基于改進(jìn)高斯隨機(jī)測(cè)量矩陣的切削力信號(hào)壓縮感知方法

吳鳳和 張 寧 李元祥 張會(huì)龍 郭保蘇

1.燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，秦皇島，0660042.河北省重型智能制造裝備技術(shù)創(chuàng)新中心，秦皇島，066004

0 引言

信息物理融合、工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)、物聯(lián)網(wǎng)等先進(jìn)技術(shù)的部署和實(shí)施均需以數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，而在機(jī)械加工領(lǐng)域，切削力是最為穩(wěn)定和可靠的關(guān)鍵信號(hào)之一，可為刀具磨損狀態(tài)監(jiān)測(cè)[1]、顫振監(jiān)測(cè)與抑制[2]、加工表面質(zhì)量控制[3]等提供重要信息。板式測(cè)力儀是目前最常用的測(cè)力設(shè)備，但它存在限制工件尺寸、易受切削液腐蝕的問(wèn)題。為克服上述缺陷，有學(xué)者考慮將力感知元件和信號(hào)采集傳輸裝置與機(jī)床刀具或刀柄高度集成，形成旋轉(zhuǎn)式測(cè)力系統(tǒng)[4-5]，隨同加工過(guò)程進(jìn)行切削力測(cè)量，但刀具切削時(shí)高速旋轉(zhuǎn)，難以采用有線方式傳輸信號(hào)，通常利用無(wú)線通信協(xié)議將信號(hào)傳輸至上位機(jī)端進(jìn)行處理及可視化。旋轉(zhuǎn)式測(cè)力系統(tǒng)長(zhǎng)期在高速、高頻條件下運(yùn)行，且集成硬件性能有限，依據(jù)Nyquist-Shannon采樣定理限定的頻率采集數(shù)據(jù)可能導(dǎo)致數(shù)據(jù)冗余問(wèn)題，甚至受信號(hào)傳輸單元帶寬限制，發(fā)生數(shù)據(jù)堵塞現(xiàn)象。

近些年提出的壓縮感知理論(compressed sensing，CS)[6-7]可以較好地解決上述問(wèn)題。充分開(kāi)發(fā)信號(hào)稀疏特征，將信號(hào)壓縮與感知過(guò)程進(jìn)行融合，從而突破Nyquist-Shannon采樣定理頻率限制，實(shí)現(xiàn)壓縮式采集，結(jié)合高效的重構(gòu)算法，可實(shí)現(xiàn)信號(hào)的無(wú)失真測(cè)量，該過(guò)程主要包含信號(hào)稀疏模型創(chuàng)建、稀疏信號(hào)壓縮測(cè)量、壓縮信號(hào)重構(gòu)三個(gè)步驟。

作為CS框架的關(guān)鍵部分，測(cè)量矩陣的選擇和設(shè)計(jì)直接影響信號(hào)壓縮及重構(gòu)效果。常用測(cè)量矩陣類型有完全隨機(jī)測(cè)量矩陣、結(jié)構(gòu)化隨機(jī)測(cè)量矩陣以及確定性測(cè)量矩陣[8]。以高斯矩陣、Bernoulli矩陣為代表的完全隨機(jī)測(cè)量矩陣在低維或圖像信號(hào)的壓縮感知方面應(yīng)用廣泛[9-10]，具有測(cè)量數(shù)少而重構(gòu)精度高的特點(diǎn)，而局限性在于大存儲(chǔ)量和較高的矩陣隨機(jī)性；結(jié)構(gòu)化隨機(jī)矩陣包括部分正交矩陣、部分Hadamard矩陣[11]等，該類矩陣通過(guò)對(duì)高維正交矩陣進(jìn)行降維和歸一化得到，具備良好的重構(gòu)精度，但其矩陣構(gòu)造過(guò)程對(duì)正交矩陣維數(shù)較為敏感，因此應(yīng)用場(chǎng)合有限；確定性測(cè)量矩陣包括循環(huán)測(cè)量矩陣、Toeplitz矩陣[12]等，該類矩陣易于硬件實(shí)現(xiàn)，但受限于現(xiàn)有條件，其矩陣構(gòu)建速度較慢，難以滿足信號(hào)傳輸?shù)膶?shí)時(shí)性需求，同時(shí)測(cè)量值的取值范圍有限從而影響壓縮效果。此外，也有研究設(shè)計(jì)了針對(duì)信道估計(jì)[13]、雷達(dá)[14]、振動(dòng)[15]等特定信號(hào)的專用測(cè)量矩陣，然而，目前鮮有學(xué)者針對(duì)切削力信號(hào)的壓縮測(cè)量矩陣展開(kāi)研究。

