)分割誤差以及用錯元素(例如把圓弧誤當(dāng)做直線進(jìn)行擬合)。數(shù)據(jù)噪聲與誤差在測量領(lǐng)域普遍存在,相應(yīng)的不確定度評估已有成熟方法例如GUM[12];分割誤差不僅由數(shù)據(jù)誤差引起,還常常源于分割方法;而用錯元素的原因與后果則更為復(fù)雜。因此,曲線擬合一般是一個強(qiáng)非線性模型。所以本文考慮MCM評估,以一個凸輪為對象,對其輪廓擬合實(shí)施MCM數(shù)字仿真實(shí)驗(yàn)。

1.1 實(shí)驗(yàn)對象設(shè)計(jì)

某凸輪輪廓曲線包含4個元素,名稱與參數(shù)分別為:基圓弧b1與b2,圓心均為(0,0)、半徑均為18;頂圓弧T,圓心為(20,0)、半徑為5;右圓弧R,圓心為(-10.475 0,22.699 7)、半徑為43;Bezier曲線段Bez,頂點(diǎn)為Q0(30.253 2,-8.957 3)、Q1(22.214 9,13.278 1)與Q2(-1.213 9,19.458),各參數(shù)的單位均為mm。圓弧R與曲線段Bez的兩端分別關(guān)于x軸對稱;各元素在連接點(diǎn)處滿足C1連續(xù);由于Q0與Q2均在輪廓外,曲線段Bez僅部分在輪廓上,兩端分別對應(yīng)伯恩斯坦基函數(shù)的參數(shù)t=0.3與t=0.8。

把該輪廓線從基圓弧的中部開始,繞原點(diǎn)進(jìn)行以1°為步長的等角采樣離散,可以得到360個采樣點(diǎn),分為5個子集,即圓弧b1:{P1,…,P115},圓弧R:{P116,…,P171},圓弧T:{P172,…,P187},曲線段Bez:{P188,…,P245},及圓弧b2:{P246,…,P360},即各元素?cái)?shù)據(jù)段末端數(shù)據(jù)點(diǎn)下標(biāo)為{ieb,ieR,ieT,ieB}={115,171,187,245}。

對采樣數(shù)據(jù)施加均方差σ=0.1 μm的高斯噪聲。

1.2 曲線擬合算法

1.2.1 圓弧擬合 待擬合的參數(shù)為半徑r與圓心(xc,yc)。設(shè)數(shù)據(jù)序列(xi,yi),i=1,…,mc,由最小二乘法(LSM)得目標(biāo)函數(shù)為

(1)

1.2.2 Bezier曲線擬合 二階Bezier曲線具有足夠曲率與平滑性,可以很好擬合一般的樣條曲線。由控制點(diǎn)Q0～Q2生成的Bezier曲線中,將其參數(shù)方程中的參數(shù)消掉,得到拋物線形式的Bezier曲線

(Cyx-Cxy)2+[2(ByCx-BxCy)Cy+

Ay(AxCy-AyCx)]x+[2(BxCy-ByCx)Cx+

Ax(AyCx-AxCy)]y+(AxBy-AyBx)(AxCy-

AyCx)+(ByCx-BxCy)2=0

式中:A=2(Q1-Q0);B=Q0;C=(Q0+Q2-2Q1);x、y可互換。

設(shè)Cx≠0,Bezier曲線LSM目標(biāo)函數(shù)的一般形式為

(2)

作為一般的圓錐曲線,其LSM目標(biāo)函數(shù)則為

傳統(tǒng)的樣條曲線參數(shù)化(如累加弦長參數(shù)化CCL)擬合通常需要曲線的控制端點(diǎn)Q0或Q2,用拋物線擬合則不受此限制,可以很好地?cái)M合曲線片段。

1.2.3 含多元素曲線的LSM擬合 把前述實(shí)驗(yàn)對象分割后的數(shù)據(jù)(xi,yi)按整體擬合,其LSM目標(biāo)函數(shù)為

s.t.C1連續(xù)

