具有時(shí)滯和免疫反應(yīng)的離散HIV感染模型的穩(wěn)定性分析

雷學(xué)紅，許云霞

(凱里學(xué)院 理學(xué)院，貴州 凱里 556011)

艾滋病(acquired immuno deficiency syndrome，AIDS) 是由人類(lèi)免疫缺陷病毒(human immunodeficiency virus，HIV) 導(dǎo)致的，是一種嚴(yán)重地危害人類(lèi)健康的傳染病.因此，有關(guān)HIV的防控工作對(duì)艾滋病的控制有重大意義.目前，通過(guò)數(shù)學(xué)模型來(lái)研究HIV感染的動(dòng)力學(xué)行為已成為一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題.自Chandra在文獻(xiàn)[1]中提出經(jīng)典模型以來(lái)，后人在此基礎(chǔ)上提出了不同類(lèi)型的HIV模型.Bruno等[2-3]提出雙線性發(fā)生率的模型.Sun等[4-6]提出具有非線性發(fā)生率的模型.由于病毒在體內(nèi)具有一定的潛伏期，眾多學(xué)者提出與事實(shí)更符合的時(shí)滯的HIV模型[7-9]，其中包括具有潛伏期，及細(xì)胞毒性T淋巴細(xì)胞(cytotoxic lymphocyte，CTL)免疫反應(yīng)的模型[10].

鑒于以上HIV病毒模型，許多學(xué)者建立的模型基本上是連續(xù)模型，運(yùn)用微分方程來(lái)研究其動(dòng)力學(xué)行為.然而傳染病的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)通常是在一定的時(shí)間間隔下取到的，數(shù)量變化顯然是離散的.近年來(lái)建立的模型大多是非線性連續(xù)傳染病模型，無(wú)法得到精確的解析解，為了克服這一不足和實(shí)際問(wèn)題中離散型的變量，人們自然想到建立離散模型，而且離散模型比連續(xù)模型能更好地描述真實(shí)現(xiàn)象[11-12].為了確保在離散過(guò)程中保持原連續(xù)模型的性質(zhì)，Mickens在文獻(xiàn)[11]中提出非標(biāo)準(zhǔn)差分法(nonstandard finite difference scheme，NSFD)，文獻(xiàn)[12-13]進(jìn)一步完善此方法理論體系.

本文采用NSFD方法，利用文獻(xiàn)[10]中HIV連續(xù)模型得到離散得HIV模型，對(duì)其解的正性、有界性及平衡點(diǎn)等性質(zhì)進(jìn)行研究.通過(guò)構(gòu)建合適的Lyapunov函數(shù)和利用LaSalle′s不變性原理[6,9-10]，討論所給模型的解在無(wú)感染平衡點(diǎn)、無(wú)CTL平衡點(diǎn)和CTL平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性.研究表明，離散模型和原連續(xù)模型的解有一致的特性，并進(jìn)行數(shù)值模擬驗(yàn)證所得結(jié)論.

1 HIV模型及離散化模型

應(yīng)用NSFD法將文獻(xiàn)[10]中的連續(xù)模型轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的離散模型，并對(duì)其動(dòng)態(tài)行為進(jìn)行研究.

文獻(xiàn)[10]中的HIV模型為：

(1)

其中，x(t),y(t),v(t)及z(t)分別表示為t時(shí)刻未被感染的CD4+細(xì)胞，感染的CD4+細(xì)胞，具有感染性的HIV病毒和CTL免疫應(yīng)答的濃度.λ為未感染細(xì)胞的生成速率；μ,a,q,ε分別表示其階段的死亡速率；e-mτ1表示感染細(xì)胞存活時(shí)間τ1的概率；k為CTL免疫細(xì)胞消滅感染細(xì)胞的速率；pe-nτ2y(t-τ2)表示感染性的HIV病毒產(chǎn)生的速率；e-nτ2表示感染性的HIV病毒中存活時(shí)間τ2的概率；φ表示CTL免疫細(xì)胞的新生速率；τ1,τ2表示時(shí)間滯后.根據(jù)生物學(xué)意義，常數(shù)λ,μ,a,p,q,k,φ均為正數(shù)，g(x,v)v表示非線性感染率.假設(shè)g(x,v)v滿足以下條件：

(A1)g(x,v)≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，g(x,v)=0；

使用NSFD方法對(duì)模型(1)離散化，得到如下的離散模型：

(2)

其中，h>0為時(shí)間步長(zhǎng)，(xn,yn,vn,zn)是系統(tǒng)在離散時(shí)間點(diǎn)tn=nh,n∈N={0,1,2,…}的近似解，存在整數(shù)mi∈N(i=1,2),τi=hmi.

2 解的有界性及平衡點(diǎn)的存在性

系統(tǒng)(2)滿足初始條件：

定義集合:

Γ={(x,y,v,z):0

定理1假設(shè)滿足條件(A1)～(A4)，離散系統(tǒng)(2)滿足初始條件的任意解(xn,yn,vn,zn)都是非負(fù)的且有界.

e-mτ1h[λ-μxn-m1+1-g(xn-m1+1,vn-m1)vn-m1]+h[e-mτ1g(xn-m1+1,vn-m1)vn-m1-ayn+1-kyn+1zn+1]+

he-mτ1λ-κhLn+1,

當(dāng)R0>1時(shí)，存在兩個(gè)持久感染平衡點(diǎn)，下面分兩種情況討論.