本文基于CS理論，首先分析切削力信號(hào)稀疏性，采用離散傅里葉變換(discrete Fourier transform, DFT)正交基構(gòu)建切削力信號(hào)在頻域上的稀疏表示模型；然后考慮加工過(guò)程對(duì)切削力信號(hào)傳輸?shù)膶?shí)時(shí)性需求，且考慮不同主軸轉(zhuǎn)速和刀具齒數(shù)下的信號(hào)采樣數(shù)據(jù)量不同，選擇高斯隨機(jī)矩陣作為基礎(chǔ)測(cè)量矩陣，并提出一種近似正交三角(QR)分解與最小相關(guān)系數(shù)法相結(jié)合的高斯隨機(jī)測(cè)量矩陣優(yōu)化方法，進(jìn)一步提高測(cè)量矩陣性能，實(shí)現(xiàn)切削力信號(hào)壓縮測(cè)量；最后利用壓縮采樣匹配追蹤算法對(duì)切削力信號(hào)進(jìn)行高效重構(gòu)，并通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)采集的切削力信號(hào)對(duì)其有效性進(jìn)行驗(yàn)證。

1 壓縮感知理論

任意一個(gè)一維離散信號(hào)可以由一組正交基線性表示：

(1)

式中，N為原始信號(hào)長(zhǎng)度；x為一維離散時(shí)間信號(hào)，維度為N×1；Ψ為稀疏基，Ψ=[ψ1ψ2…ψN]，維度為N×N，ψi為列向量；α為稀疏向量，維度為N×1，αi為元素。

取一與Ψ不相干的矩陣，將原始信號(hào)x映射至低維空間：

(2)

(3)

式(3)的常用求解方法包括以基追蹤(basic pursuit, BP)為代表的最優(yōu)化逼近方法、以正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit, OMP)[16]為代表的貪婪算法以及以迭代硬閾值(iterative hard thresholding, IHT)為代表的非凸方法。綜合考慮測(cè)力系統(tǒng)硬件水平和重構(gòu)效率需求，本文選擇貪婪算法中的壓縮采樣匹配追蹤(compressive sampling matching pursuit, CoSaMP)[17]算法作為信號(hào)重構(gòu)算法。

2 切削力信號(hào)稀疏表示

具有稀疏性的信號(hào)表現(xiàn)為僅有少數(shù)元素非零。一般情況下自身具備稀疏性的信號(hào)較少，但經(jīng)過(guò)某種變換可以挖掘信號(hào)的稀疏特征。對(duì)于一維信號(hào)，通常借助正交變換方法實(shí)現(xiàn)信號(hào)稀疏表示，如傅里葉變換、正(余)弦變換和小波變換。本文分別利用上述方法進(jìn)行切削力信號(hào)稀疏建模，分析不同正交基下的切削力信號(hào)稀疏表示效果，并最終選擇DFT基作為稀疏正交基。

通過(guò)切削實(shí)驗(yàn)并采用自主設(shè)計(jì)的旋轉(zhuǎn)式測(cè)力系統(tǒng)[18]獲取切削力信號(hào)，初始采樣頻率為4 kHz，從中選取2 s數(shù)據(jù)，并以500 Hz頻率對(duì)其重新采樣，得到原始切削力信號(hào)，如圖1所示。將其絕對(duì)值按降序排列后如圖2所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，原始切削力信號(hào)中的絕大多數(shù)元素均為非零元素，因此，切削力信號(hào)在時(shí)域上是非稀疏的。

圖1 原始切削力信號(hào)