在圓弧R兩端R1與R2滿足

(xb-xR)2+(yb-yR)2-(rb-rR)2=0,(xT-xR)2+(yT-yR)2-(rT-rR)2=0;在曲線段Bez兩端(R1x,-R1y)與(R2x,-R2y)滿足

而

Z={xb,yb,rb,xR,yR,rR,xT,yT,rT,b1,b2,b3,b4}

(3)

為待擬合的13個參數(shù),可用諸如高斯-牛頓法解之。為了簡單方便,以下用擬合誤差表示相應(yīng)的參數(shù)

δZ=

{δxb,δyb,δrb,δxR,δyR,δrR,δxT,δyT,δrT,δ1,δ2,δ3,δ4}

1.3 不確定度模型

1.3.1 數(shù)據(jù)分割誤差造成的擬合不確定度 分割誤差可視為隨機(jī)變量。考慮到前述實(shí)驗(yàn)對象4個分割點(diǎn)關(guān)于x軸對稱,分割點(diǎn)下標(biāo){ieb,ieR,ieT,ieB}的誤差設(shè)為{d1,d2,-d2,-d1},其中{d1,d2}服從{μ1,μ2}=0,Σ=diag(σ1,σ2)的二維正態(tài)分布。各元素分割系依據(jù)其各自局部參數(shù)特征,其獨(dú)立性是有保證的,所以d1與d2不相關(guān),即

d1～N(0,σ12);d2～N(0,σ22)

(4)

在離散測量數(shù)據(jù)序列中,{d1,d2}應(yīng)離散為整數(shù),即把小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字4舍5入?？紤]分割誤差后,上述凸輪輪廓4個元素?cái)?shù)據(jù)段的下標(biāo)鄰域依次變?yōu)?/p>

[1+ieB-d1,ieb+d1];[1+ieb+d1,ieR+d2]

[1+ieR+d2,ieT-d2];[1+ieT-d2,ieB-d1]

以下設(shè)定幾組分割誤差的組合{σ1,σ2},每對組合實(shí)施5×104次數(shù)字仿真實(shí)驗(yàn),各組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)仍用前述的噪聲水平。由于概率密度函數(shù)(PDF)與直方圖的相似性,圖1給出xb、yb、b1、b4等幾個參數(shù)用直方圖表示的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,δzi(σ1,σ2)～F,F為實(shí)驗(yàn)出現(xiàn)頻次。參數(shù)期望與不確定度見表1。

表1 各種分割誤差的擬合期望與不確定度Table 1 Some fitting results under various segmentation errors

圖1中,若分割誤差{σ1,σ2}=0,擬合誤差直方圖在噪聲作用下大致呈現(xiàn)正態(tài)分布的形態(tài)δZ～N(μ,Σ),幾乎所有的擬合誤差期望均在μm級以下,不難從中建立其PDF及各參數(shù)的置信區(qū)間。然而,隨著分割誤差的出現(xiàn),擬合誤差直方圖呈現(xiàn)出復(fù)雜的多峰形態(tài)(d1,d2離散化導(dǎo)致的欄柵效應(yīng))。在MCM實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn),擬合誤差狀況與元素及其參數(shù)的對稱性、數(shù)據(jù)段大小、擬合算法魯棒性等有關(guān)。

(a)圓弧b段參數(shù)xb擬合誤差隨分割誤差的直方圖

(b)圓弧b段參數(shù)yb擬合誤差隨分割誤差的直方圖

(c)曲線段Bez參數(shù)a1擬合誤差隨分割誤差的直方圖

(d)曲線段Bez參數(shù)a4擬合誤差隨分割誤差的直方圖圖1 部分變量擬合的MCM實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.1 The results of some MCM experiments

