一元二次函數(shù)、方程和不等式常見典型考題賞析

■張普懷

本章的主要解題類型有兩個(gè)方面:一是一元二次方程與一元二次不等式的基本解法,二是利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)求解有關(guān)一元二次方程與一元二次不等式問題。下面就一元二次函數(shù)、方程和不等式問題的常見典型考題舉例分析,供大家學(xué)習(xí)與提高。

題型一:三個(gè)“二次”的關(guān)系

已知一元二次不等式的解集,可知a的符號和方程ax2+bx+c=0 的兩實(shí)根,由根與系數(shù)的關(guān)系可知a,b,c之間的關(guān)系。

例1已知不等式ax2-bx+2<0的解集為{x|1

解:由一元二次不等式的解集,可知a的符號和方程ax2-bx+2=0的兩根,利用根與系數(shù)的關(guān)系可求a,b的值。

(方法1)由題設(shè)條件知a>0,且1,2 是方程ax2-bx+2=0的兩實(shí)根。

(方法2)根據(jù)題設(shè)條件,可把x=1,x=2 分別代入方程ax2-bx+2=0,可得

跟蹤訓(xùn)練1:若不等式ax2+bx+c≤0的解集為{x|x≤-3 或x≥4},求不等式bx2+2ax-c-3b≥0的解集。

提示:因?yàn)椴坏仁絘x2+bx+c≤0的解集為{x|x≤-3 或x≥4},所以a<0,且-3,4是方程ax2+bx+c=0的兩根。由根與系數(shù)的關(guān)系可得解得

所以不等式bx2+2ax-c-3b≥0可化為-ax2+2ax+15a≥0(a<0),即x2-2x-15≥0。由此解得x≤-3或x≥5,故所求不等式的解集為{x|x≤-3或x≥5}。

題型二:用不等式(組)表示不等關(guān)系

必須是具有相同性質(zhì),可以比較大小的兩個(gè)量才可用不等式來表示,沒有可比性的兩個(gè)量之間不能用不等式來表示;在用不等式表示實(shí)際問題時(shí),一定要注意單位的統(tǒng)一。

例2某商人如果將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按每件10 元銷售,每天可銷售100 件,現(xiàn)在他采用提高售價(jià),減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤。已知這種商品的售價(jià)每提高1 元,銷售量就相應(yīng)減少10 件。若把提價(jià)后商品的售價(jià)設(shè)為x元,怎樣用不等式表示每天的利潤不低于300元?

解:由“這種商品的售價(jià)每提高1 元,銷售量就相應(yīng)減少10件”確定售價(jià)變化時(shí)相應(yīng)每天的利潤,由“每天的利潤不低于300 元”確定不等關(guān)系,即可列出不等式。

若提價(jià)后商品的售價(jià)為x元,則銷售量減少×10=(x-10)×10(件),因此,每天的利潤為(x-8)[100-10(x-10)](元),則“每天的利潤不低于300 元”可以用不等式表示為(x-8)[100-10(x-10)]≥300。

跟蹤訓(xùn)練2:用一段長為30m 的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園,墻長18m,要求菜園的面積不小于110m2,靠墻的一邊長為xm,試用不等式表示其中的不等關(guān)系。

提示:由于矩形菜園靠墻的一邊長為xm,而墻長為18m,所以0

題型三:利用不等式的性質(zhì)證明不等式

解決此類問題一定要在理解的基礎(chǔ)上,熟記不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活應(yīng)用。應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí),要緊扣不等式性質(zhì)的成立條件,且不可省略條件或跳步推導(dǎo),更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則。

題型四:利用基本不等式求最值

幾個(gè)重要的不等式(下面不等式等號成立的條件均為a=b):a2+b2≥2ab(a,b∈≥2(a,b同號);ab≤b∈R);。算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù):設(shè)a>0,b>0,則a,b的算術(shù)平均數(shù)為,幾何平均數(shù)為,基本不等式可敘述為兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。利用基本不等式求最值問題:已知x>0,y>0,如果積xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),x+y有最小值(積定和最小);如果和x+y是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),xy有最大值(和定積最大)。

例4已知正數(shù)x,y滿足x+2y=3,則的最小值為_____。

題型五:一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上的恒成立問題

不等式ax2+bx+c>0對任意x∈R 恒成立?不等式ax2+bx+c<0對任意x∈R恒成立?。

例5關(guān)于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集為R,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解:由a2-1=0,可得a=±1。當(dāng)a=1時(shí),不等式可化為-1<0,解集為R;當(dāng)a=-1時(shí),不等式可化為2x-1<0,解集為,此時(shí)解集不為R。所以a=1,滿足條件。

由a2-1≠0,可得a≠±1。原不等式解集為R 的條件是:

跟蹤訓(xùn)練5:若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0對一切x∈R 恒成立,則a的取值范圍是____。

提示:當(dāng)a-2=0,即a=2時(shí),不等式為-4<0,顯然恒成立,這時(shí)解集為R,可知a=2滿足條件;當(dāng)a-2≠0時(shí),要使原不等式解集為R,需滿足解得-2

綜上所述,a的取值范圍是-2

題型六:一元二次不等式在某特定范圍上的恒成立問題

a≥y或a≤y型不等式是恒成立問題中最基本的類型,a≥y在x∈D上恒成立,則a≥ymax(x∈D,y存在最大值);a≤y在x∈D上恒成立,則a≤ymin(x∈D,y存在最小值)。

例6已知y=x2+ax+3-a,當(dāng)-2≤x≤2 時(shí),y≥2 恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

跟蹤訓(xùn)練6:對?x∈[1,4],不等式x2-(a+2)x+4≥-a-1恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

提示:當(dāng)x=1 時(shí),不等式為0≤4 恒成立,此時(shí)a∈R;

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,4]。

感悟與提高

1.設(shè)a,b是非零實(shí)數(shù),若a