圖2 排序切削力信號(hào)

分別利用DFT、離散余弦變換(discrete cosine transform, DCT)和離散小波變換(discrete wavelet transform, DWT)獲取切削力信號(hào)的頻域波形，其中DWT基于Haar小波函數(shù)，分解等級(jí)為10級(jí)。對(duì)變換系數(shù)按絕對(duì)值降序排列后如圖3～圖5所示，可以看出三種情況下的變換系數(shù)均呈現(xiàn)快速下降趨勢(shì)，僅包含少量大系數(shù)值。以fmax表示變換系數(shù)最大值，在DFT、DCT、DWT三種變換下，變換系數(shù)值大于0.01fmax的數(shù)量分別為103、105和249。可見(jiàn)，經(jīng)過(guò)DFT處理的切削力數(shù)據(jù)稀疏性更佳，稀疏度K為103。

圖3 切削力信號(hào)DFT排序

圖4 切削力信號(hào)DCT排序

圖5 切削力信號(hào)DWT排序

3 改進(jìn)高斯隨機(jī)測(cè)量矩陣設(shè)計(jì)

為實(shí)現(xiàn)信號(hào)的高精度重構(gòu)，測(cè)量矩陣設(shè)計(jì)需符合兩項(xiàng)要求：一是測(cè)量矩陣與稀疏變換基不相干；二是觀測(cè)矩陣應(yīng)符合約束等距性(restricted isometry property, RIP)。本文以高斯隨機(jī)測(cè)量矩陣為基礎(chǔ)構(gòu)建觀測(cè)矩陣，為了實(shí)現(xiàn)切削力信號(hào)的精確重構(gòu)，其測(cè)量值需滿足：

M≥CKln(N/K)

(4)

式中，C為一常數(shù)。

對(duì)于圖1所示的切削力信號(hào)數(shù)據(jù)，其信號(hào)長(zhǎng)度N=1000，稀疏度K=103，經(jīng)計(jì)算僅需測(cè)量M=235個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)即可以較高的精度重構(gòu)出原始切削力信號(hào)，壓縮比可達(dá)76.5%。

現(xiàn)有理論證明，M滿足式(4)的高斯隨機(jī)測(cè)量矩陣能以較高的概率符合RIP條件。為進(jìn)一步提高測(cè)量矩陣的信號(hào)壓縮性能，使信號(hào)重構(gòu)時(shí)的精度更高，本文結(jié)合近似QR分解和最小相關(guān)系數(shù)法對(duì)高斯隨機(jī)測(cè)量矩陣進(jìn)行改進(jìn)。

根據(jù)矩陣分解理論，矩陣的相干性很大程度上取決于矩陣的最小奇異值，表現(xiàn)為最小奇異值愈大則矩陣的相干性愈弱。因此，從降低測(cè)量矩陣與稀疏變換基相干性角度出發(fā)，盡可能增大高斯隨機(jī)測(cè)量矩陣的最小奇異值，可增強(qiáng)矩陣獨(dú)立性，從而使矩陣進(jìn)一步滿足RIP條件。

考慮到QR分解能夠增大矩陣奇異值，首先利用標(biāo)準(zhǔn)QR分解將ΦM × N分解如下：

Φ=(Q·R)T

(5)

式中，Q為方陣，且QH·Q=Ir；R為具有正對(duì)角元的上三角陣。

(6)

(7)

(8)

近似QR分解及最小相關(guān)系數(shù)法相結(jié)合的高斯隨機(jī)測(cè)量矩陣優(yōu)化方法流程如圖6所示。

圖6 測(cè)量矩陣優(yōu)化流程圖

4 算法實(shí)現(xiàn)步驟

利用本文提出的改進(jìn)高斯隨機(jī)測(cè)量矩陣實(shí)現(xiàn)切削力信號(hào)壓縮感知的步驟如下：

(1)基于實(shí)驗(yàn)獲取的切削力信號(hào)，利用DFT正交基對(duì)該信號(hào)進(jìn)行稀疏表示，獲取其先驗(yàn)知識(shí)和稀疏度K。