(1)元素/參數(shù)對稱性及數(shù)據(jù)段大小。圓弧b與圓弧T均關(guān)于x軸對稱,而圓弧R與曲線段Bez既不對稱也不互相對稱。圓弧b與圓弧T的對稱性會隨著混入圓弧R與曲線段Bez的數(shù)據(jù)點(diǎn)錯誤而變差。因此,δyb的正態(tài)形狀隨著分割誤差而逐漸變壞;而圓弧T則由于數(shù)據(jù)量過少,在分割誤差很小時δyT即出現(xiàn)欄柵效應(yīng)。

(2)算法魯棒性。式(3)中曲線段Bez的參數(shù)a4階次最低,魯棒性最差。故δ4對分割誤差敏感性遠(yuǎn)超過其對數(shù)據(jù)噪聲的敏感性,會隨著分割誤差而快速增大甚至發(fā)散。曲線段Bez的其他參數(shù)相對圓弧參數(shù)的魯棒性也比較差。若各元素分別用式(1)或(2)單獨(dú)擬合,圓弧b與圓弧T元素只分別受σ1與σ2影響,而圓弧R與曲線段Bez則都受到二者影響;但若用式(3)整體擬合,任一分割誤差均會影響所有參數(shù)。

1.3.2 用錯元素類型造成的擬合不確定度 最可能出現(xiàn)的用錯元素情況是曲線段Bez被當(dāng)作圓弧處理。不考慮曲線段Bez與圓弧R的對稱性,另設(shè)一圓弧B及其參數(shù){xB,yB,rB},用圓弧B的取代Bezier的LSM目標(biāo)函數(shù)以仿真用錯元素。這樣式(3)中共有12個參數(shù)。圖2與表2給出部分MCM實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

(a)用圓弧擬合曲線段Bez時參數(shù)xB擬合誤差隨分割誤差的直方圖

(b)用圓弧擬合曲線段Bez時參數(shù)yB擬合誤差隨分割誤差的直方圖圖2 用圓弧擬合曲線段Bez的部分MCM實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.2 The results of the MCM experiments on the Bez fitted by an arc

表2 用圓弧擬合曲線段Bez的參數(shù)期望與不確定度Table 2 The fitting results of the Bez by an arc

由實(shí)驗(yàn)結(jié)果看出其特點(diǎn):沒有分割誤差時,圓弧B擬合誤差直方圖在一定程度上呈現(xiàn)期望不為0的正態(tài)性,但擬合準(zhǔn)確度不如Bezier曲線,也不及與其相對稱的圓弧R,且不確定度也比較大;有分割誤差時,出現(xiàn)了欄柵效應(yīng),不確定度增大但不顯著。由于樣條曲線擬合算法魯棒性較弱[14],圓弧B對分割誤差的敏感性遠(yuǎn)小于Bezier,用式(1)擬合曲線段Bez的準(zhǔn)確度可能比式(2)高。

2 降低曲線擬合不確定度

上述實(shí)驗(yàn)表明,對曲線擬合影響最大的是元素選擇與數(shù)據(jù)分割,而非數(shù)據(jù)噪聲。為了降低不確定度,以下提出一種從零件曲線中正確識別所含元素類型并準(zhǔn)確分割其數(shù)據(jù)段的方法。

2.1 基本原理

待擬合數(shù)據(jù)序列包含多個元素時,每個數(shù)據(jù)段所屬元素的參數(shù)特征恒定不變。由此,本文的元素識別與數(shù)據(jù)分割原理為:將待擬合數(shù)據(jù)序列按序劃分為多個包含少量局部數(shù)據(jù)點(diǎn)的子集(稱為數(shù)據(jù)子集),用于計(jì)算某元素的一組參數(shù)特征;順序掃描各數(shù)據(jù)子集,如果參數(shù)特征恒定則相應(yīng)子集屬于該元素,不恒定則無該元素;逐個測試各個可能元素,通過觀察相應(yīng)參數(shù)特征恒定性,可以判斷是否存在其數(shù)據(jù)段;以此類推,實(shí)現(xiàn)整個序列的元素識別與數(shù)據(jù)分割。

