用數(shù)學(xué)思想探究有理數(shù)的奧妙

第一章 數(shù)學(xué)與我們同行

第二章 有理數(shù)

領(lǐng) ? ?銜 ? ?人：張衛(wèi)明

組稿團隊：江蘇省鹽城市初級中學(xué)教育集團張衛(wèi)明工作室

有理數(shù)是同學(xué)們在小學(xué)所學(xué)數(shù)系的擴充。這一章概念較多，知識點較細碎。怎樣才能輕松學(xué)好“有理數(shù)”呢？本文從以下三個方面解讀有理數(shù)這一章所蘊含的思想方法，以幫助同學(xué)們感悟有理數(shù)的奧妙。

一、用分類討論的思想思考問題

分類討論思想是初中數(shù)學(xué)最常用的一種數(shù)學(xué)思想方法，即當某個問題有多重情況出現(xiàn)或結(jié)果不能唯一確定時，根據(jù)題目的要求，按不同情況分類，逐一研究解決再加以集中歸納的數(shù)學(xué)思想。掌握分類討論思想，可以幫助同學(xué)們加深理解知識的本質(zhì)，對提高數(shù)學(xué)思維的嚴謹性具有非常重要的作用。

有理數(shù)按數(shù)的正負性可分為：正有理數(shù)、0和負有理數(shù)。一個數(shù)的絕對值的求解隱藏著分類討論思想：正數(shù)的絕對值是它本身，0 的絕對值是0，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)。計算兩個有理數(shù)的加法或乘法時，也分為同號兩數(shù)、異號兩數(shù)以及兩數(shù)中有一個是0 這三種情況。同學(xué)們可以根據(jù)具體問題的條件，對各種情況分類討論，從而使復(fù)雜問題簡單化。

例如，若ab≠0，求[aa]+[bb]+[abab]的值。因為ab≠0，所以a≠0，b≠0，但a、b的正負性未知，所以我們要對a，b進行分類討論：當a>0，b>0時;當a>0，b<0時;當a<0，b>0時;當a<0，b<0時。

應(yīng)用分類討論思想必須遵循兩個規(guī)則：1.每一次分類要按照同一標準進行;2.分類時要不重不漏。

二、用數(shù)形結(jié)合思想分析問題

數(shù)形結(jié)合思想就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的幾何圖形結(jié)合起來解決數(shù)學(xué)問題的一種數(shù)學(xué)思想，即代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，也可以使幾何問題代數(shù)化。數(shù)形結(jié)合主要有三種類型：“以數(shù)化形”“以形得數(shù)”和“數(shù)形結(jié)合”。通過“數(shù)”與“形”之間的轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題，使得抽象問題具體化、形象化，從而可以優(yōu)化解題過程。

數(shù)軸上的點與有理數(shù)、無理數(shù)建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，它揭示了數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，是最簡單的數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。有理數(shù)的絕對值可以借助數(shù)軸上表示這個數(shù)的點與原點的距離來得到?！胺柌煌⒔^對值相同的兩個數(shù)互為相反數(shù)”這個概念的理解較為抽象，如果我們在數(shù)軸上畫出5和-5所對應(yīng)的兩個點，觀察它們的位置特征，可以很形象地認識到，互為相反數(shù)的兩個點分別位于原點的兩側(cè)，并且它們到原點的距離相等。用數(shù)軸這個“形”，還可以很好地幫助我們掌握有理數(shù)大小的比較、有理數(shù)的加減法運算等有關(guān)“數(shù)”的知識。

例如，已知點A在數(shù)軸上表示的數(shù)是2，將點A先向右移動4個單位長度，再向左移動5個單位長度，則移動后的點A表示的數(shù)是多少？我們用數(shù)形結(jié)合，通過數(shù)軸（圖1），可以很清晰地看出，移動后點A表示的數(shù)是1。

“數(shù)無形，少直觀;形無數(shù)，難入微”，利用數(shù)形結(jié)合，可以化難為易、化繁為簡，利于同學(xué)們的直觀理解，從而提高知識遷移能力。

三、用轉(zhuǎn)化思想解決問題

轉(zhuǎn)化思想也稱化歸思想，就是在已有的、簡單的、具體的、基本的知識的基礎(chǔ)上，把未知化為已知、把復(fù)雜化為簡單、把一般化為特殊、把抽象化為具體、把非常規(guī)化為常規(guī)，從而解決各種問題。具體來說，就是將“新知識”向“舊知識”轉(zhuǎn)化，將“未知”向“已知”轉(zhuǎn)化，將“復(fù)雜”向“簡單”轉(zhuǎn)化。數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想是解決新問題、學(xué)習新知識的重要思想方法。

有理數(shù)的減法運算就是利用“相反數(shù)”這個已學(xué)概念轉(zhuǎn)化為加法來運算，得到減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。有理數(shù)的加減法通過這一轉(zhuǎn)化就得到了統(tǒng)一。有理數(shù)的除法是利用“倒數(shù)”轉(zhuǎn)化為乘法運算，得到除法法則：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。通過這一轉(zhuǎn)化，有理數(shù)的乘除也得到了統(tǒng)一。

例如，計算[11×2]+[12×3]+[13×4]+…+[12020×2021]。直接計算比較困難，我們將每個分數(shù)進行轉(zhuǎn)換，即[11×2]=1-[12]，[12×3]=[12]-[13]，…，[12020×2021]=[12020]-[12021]，問題迎刃而解。

轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問題的最基本的數(shù)學(xué)思想方法，通過對未知問題的分析，將其轉(zhuǎn)化為已有知識范圍內(nèi)可解決的問題，從而達到“思路清晰化，方法簡單化”。

總之，分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)中的重要思想方法，相信同學(xué)們只要在“有理數(shù)”一章的學(xué)習中細心體會，靈活運用，定會達到事半功倍的效果。

（作者單位：江蘇省鹽城市鹿鳴路初級中學(xué)）