(2)為使測(cè)量矩陣進(jìn)一步滿足RIP條件，結(jié)合近似QR分解及最小相關(guān)系數(shù)法對(duì)高斯隨機(jī)測(cè)量矩陣進(jìn)行優(yōu)化。

(3)借助上述改進(jìn)的測(cè)量矩陣，利用y=Φ·x，對(duì)原始信號(hào)x進(jìn)行壓縮測(cè)量，將其從N維信號(hào)映射為M維壓縮信號(hào)y。

(4)通過(guò)無(wú)線傳輸網(wǎng)絡(luò)將壓縮信號(hào)y傳輸至上位機(jī)端，綜合測(cè)量值y、測(cè)量矩陣Φ和稀疏基Ψ，并通過(guò)CoSaMP算法重構(gòu)獲得稀疏向量α。

5 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

為了驗(yàn)證改進(jìn)測(cè)量矩陣對(duì)切削力信號(hào)的壓縮性能，針對(duì)圖1中的實(shí)測(cè)切削力信號(hào)，分別通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)高斯隨機(jī)測(cè)量矩陣和近似QR分解、最小相關(guān)系數(shù)法以及結(jié)合近似QR分解與最小相關(guān)系數(shù)法優(yōu)化的高斯隨機(jī)測(cè)量矩陣進(jìn)行壓縮測(cè)量，計(jì)算四類矩陣的相關(guān)系數(shù)μt，它與對(duì)應(yīng)測(cè)量矩陣列向量組合數(shù)量T的分布關(guān)系如圖7所示。

(a)高斯隨機(jī)測(cè)量矩陣

為了驗(yàn)證改進(jìn)測(cè)量矩陣的適用性，選擇長(zhǎng)度N=100、稀疏度K=10的一段信號(hào)作為測(cè)試樣本，分別通過(guò)四類測(cè)量矩陣進(jìn)行壓縮測(cè)量，其相關(guān)系數(shù)分布如圖8所示。

由圖7、圖8可以看出，在圖1實(shí)測(cè)切削力信號(hào)和測(cè)試信號(hào)數(shù)據(jù)下，四類測(cè)量矩陣的最大相關(guān)系數(shù)分別為0.4381、0.4276、0.3830、0.3719和0.6434、0.5083、0.4103、0.3421。因此，本文提出的優(yōu)化算法在降低測(cè)量矩陣相干性方面效果明顯，由該測(cè)量矩陣構(gòu)建的觀測(cè)矩陣可進(jìn)一步滿足RIP條件，從而準(zhǔn)確重構(gòu)原始信號(hào)。

(a)高斯隨機(jī)測(cè)量矩陣

為進(jìn)一步測(cè)試改進(jìn)測(cè)量矩陣的使用性能，分別利用四類測(cè)量矩陣對(duì)圖1實(shí)測(cè)切削力信號(hào)和測(cè)試信號(hào)進(jìn)行壓縮采集。定義壓縮比

c=(N-M)/N

(9)

設(shè)定c為0.5、0.55、0.6、0.65、0.7、0.75、0.8，在四種情況下分別重構(gòu)1000次，取其重構(gòu)平均值和均方值誤差，實(shí)測(cè)切削力信號(hào)和測(cè)試信號(hào)的重構(gòu)結(jié)果分別如表1～表4所示。

由表1～表4可知，隨著信號(hào)壓縮程度升高，四類測(cè)量矩陣的重構(gòu)誤差均有所增大，其中，經(jīng)過(guò)本文方法改進(jìn)的高斯隨機(jī)測(cè)量矩陣無(wú)論在重構(gòu)平均值誤差還是在重構(gòu)均方值誤差方面的表現(xiàn)均優(yōu)于其他三類矩陣，它不但重構(gòu)精度較高，且在信號(hào)恢復(fù)時(shí)的穩(wěn)定性更佳。