上述原理是在理想狀況下的。實(shí)際上數(shù)據(jù)序列都包含噪聲、錯誤等,各順序數(shù)據(jù)子集即使屬于同一元素,它們的特征一般也不相同。這就需要一種方法盡量抑制噪聲、錯誤的影響,凸顯元素幾何特征,以利于其恒定性判斷。高維叉積運(yùn)算能滿足該需求。

2.1.1 高維叉積的定義及其魯棒性質(zhì)[15]

定義對于n×(n+1)叉矩陣X={X1;…;Xn},對應(yīng)的叉積運(yùn)算定義為Xn+1=cross(X)={Xn,1,…,Xn,n+1},且

Xn+1,j=

式中:Xi∈Rn+1;i,j=1,…,n+1。

積向量的模為

‖Xn+1‖=

‖X1‖…‖Xn‖|B|0.5

式中:βij為向量Xi與Xj的夾角。

或

即‖Xn+1‖包含了Xi的模與方位信息,且與‖Xi‖之比為可變的比例系數(shù)cosαi/cosαr。由于αr越接近π,在Xr附近‖Xn+1‖對‖Xi‖的變化率越小,即Xn+1的魯棒性越強(qiáng);反之,若αr→π/2,則Xn+1的魯棒性變差。故αr可用作積向量對Xi的魯棒性指標(biāo)。

2.1.2 基于高維叉積的元素識別與數(shù)據(jù)分割 對于待擬合序列Pi,i=1,…,m,順序構(gòu)造某測試元素的數(shù)據(jù)子集序列(Pi,Pi+s,Pi+2s,…),從中計(jì)算各相應(yīng)的參數(shù)特征向量Xi∈Rn+1。為了觀察該參數(shù)特征序列是否恒定,把它們映射到一個標(biāo)量即積向量模

‖Xn+1(X)‖=‖cross[X;E]‖

(5)

式中:E={E1;…;En-1}∈R(n-1)×(n+1)為常數(shù)映射矩陣;設(shè)X的正交角為α。

當(dāng)掃描某個數(shù)據(jù)段時,假設(shè)該數(shù)據(jù)段屬于所測試的元素,其對應(yīng)的特征向量為常向量Xr,對應(yīng)的正交角為αr,有α,αr∈[π/2,π]。以Xr為參照,若噪聲或數(shù)據(jù)誤差使特征向量從Xr變?yōu)閄,對應(yīng)參考正交角變化為αr→α。選用不同的αr導(dǎo)致的比例系數(shù)cosα/cosαr隨X的方位變化情況:若αr接近π/2,比例系數(shù)隨X正交角而急劇變化,‖Xn+1(X)‖亦將隨X而劇烈變化;若αr接近π,比例系數(shù)只隨正交角在1附近稍有平緩變化,噪聲或錯誤引起X的波動在‖Xn+1(X)‖中被抑制。如果數(shù)據(jù)屬于被測元素,則‖Xn+1(X)‖保持恒定直至數(shù)據(jù)不再屬于被測元素而出現(xiàn)轉(zhuǎn)折或拐點(diǎn),這樣通過檢測‖Xn+1(X)‖的恒定性及其范圍而實(shí)現(xiàn)被測元素的識別與數(shù)據(jù)分割。

參考正交角αr取決于映射矩陣E的構(gòu)造。

2.1.3 根據(jù)特征恒定性的要求構(gòu)造映射矩陣 映射矩陣E決定于所選用的參考向量Xr。為了了解各數(shù)據(jù)子集的特征向量X是否與Xr相同,應(yīng)該抑制X中的噪聲干擾,以便于觀察積向量模恒定性。所以,針對Xr構(gòu)造映射矩陣E使αr→π。以被測試序列的第1個特征向量X1為參照,若其他特征向量X與X1相同,則式(5)中的積向量模能最大限度克服數(shù)據(jù)噪聲與誤差的影響而展現(xiàn)出相同性;反之,若X與X1不同,由于積向量模魯棒性好,也能夠最大限度克服數(shù)據(jù)噪聲與錯誤的影響而展現(xiàn)出特征向量序列X與X1的差異,利于判斷測試元素的不成立。由式(5)可得