由條件(A2)、(A3)可知，關(guān)于x單調(diào)遞增，又因?yàn)?

故必有一個(gè)點(diǎn)x*∈(0,λ/μ)，即存在一個(gè)無(wú)CTL平衡點(diǎn)Q*=(x*,y*,v*,0).

由生物意義可知z>0，即:

由條件(A2)、(A3)可知，M(x)關(guān)于x單調(diào)遞增，又因?yàn)?

M(0)=-λ<0,

另外，由(A2)，(A3)可知:

即R1

3 全局穩(wěn)定性分析

本節(jié)主要研究模型(2)在無(wú)感染平衡點(diǎn)、無(wú)CTL平衡點(diǎn)及CTL平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性.首先令h(t)=t-1-lnt,對(duì)任意的t>0時(shí)，有h(t)≥0，當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)，h(t)=0，即:

lnt≤t-1.

(3)

定理2若R0≤1，系統(tǒng)(2)在無(wú)感染平衡點(diǎn)Q0是全局漸近穩(wěn)定的.

證明定義函數(shù):

(4)

由文獻(xiàn)[14]可知:

(5)

令ΔWn=Wn+1-Wn,將式(5)帶入式(4)，得:

g(xn+1,vn)vn-g(xn-m1+1,vn-m1)vn-m1+aemτ1(yn+1-yn-m2+1)=

g(xn+1,vn)vn-g(xn-m1+1,vn-m1)vn-m1+aemτ1(yn+1-yn-m2+1).

(6)

在Q0處有λ=μx0,將其代入式(6)可得:

由條件(A2)知g(x,v)關(guān)于x是單調(diào)遞增的，有:

由條件(A3)知g(x,v)關(guān)于v是單調(diào)遞減的，又由條件(A4)知g(x,v)v關(guān)于v是單調(diào)遞增的，于是:

定理3若R1<1

證明定義Lyapunov函數(shù):

令ΔVn=Vn+1-Vn，聯(lián)立式(3)和式(5)可得:

(7)

系統(tǒng)(2)在Q*處滿足:

(8)

將式(8)代入式(7)有:

其中:

由條件(A3)知，g(x,v)關(guān)于變量v是單調(diào)遞減的，又由條件(A4)知，g(x,v)v關(guān)于變量v是單調(diào)遞增的.故:

(g(xn+1,vn)vn+1-g(xn+1,v*)v*)(g(xn+1,v*)-g(xn+1,vn))≤0.

(9)

另外，

(10)

證明定義函數(shù):

令ΔUn=Un+1-Un，聯(lián)立式(3)、式(5)，則有:

由式(9)可知:

4 數(shù)值模擬

通過(guò)圖1可以看出，x(t)最終在70處趨于平衡，而y(t),v(t),z(t)趨于(0,0,0)，圖像驗(yàn)證定理2的結(jié)論，當(dāng)R0≤1時(shí)，系統(tǒng)(2)在無(wú)感染平衡點(diǎn)Q0(70,0,0,0)是全局漸近穩(wěn)定的.

改變?chǔ)?=4;τ2=5;k=15;q=5;p=20;q=3;φ=0.15;ε=0.8.其它數(shù)據(jù)不變.此時(shí)R1=0.430 9<1

從圖2中可以看出，x(t),y(t),v(t)隨時(shí)間趨于某個(gè)平衡位置，而z(t)趨于0處.圖像驗(yàn)證定理3的結(jié)論，若R1<1

5 結(jié)論

本文主要利用非標(biāo)準(zhǔn)有限差分方法來(lái)研究時(shí)滯的離散HIV模型.對(duì)離散模型的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行分析.研究表明，該HIV病毒模型不僅存在一個(gè)病毒感染的基本再生數(shù)R0，而且還存在CTL基本再生數(shù)R1.通過(guò)構(gòu)造合適的Lyapunov函數(shù)和利用LaSalle′s不變性原理證明，當(dāng)R0≤1時(shí)，模型在無(wú)感染平衡點(diǎn)處是全局漸近穩(wěn)定的，即HIV在體內(nèi)最終滅絕；當(dāng)R0>1時(shí)，模型存在兩個(gè)平衡點(diǎn)，即無(wú)CTL平衡點(diǎn)和CTL平衡點(diǎn).當(dāng)R1<11時(shí)，模型在CTL平衡點(diǎn)處是全局漸近穩(wěn)定的.即HIV在體內(nèi)持續(xù)存在狀態(tài)，最終達(dá)到一個(gè)平衡狀態(tài).最終表明，離散模型與連續(xù)模型的解有一致的有界性、正性及穩(wěn)定性等特征.最后，通過(guò)MATLAB數(shù)據(jù)擬合，從而驗(yàn)證了理論結(jié)果.