表1 實(shí)測(cè)切削力信號(hào)平均值誤差

表2 實(shí)測(cè)切削力信號(hào)均方值誤差

表3 測(cè)試信號(hào)平均值誤差

表4 測(cè)試信號(hào)均方值誤差

在重構(gòu)算法選擇方面，當(dāng)壓縮比c為0.5、0.55、0.6、0.65、0.7、0.75時(shí)，采用OMP和CoSaMP兩種算法對(duì)圖1所示的切削力信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，每個(gè)壓縮比水平下運(yùn)行25次，結(jié)果取其均值，對(duì)比兩種算法在重構(gòu)時(shí)間及重構(gòu)精度(以信號(hào)重構(gòu)均值偏差為評(píng)價(jià)指標(biāo))方面的差異，結(jié)果如圖9所示。

圖9數(shù)據(jù)表明，伴隨著信號(hào)壓縮程度不斷增加，CoSaMP算法的重構(gòu)效率顯著提高，而重構(gòu)均值偏差略有增大。在壓縮比c=0.75的情況下(接近測(cè)量矩陣限定的最高壓縮比)，CoSaMP算法重構(gòu)所需時(shí)間為0.027 16 s，相比于OMP算法的0.713 12 s，重構(gòu)效率大大提高；在重構(gòu)精度方面，CoSaMP算法的重構(gòu)均值偏差為2.028%，相比于OMP算法的1.125%僅增加1%；考慮到工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)對(duì)力信號(hào)的傳輸效率要求較高，而兩種算法的重構(gòu)準(zhǔn)確性差距較小，所以CoSaMP算法同OMP算法相比更加適合實(shí)際切削場(chǎng)合的應(yīng)用。

(a)重構(gòu)時(shí)間對(duì)比圖

在壓縮比c=0.7的條件下，利用本文提出的切削力信號(hào)壓縮感知方法對(duì)圖1中的切削力信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，重構(gòu)前后信號(hào)對(duì)比如圖10所示，重構(gòu)誤差為2.10%，重構(gòu)時(shí)間為0.016 s；另取一段實(shí)測(cè)鉆削力信號(hào)(稀疏度K=201)，在c=0.6的條件下對(duì)其進(jìn)行重構(gòu)，重構(gòu)前后信號(hào)對(duì)比如圖11所示，重構(gòu)誤差為1.1%，重構(gòu)時(shí)間為0.052s。綜上，本文提出的切削力信號(hào)壓縮感知方法能夠滿足切削力信號(hào)的傳輸精度和實(shí)時(shí)性需求。

圖10 銑削力信號(hào)重構(gòu)結(jié)果對(duì)比圖

圖11 鉆削力信號(hào)重構(gòu)結(jié)果對(duì)比圖

6 結(jié)論

針對(duì)高速切削中依據(jù)傳統(tǒng)Nyquist-Shannon采樣定理采集數(shù)據(jù)易造成信號(hào)冗余和數(shù)據(jù)堵塞問(wèn)題，本文將壓縮感知理論應(yīng)用于切削力信號(hào)采集過(guò)程。針對(duì)DFT正交基稀疏表示的切削力信號(hào)，選擇高斯隨機(jī)矩陣作為基礎(chǔ)測(cè)量矩陣，并提出近似QR分解與最小相關(guān)系數(shù)法相結(jié)合的優(yōu)化方法對(duì)高斯隨機(jī)矩陣進(jìn)行重新設(shè)計(jì)，使其進(jìn)一步符合RIP條件，并極大地壓縮了數(shù)據(jù)量，結(jié)合高效的CoSaMP算法，實(shí)現(xiàn)力信號(hào)快速重構(gòu)。仿真測(cè)試結(jié)果表明，改進(jìn)的高斯隨機(jī)測(cè)量矩陣相較于其他三類矩陣具有更高的重構(gòu)精度和穩(wěn)定性，利用本文提出的方法對(duì)測(cè)力系統(tǒng)采集的切削力信號(hào)進(jìn)行壓縮重構(gòu)，重構(gòu)誤差為2.10%，重構(gòu)時(shí)間僅為0.016 s，可滿足工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)對(duì)切削力信號(hào)的傳輸精度和實(shí)時(shí)性需求，此外，本文提出的壓縮感知方法也可為振動(dòng)、聲發(fā)射等信號(hào)的高效采集與傳輸提供借鑒。