(6)

式中:βr,i為Xr與Ei的夾角;βi,j為Ei與Ej的夾角。由于要求αr=π,可得cosβref,i=0,即Xr對E的約束為

2.1.4 根據(jù)準(zhǔn)確定位分割點(diǎn)的要求構(gòu)造映射矩陣 為了精確定位兩個相鄰元素的邊界,應(yīng)該抑制測試數(shù)據(jù)段在Xn+1的噪聲,同時放大其相鄰數(shù)據(jù)段在Xn+1的噪聲,使它們之間形成強(qiáng)烈反差,以便于鑒別它們的分割點(diǎn)。假設(shè)相鄰元素的參考特征向量為XN,則映射矩陣應(yīng)該滿足αN→π/2。XN對E的約束為

由于要求在XN附近放大噪聲對‖Xn+1(X)‖的影響,所以cosβN,i→1。建立以E為變量的方程組

(7)

根據(jù)式(6),若要求βN,1=…=βN,n-1,則cosβN,i≈1/(n-1)0.5。

由此構(gòu)造的映射矩陣滿足了映射要求。

2.1.5 測試元素的特征向量 把數(shù)據(jù)子集序列轉(zhuǎn)化為測試元素的特征序列是本方法的一個重要步驟。對于曲面,常用法向量用作為特征向量[16],而對于簡單一維元素,則可用其主要參數(shù)做其特征向量。

(1)圓弧特征:用圓弧所在的圓半徑r與圓心(xc,yc)作為圓弧元素的特征向量,即X={xc,yc,r},其數(shù)據(jù)子集為(xi,yi),i=1,…,mc,用式(1)將該數(shù)據(jù)子集轉(zhuǎn)化為特征向量。

(2)Bezier曲線特征:數(shù)據(jù)子集{Pi,Pj,Pk}可用參數(shù)化方法轉(zhuǎn)化為Bezier曲線元素的特征向量,但這樣的特征向量沒有獨(dú)立性。用拋物線參數(shù)Xi={b1,…,b4}作為Bezier曲線特征,其對應(yīng)的數(shù)據(jù)子集為{Pi,Pi+s,Pi+2s,Pi+3s},用式(2)進(jìn)行數(shù)據(jù)子集到特征向量的轉(zhuǎn)化,則特征向量有獨(dú)立性或局部性。

2.2 凸輪輪廓元素識別與數(shù)據(jù)分割實(shí)驗(yàn)

考慮到每個元素?cái)?shù)據(jù)段的起始點(diǎn)實(shí)際上是未知的,任取一點(diǎn)如P1作為識別、分割掃描的起始點(diǎn)。通過觀察特征向量的恒定性確定,一個數(shù)據(jù)段是否屬于測試元素,如果屬于則找出其終點(diǎn)。如此反復(fù)直至完成整個數(shù)據(jù)序列的掃描。

2.2.1 霍夫變換的圓弧數(shù)據(jù)識別分割 傳統(tǒng)方法在數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi處構(gòu)造圓弧法線做為霍夫變換,容易受噪聲影響[5]。因此,改用弦PiPi+s的平分線作為霍夫變換,即把凸輪輪廓數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi(xi,yi)映射為

其中可取數(shù)據(jù)步長s≡常數(shù),i=1,2,…;也可取s=1,2,…,i≡1。如果以各連續(xù)點(diǎn)的霍夫變換交點(diǎn)O作為其所在圓弧的圓心,即若Pi辨識為一段圓弧的點(diǎn),則Pi+1,…,Pi+s也都位于該圓弧上,并可求出圓弧半徑,找到圓弧的最后一個點(diǎn)后,即完成了該圓弧的數(shù)據(jù)分割。

這種圓弧數(shù)據(jù)分割精度受霍夫矩陣維數(shù)及所設(shè)的圓心與弦平分線距離容差影響比較大。經(jīng)過反復(fù)嘗試,取霍夫矩陣維數(shù)5 400×5 520與s≡3,得到弧b的圓心為(3.52,-4.17) μm,相應(yīng)數(shù)據(jù)段下標(biāo)為

i∈[1,116]∪[179]∪[245,360]

多出了下標(biāo)為i=116,245,179的3個點(diǎn)。維數(shù)低容易誤分,降低容差則容易丟失一些點(diǎn)。

2.2.2 高維叉積映射的數(shù)據(jù)分割 先以圓錐曲線為測試元素,其數(shù)據(jù)子集為{Pi,Pi+s,Pi+2s,Pi+3s,Pi+4s,Pi+5s},數(shù)據(jù)步長s=6。對應(yīng)的特征向量序列Xi={b1,…,b5},以Xr=X1設(shè)計(jì)映射矩陣,用式(5)進(jìn)行映射,結(jié)果見圖3a。圖中顯示在下標(biāo)i∈[1,85]范圍內(nèi)的圓錐曲線特征向量是恒定的,從i=86開始為其他特征向量。由于X86對應(yīng)的數(shù)據(jù)子集為{P86,P92,P98,P104,P110,P116},可知P116為下一個數(shù)據(jù)段的第1個點(diǎn)。所以下標(biāo)i∈[1,115]的數(shù)據(jù)段為一段圓錐曲線。

以圓弧為測試元素,其數(shù)據(jù)子集為{Pi,Pi+s,Pi+2s,Pi+3s},s=1,對應(yīng)的特征向量為Xi={xc,yc,r}。以Xr=X1,XN=X116設(shè)計(jì)映射矩陣,再進(jìn)行特征向量序列的映射,見圖3b,下標(biāo)為i∈[1,112]范圍的特征向量是恒定的;i=113處出現(xiàn)拐點(diǎn),而對應(yīng)的數(shù)據(jù)子集為{P113,P114,P115,P116},可知P116屬于下一元素的點(diǎn)。同樣可得知,下標(biāo)i∈[1,115]范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)段為一段圓弧。另外,圖3a中i=86的拐點(diǎn)由特征向量的變化產(chǎn)生的,其后的特征向量相對于參考向量變化較大,緩慢過度則可能無法形成清晰的拐點(diǎn);圖3b中雖然水平噪聲相同,但是兩個參考向量的比例系數(shù)不同,使i≤113與i≥115分別形成了兩種噪聲形態(tài);兩個鄰域之間過度區(qū)出現(xiàn)的階躍是由兩邊特征向量的差異造成。因此,噪聲形態(tài)差異與特征向量差異均顯示出數(shù)據(jù)分割點(diǎn)。

(a)測試元素為圓錐曲線

(b)測試元素為圓弧圖3 兩種測試元素的映射局部放大圖Fig.3 Detailed views of testing conic and arc

用相似方法實(shí)施整個數(shù)據(jù)序列的分割,得到4個元素對應(yīng)的分割點(diǎn)與它們實(shí)際值完全一致。

數(shù)據(jù)分割受很多因素影響,其中包括數(shù)據(jù)中的噪聲與誤差。雖然增大數(shù)據(jù)子集或數(shù)據(jù)步長可在一定程度上減小噪聲影響,但會加大過渡區(qū)而不易精確定位分割點(diǎn)。此外,數(shù)據(jù)子集轉(zhuǎn)換為特征向量時,不同元素的轉(zhuǎn)換精度也不同。Bezier曲線比圓弧的轉(zhuǎn)換更易受噪聲影響。

3 實(shí)物對象的元素識別與分割擬合

圖4 凸輪原型Fig.4 A physical cam for the verification

圖5為兩種傳統(tǒng)數(shù)據(jù)分割的擬合效果,圖5a為近似按平均點(diǎn)數(shù)分割點(diǎn)集為11段,而圖5b采用主觀識別的點(diǎn)云分割。圖5a中,由于采用弧長均勻采樣,曲率大的曲線段偏差較大。圖5b中,部分節(jié)點(diǎn)與分割點(diǎn)不重合,說明分割不合理。這兩種擬合效果均不理想。

(a)均勻分割

(b)主觀分割圖5 兩種傳統(tǒng)分割的Bezier曲線擬合效果Fig.5 Two Bezier fittings with traditional segmentations

在圖6a～6c中,取數(shù)據(jù)子集{Pi,Pj,Pk}并用CCL參數(shù)化法[19]獲得Bezier曲線控制點(diǎn)特征

式中:lk=Σ‖Pj-Pj-1‖,j=1,…k,即Pk對應(yīng)參數(shù)tk≈lk/L,L為所在曲線的累計(jì)弦長。利用式(5)映射為積向量模,辨識得到測量序列的前3個分割點(diǎn)。如此逐段辨識其他各分割點(diǎn),得其下標(biāo)構(gòu)成的向量

i={13,24,50,83,98,109,129,146,173}

(a)從i=1開始CCL識別

(b)從i=13開始CCL識別

(c)從i=24開始CCL識別

(d)從i=1開始拋物線識別(局部)圖6 用二階Bezier曲線特征識別測量序列Fig.6 Testing the cam contour with second order Bezier curve

總共9個分割點(diǎn)把數(shù)據(jù)序列分成10段Bezier曲線。圖6d取數(shù)據(jù)子集{Pi,Pi+1,Pi+2,Pi+3},用式(2)計(jì)算拋物線特征向量Xi={b1,b2,b3,b4},圖中分割點(diǎn)基本與CCL法一致,但只需一次映射即可顯示所有拐點(diǎn)和分割點(diǎn)。若只用一個數(shù)據(jù)段(例如第1段或第2段)的參照特征設(shè)計(jì)映射矩陣E,可以獲得較清晰的積向量模拐點(diǎn),而其他段的拐點(diǎn)則可能不夠清晰,而且拋物線的特征魯棒性比CCL及圓弧等的差。圖7顯示了識別分割的擬合效果,其中兩個坐標(biāo)的誤差平方和均小于前2種分割擬合。

圖7 辨識分割的Bezier擬合Fig.7 The Bezier fittings after recognizing segmentation

4 結(jié) 論

(1)對擬合不確定度影響最大的因素是擬合元素選擇的正確與否以及相應(yīng)數(shù)據(jù)分割準(zhǔn)確程度。擬合算法與數(shù)據(jù)噪聲等因素也影響擬合精度,但遠(yuǎn)不及前二者。

(2)由數(shù)據(jù)噪聲等因素產(chǎn)生的擬合誤差分布為正態(tài)形狀;錯用元素的擬合準(zhǔn)確性降低而分割誤差則會使擬合誤差分布呈現(xiàn)多峰、欄柵效應(yīng)等復(fù)雜形態(tài),不確定度大大增加。

(3)基于GPC魯棒性,將任意維特征向量映射到標(biāo)量并觀察其恒定性及范圍,可有效識別元素類型與其邊界,從而降低了擬合不確定度。

(4)與仿真不同,實(shí)際零件元素及其數(shù)量未知,其GPC映射除了會受測量精度、噪聲,還受擬合算法的魯棒性、數(shù)據(jù)子集步長等因素影響。多種測試元素的映射均有恒定性時,可取恒定性范圍最大的作為識別結(jié)果。除了圓弧等簡單元素,二階Bezier曲線擬合具有通用性,可獲得較好效果。

(5)Bezier的CCL法特征無局部性,其積向量模拐點(diǎn)也可能比較模糊,需逐段辨識各分割點(diǎn);拋物線特征具有局部性,可以一次識別多個分割點(diǎn),利于降低擬合不確定度。